psiholoģiskie vingrinājumi apmācībai

Mīkla par viltotām monētām

Jūsu priekšā ir 10 atvērti maisiņi ar monētām pietiekamā daudzumā (teiksim, katrā maisiņā ir 100 monētas). Vienā maisiņā ir viltotas monētas, kas katra sver 2 gramus. Atlikušajos deviņos maisiņos monētas ir īstas, katra pa 1 gramu. Monētas viena no otras neatšķiras ne ar ko citu kā vien svaru. Ar roku nav iespējams noteikt svaru. Jūsu priekšā ir elektroniskie svari. Kā vienā (!!!) svēršanā noteikt, kurā maisā ir viltotās monētas? Nekādas viltības netiek pieņemtas: monētas nevar iegremdēt ūdenī, mest no devītā stāva, liet pa vienai vienādā tempā un skaitīt kā vienu svēršanu utt. Tikai viena svēršanās. Viltotais maiss ir jānosaka, izmantojot tikai elektroniskos svarus.

Atbilde uz mīklu:

Mums ir 10 somas un tās ir atvērtas. Pirmkārt, mēs numurējam monētu maisiņus. Tālāk uz svariem uzliekam atšķirīgu skaitu monētu no katra maisa. No pirmās 1 monētas, no 2 - divas monētas, no 3 - trīs monētas, no 4 - četras monētas, no 5 - piecas monētas, no 6 - sešas monētas, no 7 - septiņas monētas, no 8 - astoņas monētas, no 9 - deviņas monētas, no 10 - desmit monētas. Kopējo summu aprēķinām, ja visas monētas būtu normālas (nevis viltotas): 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55. Un tad skatāmies uz elektronisko svaru tablo - izdarām secinājumu, cik ļoti summa atšķirsies no ideālās. Piemēram, ja svari rāda daudzumu 58 grami, tad šie liekie 3 grami pie mums nonāca no 3 maisiņiem, tad tajās ir viltotas monētas.

19.09.2012

Aleksejs

manuprāt var tā.numuram somas un no katras vienā rindā ieliek vienu monētu maisiņu numurēšanas secībā.tad ņem monētas pēc kārtas un redzi svara atšķirību)))monēta uzreiz būs redzama kaķim 200 grami. viens svērums - galu galā monētas uzlikām uz svariem tikai vienu reizi - un tad tikai noņēmām pa vienai monētai)))
17.11.2013

Elena

stilīgs izaicinājums!
26.02.2014

Genādijs

Aleksej, katra monētas izņemšana ir mērījums, bet tas ir nepieciešams vienai svēršanai!
13.06.2014

Maksims

Genādijam taisnība, Alekseja metode neatbilst problēmas apstākļiem))
07.09.2014

vienkārši ielieciet maisiņus pēc kārtas, maiss, kurā 10 monētas pa 1 gramu svērs 10 gramus, un, ieliekot viltotu monētu maisiņu, tas svērs 2
.
01.07.2015

Anna

un kāpēc tieši no trešās somas, varbūt 5. vai citas
20.09.2015

vāciņš

katra monētas izņemšana ir mērījums, bet tas ir nepieciešams vienai svēršanai! tāpēc katru reizi, kad uzliekat monētu uz svariem - tas arī ir mērījums ..
29.10.2015

Sergejs

Ar šo mīklu cīnījos pirms pāris gadiem 3 dienas, līdz pulksten 3 no rīta izdomāju risinājumu)))
29.11.2015

Vladimirs

viss ir pareizi. vienkārši svari ieslēdzas tikai tad, kad uz tiem jau ir visas monētas
06.12.2015

Elena

Šo mīklu zinu kopš bērnības... tā ir vienkārša un sarežģīta reizē.
08.12.2015

Kanamat

No pirmā no stingriem diviem un tā tālāk no 10-10 par cik daudz svara vairāk somā ir viltoti
25.07.2017

Aleksandrs

Tāda mīkla bija filmā par Kolombo. Viņš, protams, to izdomāja.

Katrā no 10 maisiņiem ir 10 monētas. Katra monēta sver 10g.Bet vienā maisā visas monētas ir viltotas-nevis 10,bet 11g.m utt.) vai ir viltotas monētas (visi maisi numurēti no 1 līdz 10)? Somas var atvērt un no katras var izvilkt jebkādu skaitu monētu.

ATBILDE

No pirmās somas jāizvelk viena monēta, no otrās divas, no trešās trīs utt. (no desmitā maisa - visas desmit monētas). Tad visas šīs monētas vienreiz jānosver kopā. Ja starp tām nebūtu viltotu monētu, t.i. visas svērtu 10g katra,tad to kopējais svars būtu 550g.Bet tā kā starp sveramajām monētām ir viltotas monētas(katra 11g),to kopējais svars būs vairāk par 550g.Turklāt,ja izrādīsies lai būtu 551 g, tad viltus monētas ir pirmajā maisā, jo no tās paņēmām vienu monētu, kas deva papildus 1 g.Ja kopējais svars ir 552 g, tad viltus monētas ir otrajā maisā, jo paņēmām divas monētas no tā. Ja kopējais svars ir 553 g, tad viltotās monētas atrodas trešajā maisā utt. Tādējādi tikai ar vienu svēršanu ir iespējams precīzi noteikt, kurā maisiņā ir viltotas monētas.

Desmit somas

Ir 10 maisiņi ar monētām. Vienā maisā visas monētas ir viltotas. Īstā monēta sver 10 gramus, bet viltotā – 9 gramus. Kā noteikt viltotu monētu maisiņu, izmantojot vienu svēršanu uz svariem ar dalījumu?

Vispirms jānonumurē visi maisiņi no 1 līdz 10, tad no katra maisiņa jāņem tik daudz monētu, cik ir tā sērijas numurs (no 1 līdz 10). Ja visas monētas būtu īstas, tad monētu kaudzes svars būtu 550 grami (1 + 2 + 3 ... + 10) * 10 = 550. Ja viltotu monētu maisiņam ir skaitlis N (N = 1 līdz 10) , tad izņemtās no maisiņiem monētas svērs par N gramiem mazāk, līdz ar to paņemtā monētu kaudze svērs par N gramiem mazāk. Tie. par cik gramiem kaudze pēc svara atšķiras no 550 gramiem, šādā maisiņā ir viltotas monētas.

astoņas somas

Jums ir 8 monētu maisiņi, katrā pa 48 monētām. Piecos no maisiem ir īstas monētas, bet pārējās ir viltotas. Viltotas monētas ir par 1 gramu vieglākas nekā īstās. Vienreiz nosverot precīzu svaru, identificējiet visus viltoto monētu maisiņus, izmantojot minimālo monētu skaitu.

Nav nepieciešams dabūt monētas no pirmā maisa (0), no otrā maisa ir nepieciešams iegūt vienu monētu (1), no trešās divas (2), ceturtās - četras (4), piektās - septiņas (7), sestajā - trīspadsmit (13), septītajā, divdesmit četri (24), astotajā, četrdesmit četri (44). Katras trīs kopā ņemtas monētu "kaudzes" ir unikālas ar to, ka tās dod noteiktu precīzu svaru, kas ļauj identificēt viltotu monētu maisiņus (kopā tiek izmantotas 95 monētas). Ja visas piedāvātā risinājuma monētas būtu īstas, tad to kopējais svars būtu 95 c.u. (0+1+2+4+7+13+24+44). Salīdziniet skalas rādījumus ar to, kāds tas būtu ideālā gadījumā, ja visas monētas būtu īstas. Iegūtā starpība (parasto vienību skaits) norādīs maisiņu skaitu ar viltotām monētām. Piemēram, ja starpība ir 21, tad viltotās monētas atrodas otrajā, piektajā un sestajā maisā, jo tieši no viņiem paņēmām 21 monētu (1+7+13).

Ziemassvētku balles

Uz Ziemassvētku eglītes karājas trīs bumbiņu pāri: divi balti, divi zili un divi sarkani. Ārēji bumbiņas ir vienādas. Tomēr katrā pārī ir viena viegla un viena smaga bumba. Visas vieglās bumbiņas savā starpā sver vienādi, tāpat visas smagās bumbiņas. Izmantojot divus svērumus uz svaru pannas, nosakiet visas vieglās un visas smagās bumbiņas.

Novietojiet vienu sarkanu un vienu baltu bumbiņu uz skalas kreisās pannas un vienu zilu un vienu baltu bumbiņu uz labās pannas. Ja tiek sasniegts līdzsvars, tad ir skaidrs, ka uz katras bļodas ir viena smaga un viena viegla bumbiņa. Tāpēc pietiek salīdzināt divas baltas bumbiņas, lai uzzinātu atbildi uz mūsu jautājumu. Taču, ja pēc pirmās svēršanas līdzsvars netiek panākts, tad smagākā pusē guļ smaga balta bumbiņa. Nākamais loģiskais solis ir salīdzināt jau nosvērtās sarkanās un nenosvērtās zilās bumbiņas svaru. Pēc tam tev būs skaidrs, kuras bumbiņas ir vieglas un kuras smagas.

Deviņas somas

Ir deviņi maisi: astoņi ar smiltīm un viens ar zeltu. Zelta maisiņš ir nedaudz smagāks. Jums tiek doti divi svērumi uz pannas svariem, lai atrastu zelta maisiņu.

Sadaliet deviņus maisiņus trīs grupās pa trim maisiem katrā. Nosver divas grupas. Tādējādi jūs uzzināsiet, kurā no grupām ir zelta maiss. Tagad izvēlieties 2 maisiņus no grupas, kur tieši atrodas zelta maisiņš, un nosveriet tos.

27 tenisa bumbiņas

Ir 27 tenisa bumbiņas. 26 sver vienādi un 27 ir nedaudz smagāki. Kāds ir minimālais svēršanas reižu skaits uz pannas svariem, kas garantē smagas bumbas atrašanu?

Pietiek izmantot svarus trīs reizes. Sadaliet 27 bumbiņas 3 grupās pa 9 bumbiņām katrā. Salīdziniet abas grupas - smagā bumba būs grupā, kas atsver. Ja svari ir sasnieguši līdzsvaru, tad smagā bumba ir trešajā grupā. Tādējādi mēs definēsim 9 bumbiņu grupu, no kurām viena ir vēlamā. Sadaliet šo grupu 3 apakšgrupās, katrā pa trim bumbiņām. Līdzīgi kā pirmajā solī, salīdziniet jebkuru divu apakšgrupu svarus. Tagad salīdziniet divas bumbiņas (divas no trim, starp kurām ir jābūt tieši tai, kuru meklējat).

Salauzts svars

Tirgotājs nometa 40 mārciņas smagu svaru, un tas sadalījās 4 nevienādās daļās. Kad šīs daļas tika nosvērtas, izrādījās, ka katras no tām svars (mārciņās) ir vesels skaitlis. Turklāt, izmantojot šīs daļas, uz pannas svariem var nosvērt jebkuru svaru (kas ir vesels skaitlis) līdz 40 mārciņām. Cik svēra katrs gabals?

Fragmenti svēra: 1 mārciņu, 3 mārciņas, 9 mārciņas un 27 mārciņas, kopā 40 mārciņas.

Nagi maisā

Maisā ir 24 kg naglu. Kā uz pannas līdzsvara bez atsvariem var izmērīt 9 kg nagus?

Viena iespēja: sadaliet 24 kg divās vienādās daļās pa 12 kg, līdzsvarojot tos uz svariem. Tad arī sadaliet 12 kg divās vienādās daļās pa 6 kg. Pēc tam vienu daļu noliek malā, bet otru tādā pašā veidā sadala 3 kg daļās. Visbeidzot sešu kilogramu daļai pievienojiet šos 3 kg. Rezultāts ir 9 kg naglu.

desmit cepures

Uz galda ir desmit numurētas cepures. Katrā cepurē ir desmit zelta monētas. Vienā no cepurēm ir viltotas monētas. Īsta monēta sver 10 gramus, bet viltota tikai 9. Palīgā tiek doti svari ar svariem gramos. Kā noteikt, kurā no cepurēm ir viltotas monētas, izmantojot svaru tikai vienam svēršanai? Svari var svērt ne vairāk kā 750 gramus.

Mēs ņemam 1 monētu no pirmās cepures, 2 no otrās, 3 no trešās un tā tālāk. Mēs to visu nosveram un rezultātu atņemam no ideālā svara (mūsu gadījumā 55 × 10 = 550 grami). Iegūtais skaitlis atbildīs cepures numuram ar viltotām monētām.

81 monēta

Ir 81 viena un tā paša nomināla monēta. Viena no tām ir viltota un vieglāka par īstu monētu. Kā atrast šo monētu, izmantojot četrus svērumus uz līdzsvara pannas?

Katru reizi visu monētu tilpumu ir jāsadala 3 vienādās kaudzēs un nosver 2 no tām. Ja kaudzes ir vienādas pēc svara, tad vēlamā monēta atrodas trešajā kaudzē, bet, ja viena no abām kaudzēm ir vieglāka, tad tajā atrodas viltotā monēta. Tālāk atrastā kaudze atkal jāsadala 3 daļās un jānosver jebkuras 2. Pirmajā svēršanā mēra 27 monētu kaudzes, otrajā svēršanā mēra kaudzes ar 9 monētām, trešajā svēršanas kaudzes ar 3 monētām. tiek izmērīti, un ceturtajā svēršanā uz svariem tiek uzlikta viena monēta.

puzles svari

Abos attēlos pannas svari ir līdzsvarā. Cik daudz bumbieru, jūsuprāt, vajadzētu izmantot, lai līdzsvarotu sešus apelsīnus trešajā skalā?

Pirmā skala rāda, ka 2 āboli + 1 apelsīns sver tikpat, cik viens bumbieris. Otrā skala rāda, ka 2 āboli + 2 apelsīni = 6 āboli, t.i. 2 apelsīni ir vienādi ar 4 āboliem vai 1 apelsīns = 2 āboli. Pamatojoties uz pirmā un otrā svara datiem, mēs iegūstam, ka 1 bumbieris ir vienāds ar 4 āboliem vai 2 apelsīniem. Tādējādi 6 apelsīnus līdzsvaros 3 bumbieri.

Abos attēlos pannas svari ir līdzsvarā. Cik bumbieru, jūsuprāt, vajadzētu izmantot, lai līdzsvarotu divus ābolus un vienu apelsīnu?

Pēc otrajiem svariem var redzēt, ka ābols ir vienāds ar bumbieri un apelsīnu. Ja aizvietojam šos datus pirmajās skalās, mēs iegūstam, ka divi apelsīni ir vienādi ar vienu apelsīnu un divi bumbieri, tāpēc viens apelsīns ir vienāds ar diviem bumbieriem. Otrajā skalā apelsīna vietā aizvietojot divus bumbierus, iegūstam, ka ābols ir vienāds ar trim bumbieriem. Līdz ar to, lai līdzsvarotu trešās zvīņas, nepieciešami 8 bumbieri.

Abos attēlos pannas svari ir līdzsvarā. Cik bumbieru, jūsuprāt, vajadzētu izmantot, lai līdzsvarotu divus ābolus un divus apelsīnus?

Ir nepieciešams palielināt augļus pirmajā mērogā trīs reizes, jūs saņemat 12 bumbierus + 3 ābolus = 15 apelsīnus. Otrajā skalā mēs zinām 3 ābolu svaru = 3 apelsīni un 6 bumbieri, tos pārnesam 3 ābolu vietā uz pirmo svaru. Mēs iegūstam: 18 bumbieri = 12 apelsīni vai 3 bumbieri = 2 apelsīni. Tālāk mēs reizinām skalas B ar 2. Iegūstam: 6 āboli = 6 apelsīni + 12 bumbieri. Ja 6 apelsīnus aizstājam ar ekvivalentu bumbieros, iegūstam: 6 āboli = 21 bumbieris vai 2 āboli = 7 bumbieri. Tātad 2 āboli + 2 apelsīni = 7 bumbieri + 3 bumbieri = 10 bumbieri.

Cik apelsīnu vajag, lai pēdējā bildē līdzsvarotu zvīņas. Preces var piegādāt tikai svaru labajā pusē.

Lai izlīdzinātu svarus, nepieciešami 5 apelsīni.

Cukurs maisiņos

Ir divi maisi, viens tukšs un otrs 9 kg cukura. Kā sadalīt cukuru pa iepakojumiem 3 svērumos uz pannas svariem, izmantojot 50g un 200g svarus proporcijā: 2kg vienā iepakojumā un 7kg citā?

1. Cukuru nepieciešams pakārt maisos 2 vienādās daļās pa 4,5 kg.

2. Vienā maisā cukuru atkal sadala pa 2,25 kg un saber maisos (vienā maisā būs 2,25 kg, bet otrā 6,75 kg).

3. Izmantojot divus atsvarus kopā 250 g, atdaliet 250 g cukura no maisa ar 2,25 kg un pārnesiet citā maisā. Rezultātā vienā iepakojumā būs 7 kg, otrā 2 kg cukura.

4 monētas

Ir 4 monētas, no kurām viena ir viltota, un tā atšķiras no īstajām pēc svara, uz augšu vai uz leju. Kā noteikt viltotu monētu ar 2 svērumiem uz pannas svariem?

Uzliksim monētu uz svariem 1 un 2: 1) ja tie nav līdzsvaroti, tad noņemam otro un liekam vietā trešo. Ja svari ir līdzsvarā, tad 2. monēta ir viltota. Ja svari nav līdzsvaroti, tad 1. monēta ir viltota. 2) svari ir līdzsvaroti, tad noņemam monētu 2 un vietā liekam monētu 3. Ja svari ir līdzsvaroti, tad viltotā monēta ir 4. Ja svari nav līdzsvaroti, tad viltotā monēta ir 3.

Divi svari

Ir standarta svari ar krūzītēm un diviem svariem: 10 un 2 kg. Kā ar viņu palīdzību nosvērt 3 kg plūmju?

Sākotnēji sveram 2 kg plūmju. Tad sadalām tos vienādi pa svariem, lai svari būtu līdzsvaroti. Saņemts 1 kg plūmju. Nosaukums 1kg un svars 2 kg var izmērīt jebkuru vēlamo daudzumu, ieskaitot 3 kg.

68 monētas

Ir 68 monētas, tās visas ir dažāda svara. Kā 100 svērumos atrast vieglāko un smagāko?

Visas monētas nosveram pa pāriem, vieglās liekam vienā kaudzē, smagās otrā, kopā sanāk 34 svērumi. Pirmajā kaudzē pēc kārtas nosveram visas monētas ar šobrīd vieglākajām, t.i. ja sanāk vieglāka, tad jau ar to tiek svērtas nākamās monētas un tā 33 reizes. Ar pareizo kaudzi - tas pats, bet tikai mēs atklājam smagāko monētu, arī 33 svērumi. Kopā - tieši 100 svēršanas.

Bojāti svari

Starp 100 identiska izskata monētām ir vairākas viltotas. Visas viltotās monētas sver vienādi, visas īstās ir vienādi, viltotā monēta ir vieglāka par īsto. Ir arī svari (ar divām bļodām bez bultiņas), katrā krūzē ir tikai viena monēta. Tajā pašā laikā svari ir nedaudz bojāti: ja monētas ir dažāda svara, smagākā monēta atsver, un, ja tā ir vienāda, jebkura krūze var atsvērt. Kā izmantot šos svarus, lai atrastu vismaz vienu viltotu monētu?

Sadaliet monētas 33 kaudzēs pa 3 monētām + 1 monēta.

Nosveram katru trijnieku savā starpā, iegūstam 3 nevienādības, kā rezultātā redzēsim, vai nu katra monēta vienu reizi svērs mazāk par pārējām divām, vai divas reizes mazāk par pārējām divām.

1>2 (ir iespējamas šādas opcijas: n=n, f=f, 2-fake)

1<3 (н=н, ф=ф, 1- фальшивка)

2>3 (n=n, f=f, 3- viltus)

tas ir iespējams, ja visām trim monētām kopā ir vienāds svars, tas ir, jebkuru no tām noliekam malā

1<2(н=н,ф=ф,1-ф)

1<3(н=н,ф=ф,1-ф)

2>3(n=n,f=f,3-f)

1, visticamāk, ir viltots, tāpēc mēs to atlikām.

Un tā arī darām ar katru no 33 kaudzēm, kā rezultātā nolikām malā 11 monētas +1, kas neiekrita nevienā no kaudzēm.

Šīs 12 monētas atkal sadalām 4 kaudzēs pa 3 monētām katrā, veicam tās pašas manipulācijas, kā rezultātā iegūstam 4 monētas, sadalām 1 kaudzē + 1, monēta no kaudzes, kas izrādās vieglāka, atkal tiek iestatīta. malā un salīdzināt ar vienu monētu. Tas, kurš ir vieglāks un būs viltots.

80 monētas

Ir 80 monētas, no kurām viena ir viltota un vieglāka par pārējām. Kāds ir mazākais svērumu skaits uz svariem bez atsvariem, kas var atrast viltotu monētu?

Viltotu monētu var noteikt 4 svērumos. Algoritms ir šāds. Pirmā svēršana: uz bļodiņām uzliekam 27 monētas. Līdzsvara gadījumā viltus starp atlikušajiem 26. Ja viena bļoda ir vieglāka, tad false starp uz tās guļošajiem ir 27. Otrā svēršana: uz abām bļodām uzliekam 9 monētas no "aizdomās turamajiem" un līdzīgi strīdamies. Trešajā svēršanā uz bļodiņām uzliekam 3 monētas, bet ceturtajā - pa vienai. Kā redzat, šeit dalījums nav uz pusēm, bet trīs, ja iespējams, vienādās daļās.

Salvija

Kad valsts valdnieks nolēma apbalvot gudru cilvēku par labu darbu, viņš vēlējās paņemt tik daudz zelta, cik sver zilonis. Bet kā nosvērt ziloni? Tajos laikos tādu svaru nebija. Par ko tu padomātu šādā situācijā?

Gudrais izdarīja tā: viņš ievietoja ziloni laivā, pēc tam uz tāfeles atzīmēja ūdens līmeni. Kad zilonis tika izvilkts no laivas, atlika tikai tur novietot zeltu.

piecas preces

Pieci dažāda svara objekti ir jāsakārto to svara dilstošā secībā. Varat izmantot tikai visvienkāršākos svarus bez atsvariem, kas ļauj tikai noteikt, kurš no diviem salīdzinājumā ar svaru objektiem ir smagāks. Kā rīkoties, lai problēmu atrisinātu optimālā veidā, tas ir, lai svēršanu skaits būtu minimāls? Cik svēršanas būs jāveic?

Ar pirmo svēršanu mēs salīdzinām jebkurus divus no pieciem dotajiem priekšmetiem. Lai A ir vieglāks un B ir smagāks objekts. Pēc tam pirmās svēršanas rezultātu rakstām kā A

Pēc tam salīdziniet pārējos divus objektus un apzīmējiet vieglāko D un smagāko E: D

Piekto vienumu apzīmēsim kā C.

Trešajā svēršanā mēs salīdzinām objektus B un E. Abas iespējas, kas šeit rodas, rada līdzīgu argumentāciju, tāpēc mēs aprobežojamies ar gadījuma B izskatīšanu.

Ar ceturto svēršanu mēs salīdzinām piekto objektu C ar objektu B. Jāizšķir divi gadījumi:

a) B

b) C

Pirmajā gadījumā (B

A

Salīdzināsim (šim nolūkam ir nepieciešams piektais svēršanas punkts) objektus C un E. Šeit arī jānošķir divi iespējamie gadījumi: E.

Ja

Gadījumā, ja A

Otrajā gadījumā (C

A

Salīdziniet vienumus A un C (piektā svēršana). Abos iespējamos gadījumos (A

Tā kā mēs esam izsmēluši visus iespējamos gadījumus, pierādījumi beidzas šeit.

Divi svari

Ir 9 identiskas monētas, no kurām viena ir viltota un šī iemesla dēļ vieglāka par pārējām. Mums ir divi svari bez atsvariem, kas ļauj salīdzināt jebkuras grupas monētas pēc svara. Tomēr daži no pieejamiem svariem ir raupji, tie nevar atšķirt viltotu monētu no īstas. To precizitāte neļauj noķert svara starpību. Bet citi svari ir precīzi. Bet kuri svari ir rupji un kuri precīzi, nav zināms. Kā šajā situācijā noteikt viltotu monētu, izmantojot trīs svērumus?

Uz katras krūzes uzliksim četras monētas uz svariem Nr.1. Ja viena monētu grupa atsvēra, tad pārējais ir skaidrs - šie svari ir precīzi, un mums ir zināmas 4 monētas, starp kurām viena ir viltota. Lai svari ir līdzsvarā. Apzīmē ar A devīto monētu un pievieno tai monētas B un C – pa vienai no četrām. Atlikušos divus monētu trīskāršus uzliekam uz svariem Nr.2. Sliktākais variants - atkal līdzsvars. Tad uz svariem Nr.2 salīdzinām monētas B un C. Līdzsvara gadījumā monēta A būs nepatiesa.

2000 bumbiņas

Ir 6 atsvari, kas sver 1, 2, 3, 4, 5 un 6 g.Tie ir attiecīgi marķēti. Tomēr ir pamats domāt, ka, atzīmējot svarus, pieļauta viena kļūda. Kā, izmantojot divus svērumus uz pannas svariem, uz kuriem var salīdzināt jebkuras atsvaru grupas svarus, noteikt, vai atsvaru marķējumi ir pareizi?

Uz vienas svaru pannas liekam atsvarus ar atzīmi 1, 2 un 3 g, uz otras 6 g. Līdzsvars nozīmē, ka kļūda atzīmēšanā iespējama tikai 1-2-3 un 4-5 grupu ietvaros. Otrajā svēršanā uz vienas bļodas liekam atsvarus 3 un 5g, uz otru 6 un 1g.Ja pirmā bļoda atsver,tad marķējumā kļūdas nav.

8 monētas

Ir 8 šķietami identiskas monētas. Viens no tiem ir viltots un, kā zināms, ir vieglāks par īsto. Kā atrast viltotu monētu ar tikai diviem svērumiem uz svaru pannas?

Mēs sadalām monētas trīs kaudzēs pa 3, 3 un 2 monētām. Nosver kaudzes, kurās ir trīs monētas. Ja svars ir vienāds, tad savā starpā nosveram 2 monētas no trešās kaudzes un identificējam viltoto (vieglāko). Ja viena trīs monētu grupa ir vieglāka par otru, tad runa ir par viltotu monētu. Mēs atstājam vieglāku trīs monētu grupu un uzliekam divas monētas uz svariem un rīkojamies pēc iepriekšējā algoritma: ja svars ir vienāds, tad trešā ir viltota, un ja nē, tad vieglāka.

Saladina mīkla

Šis stāsts notika ļoti sen, krusta karu laikos. Vienu no bruņiniekiem sagūstīja musulmaņi un nogādāja viņu vadoņa sultāna Saladina priekšā, kurš paziņoja, ka atbrīvos ieslodzīto un viņa zirgu, ja saņems 100 000 zelta monētu izpirkuma maksu. "Ak, lielais Saladin," bruņinieks, kuram nebija ne santīma dvēselei, vērsās pie sultāna, "tu atņem pēdējo cerību. Manā dzimtenē gudram un atjautīgam gūsteknim tiek dota iespēja tikt atbrīvotam. Ja viņš atrisina doto mīklu, viņu atbrīvo no visām četrām pusēm, ja nē, izpirkuma summa tiek dubultota!"

"Lai tā būtu," sacīja Saladins, kurš pats mīlēja puzles. "Klausies. Jums iedos divpadsmit zelta monētas un vienkāršu līdzsvaru ar divām krūzītēm, bet bez atsvariem. Viena no monētām ir viltota, taču nav zināms, vai tā ir vieglāka vai smagāka par īstajām. Jums viņa jāatrod tikai trīs svērumos. Vai jūs varētu izkļūt?

Ir nepieciešams sadalīt 12 monētas 4 kaudzēs pa 3 monētām katrā. Uzlieciet uz svariem 2 kaudzes (uz dažādām bļodām, pa vienai). Tālāk ir iespējami divi gadījumi: 1) Ja svari nav līdzsvarā, tad viltotā monēta atrodas vienā no šīm kaudzēm. Mēs noņemam šķiltavu kaudzi un ievietojam trešo tās vietā. Ja svari ir līdzsvarā, tad viltotā monēta atrodas no svariem izņemtajā kaudzē. Ja svari nav līdzsvarā, tad viltotā monēta atrodas smagākā kaudzē. (Līdz šim ir veikti 2 svērumi). 2) Ja svari pēc pirmās svēršanas ir līdzsvarā, tad jebkuru kaudzi noņemam un vietā liekam trešo. Ja svari ir līdzsvarā, tad viltotā monēta atrodas ceturtajā kaudzē. Ja svari nav līdzsvarā, tad viltotā monēta atrodas trešajā kaudzē. (Līdz šim ir veikti 2 svērumi). Pēc 3 monētu kaudzes atrašanas mēs nosakām, kura no 3 monētām ir viltota: trešajā svēršanā jāieliek 2 monētas, un, ja tās ir līdzsvarā, tad trešā ir viltota. Ja tie nesabalansē, tad vieglākas monētas vietā jāliek trešā. Ja svari līdzsvaro, tad viltotā monēta tiek izņemta. Ja tie nesabalansē, tad viltota smagāka monēta.

20 mārciņas tējas

Kā nosvērt 20 mārciņas tējas 10 kastītēs pa 2 mārciņām katrā deviņos svaros, tikai ar svaru 5 un 9 mārciņas, izmantojot parastos pannas svarus?

1) Novietojiet 5 mārciņas smagu svaru vienā svaru pusē un 9 mārciņu atsvaru otrā pusē. Pēc tam līdzsvarojiet svarus, bļodā ar 5 mārciņas svaru ielejot 4 mārciņas tējas.

2) Noņemiet svarus no svariem, atstājiet 4 mārciņas vienā bļodā un līdzsvarojiet svarus, ieberot vēl 4 mārciņas otrajā.

3) Vēlreiz nosveriet 4 mārciņas.

4) Un atkal 4 mārciņas. Tādējādi pēc četrām svēršanām atlikusī daļa arī būs 4 mārciņas.

5-9) Sadaliet 4 mārciņas uz pusēm, līdzsvarojot svarus.

101 monēta

Starp 101 viena veida monētām viena ir viltota, kas atšķiras pēc svara. Kā, izmantojot balansēšanas pannu bez atsvariem, divos svērumos var noteikt, vai viltotā monēta ir vieglāka vai smagāka? Viltotas monētas atrašana nav nepieciešama.

Nosveriet 50 un 50 monētas:

1) Vienlīdzība:

Mēs ņemam atlikušo monētu un ieliekam to kreisajā kaudzē, nevis vienā no tur esošajām

1.1 Kreisā kaudze ir smagāka => viltotā monēta ir smagāka

1.2 Kreisā kaudze ir vieglāka => viltotā monēta ir vieglāka

2) Nevienlīdzība:

Ņemam smagāku kaudzi un sadalām divās kaudzēs pa 25 monētām.

2.1 Pāļu svars ir vienāds => viltotā monēta ir vieglāka

2.2 Pāļu svars nav vienāds => viltotā monēta ir smagāka

Barona Minhauzena uzdevums

Baronam Minhauzenam ir astoņi ārēji identiski svari, kas sver 1 g, 2 g, 3 g, ..., 8 g.. Viņš atceras, kurš no atsvariem cik sver, bet grāfs Skleroze viņam netic. Vai barons varēs veikt vienu svēršanu uz pannas svariem, kā rezultātā nepārprotami tiks noteikts vismaz viena atsvaru svars?

7+8=1+2+3+4+5, paliek 6.

2N monētas

Ir 2N numurētas monētas, un: visas īstās monētas sver vienādi, visas viltotās arī sver vienādi, viltotā monēta ir vieglāka par īsto. monētas ar skaitļiem no 1 līdz N ir īstas, un monētas ar cipariem no N + 1 līdz 2N ir viltotas. No šiem diviem apgalvojumiem tiesnesis zina tikai pirmo, un eksperts zina abus. Kā eksperts pēc trīs svēršanās uz pannas svariem bez atsvariem var pārliecināt tiesnesi par otrā apgalvojuma pamatotību?

a: N=7

b: N=9

Problēma "a" tika ierosināta vienā no Vissavienības matemātikas olimpiādēm 1970. gados. Kopš tā laika skaitlis N=7 (un vispār N=2^K-1 K svērumiem) tiek uzskatīts par neuzlabojamu. Un tomēr, tas tā nav. Uzlabojumu (problēma "b") izgudroja S. Tokarevs 1997. gadā.

a) 1) Eksperts nosver monētas 1 un 8. (1 > 8)

Tiesnesis ir pārliecināts, ka 8 ir nepatiess.

2) Eksperts sver 1+8 un 9+10. (1+8 > 9+10)

Tiesnesis pārliecinās, ka 9+10 ir vieglāk nekā viens viltots un viens īsts. Tāpēc viņš secina, ka gan 9, gan 10 ir nepatiesi.

3) Eksperts sver 1+8+9+10 un 11+12+13+14.

Tāpat tiesnesis var izsecināt visas monētas 11.–14. Ņemiet vērā, ka ir nepieciešama tieši viena īsta monēta.

b) Iepriekšēja darbība: eksperts sagrupē monētas šādās trīs kaudzītēs: A (1, 2; 10, 11); B (3, 4, 5; 12, 13, 14); B (6, 7, 8, 9; 15, 16, 17, 18); Katrā kaudzē ir vienādi īstas un viltotas monētas, eksperts to zina, un tiesnesis tiks pierādīts svēršanas rezultātā.

1) Īstās monētas no kaudzes A un viltotās no kaudzes B tiek novietotas uz svaru kreisās pannas, bet viltotās monētas no kaudzes A un īstās no kaudzes B tiek novietotas uz labās pannas. Labā kauss ir smagāka par kreiso. viens.

2) Īstās monētas no kaudzes B un viltotās monētas no kaudzes C tiek novietotas uz svaru kreisās pannas, bet viltotās monētas no kaudzes B un īstas no kaudzes C tiek novietotas uz labās pannas. Labā kauss ir smagāka par kreiso. viens.

3) Uz skalas kreisās pannas tiek liktas īstas monētas no kaudzes C un viltotās no kaudzes A un B, bet uz labās pannas tiek liktas viltotas monētas no kaudzes C un īstās no kaudzes A un B. Labā kauss ir smagāks par kreiso.

Pieņemsim, ka x ir atšķirība starp A kaudzes īsto un viltoto monētu svaru, t.i. (1+2) -(10+11), y — tas pats grupai B, t.i., (3+4+5)-(12+13+14), z – (6+7+8+9)- ( 15+16+17+18).

Mūsu svēršanās tiesnesim pierādīja šādas trīs nevienlīdzības:

y>x; z > y; x+y > z.

Tā kā x, y, z ir veseli skaitļi, stingras nevienādības var aizstāt ar nestingrām:

y >= x+1

z >= y+1

x+y >= z+1.

Tātad: x+y >= y+2 => x >= 2;

x+y >= x+3 => y >= 3;

2z >= x+y+3 >= z+4 => z >= 4.

No otras puses, ir acīmredzams, ka atšķirība starp K īstu monētu un K nezināmu monētu nevar būt lielāka par K, un vienlīdzība notiek tikai tad, ja visas nezināmās monētas ir viltotas. Tas tiesnesim pierāda visu nepieciešamo...

Ņemiet vērā, ka šajā gadījumā 9 īstas monētas nav vajadzīgas! Cik tev tiešām vajag? Padomā...

Vēl interesantāka problēma ir četrām svēršanām. A) uzdevuma algoritms ļauj ekspertam pierādīt 15 monētu nepatiesību. Tokareva algoritma vispārinājums ļauj mums uzlabot šo saistību līdz 27.

Dungeon Escape

Karalis, viņa dēls princis un viņa meita princese atradās augsta torņa cietumā. Viņi svēra attiecīgi 195, 105 un 90 mārciņas. Ēdienu viņiem cēla divos grozos, kas piestiprināti garas virves galiem. Virve tika pārmesta pāri sijai, kas iedzīta tieši zem jumta. Izrādījās, ka tad, kad viens grozs atradās zemē, otrs atradās ieslodzīto kameras loga līmenī. Šie grozi palika vienīgā cerība uz pestīšanu. Dabiski, tiklīdz viens grozs kļuva smagāks par otru, tas nogrimst. Tomēr, ja svara atšķirība pārsniedz 15 mārciņas, grozs skries uz leju. Vienīgais, kas palīdzētu gūstekņiem izkļūt no gūsta, bija 75 mārciņas smaga lielgabala lode kamerā – to varēja mēģināt izmantot kā pretsvaru. Kā ieslodzītajiem izdevās aizbēgt?

1. Princese nolaižas, izmantojot bumbu kā pretsvaru.

2. Princese, sasniegusi zemi, neizkāpj no groza. Princis ieņem kodola vietu un nolaižas, izmantojot princesi kā pretsvaru.

3. Princese uzkāpj un kopā ar karali ieliek serdi grozā.

4. Princis sēž nolaistā grozā ar lielgabala lodi, kas ļauj nolaist karali.

5. Kad karalis atrodas uz zemes, princis ar bumbu ir virsū. Princis tiek izvēlēts no groza un grozs ar lielgabala lodi tiek nolaists uz leju.

6. Princese apsēžas tukšā grozā netālu no cietuma un nolaižas zemē.

7. Princis izvelk bumbu no paceltā groza un pats nolaižas, izmantojot princesi kā pretsvaru.

8. Princese tukšajā grozā nolaiž serdi, un viņa apsēžas paceltajā un nolaižas, izmantojot serdi kā pretsvaru.

1999. gada monētas

Ir 1999. gada monētu komplekts. Zināms, ka 1410 no tiem ir viltoti. Viltotas monētas svars no oriģinālās atšķiras par 1 g, un dažas viltotas monētas var būt vieglākas, bet citas ir smagākas par īstām. Mums ir pannas svari, kas var parādīt svara atšķirību. Kā noteikt jebkuras monētas autentiskumu no komplekta vienā svēršanā?

Mēs nosveram visas monētas, izņemot šo, un aplūkojam svara atšķirību. Apzīmējiet parastās monētas svaru kā N, tad visas monētas svērs vai nu 1998*N+2x (kur 0=<705) - в данном случае наша монета настоящая, либо 1998*N+(2x-1) (где 0=<705) - в этом случае наша монета фальшивая.