Mobius chizig'i va uning kutilmagan hodisalari. Ilmiy o'yinchoqlar

Sirtni va uning ustida o'tirgan chumolini tasavvur qiling. Chumoli sirtning teskari tomoniga - majoziy ma'noda, uning pastki tomoniga - chetiga chiqmasdan emaklay oladimi? Albatta yo'q!

Avgust Ferdinand Möbius (1790-1868)

Bir tomonlama sirtning birinchi misoli, chumoli har qanday joyda chetiga chiqmasdan sudralishi mumkin, 1858 yilda Mobius tomonidan berilgan.

Mobius tasmasi, shuningdek, halqa, sirt yoki varaq deb ham ataladi, topologiya kabi matematik intizomning o'rganish ob'ekti bo'lib, buralish, cho'zish, siqish, egilish kabi uzluksiz o'zgarishlarda saqlanadigan figuralarning umumiy xususiyatlarini o'rganadi. va boshqalar yaxlitlik bilan bog'liq bo'lmagan ... Bunday lentaning hayratlanarli va o'ziga xos xususiyati shundaki, u faqat bir tomoni va chetiga ega va uning kosmosdagi joylashuviga hech qanday aloqasi yo'q. Mobius chizig'i topologik, ya'ni oddiy Evklid fazosida (3 o'lchovli) chegarasi bo'lgan eng oddiy bir tomonlama yuzasiga ega bo'lgan uzluksiz ob'ekt, bu erda bunday sirtning bir nuqtasidan chetini kesib o'tmasdan, boshqasiga boring.

Avgust Ferdinand Möbius (1790-1868) - matematiklar "qiroli" Gaussning shogirdi. Mobius dastlab Gauss va boshqa ko'plab astronomlar kabi matematika rivojlanishi uchun qarzdor bo'lgan. O'sha kunlarda matematikani o'rganish qo'llab-quvvatlanmadi va astronomiya ular haqida o'ylamaslik uchun etarli pul berdi va o'z mulohazalariga vaqt qoldirdi. Va Mobius 19-asrning eng buyuk geometriyalaridan biriga aylandi.

68 yoshida Möbius ajoyib go'zallik kashfiyoti qila oldi. Bu bir tomonlama yuzalarning kashfiyoti bo'lib, ulardan biri Mobius tasmasi (yoki lenta). Mobius bo'yniga ro'molini noto'g'ri taqib olgan xizmatchi ayolni ko'rib, lentani o'ylab topdi.
Evklid fazosida, aslida, Mobius tasmasi ikki xil bo'lib, ular yarim burilishda ochiladi: biri soat yo'nalishi bo'yicha ochiladi, ikkinchisi soat miliga teskari.

Mobius tasmasi quyidagi xususiyatlarga ega, ular siqilgan, kesilgan yoki burilganda o'zgarmaydi:

1. Bir tomonning mavjudligi. A.Mobius «Ko‘p yuzlilar hajmi haqida» asarida uning nomi bilan atalgan, faqat bir tomoni bo‘lgan geometrik sirtni tasvirlab bergan. Buni tekshirish juda oddiy: biz lenta yoki Moebius tasmasini olamiz va ichki tomonni bitta rang bilan, tashqi qismini esa boshqa rang bilan bo'yashga harakat qilamiz. Rasm qaerda va qaysi yo'nalishda boshlanganligi muhim emas, butun shakl bir xil rang bilan bo'yalgan bo'ladi.
2. Uzluksizlik shu geometrik figuraning istalgan nuqtasini Mobius sirtining chegaralarini kesib o‘tmasdan uning istalgan boshqa nuqtalari bilan bog‘lash mumkinligida ifodalanadi.
3. Bog'lanish yoki ikki o'lchovlilik, lentani uzunligi bo'yicha kesishda undan bir nechta turli shakllar chiqmaydi va u bir butun bo'lib qoladi.

4. Orientatsiya kabi muhim xususiyatga ega emas. Bu shuni anglatadiki, bu raqam bo'ylab yurgan odam o'z yo'lining boshiga qaytadi, lekin faqat o'zining oyna tasvirida. Shunday qilib, cheksiz Moebius chizig'i abadiy sayohatga olib kelishi mumkin.
5. Mobius yuzasida mumkin bo'lgan maksimal hududlar sonini ko'rsatadigan maxsus xromatik raqam, siz ulardan har qandayining boshqalar bilan umumiy chegaraga ega bo'lishi uchun yaratishingiz mumkin. Mobius tasmasi xromatik raqamga ega - 6, lekin qog'oz halqasi - 5.

Bugungi kunda Mobius tasmasi va uning xossalari fanda keng qoʻllanilib, yangi gipoteza va nazariyalarni yaratish, tadqiqot va tajribalar oʻtkazish, yangi mexanizm va qurilmalar yaratish uchun asos boʻlib xizmat qilmoqda. Shunday qilib, gipoteza mavjud, unga ko'ra koinot ulkan Mobius halqasidir. Buni bilvosita Eynshteynning nisbiylik nazariyasi tasdiqlaydi, unga ko'ra, hatto to'g'ri uchayotgan kema ham o'zi boshlangan vaqt va fazo nuqtasiga qaytishi mumkin.

Boshqa bir nazariya DNKni Mobius yuzasining bir qismi sifatida ko'rib chiqadi, bu genetik kodni o'qish va dekodlash qiyinligini tushuntiradi. Boshqa narsalar qatorida, bunday tuzilma biologik o'lim uchun mantiqiy tushuntirish beradi - o'z-o'zidan yopilgan spiral ob'ektning o'zini o'zi yo'q qilishga olib keladi. Fiziklarning fikriga ko'ra, ko'plab optik qonunlar Moebius chizig'ining xususiyatlariga asoslanadi. Shunday qilib, masalan, oyna tasviri - bu maxsus vaqt o'tkazmasi va odam o'zining ko'zgusini uning oldida ikki barobar ko'radi.

Agar siz Mobius tasmasi bilan qiziqsangiz, uning modelini qanday qilish kerakligi haqida kichik ko'rsatma sizga aytiladi:
1. Uning modelini ishlab chiqarish uchun sizga kerak bo'ladi: - oddiy qog'oz varag'i;
- qaychi;
- hukmdor.
2. Bir qog'oz varag'idan chiziqni kesib oling, shunda uning kengligi uzunligidan 5-6 baravar kam bo'ladi.
3. Olingan qog'oz tasmasi tekis yuzaga yotqiziladi. Biz bir uchini qo'limiz bilan ushlab turamiz, ikkinchisini 180 * ga aylantiramiz, shunda chiziq burishadi va noto'g'ri tomoni old tomonga aylanadi.
4. Rasmda ko'rsatilganidek, o'ralgan chiziqning uchlarini yopishtiring.

Mobius tasmasi tayyor.
5. Qalam yoki markerni oling va lenta o'rtasida trekni chizishni boshlang. Agar siz hamma narsani to'g'ri bajargan bo'lsangiz, unda siz chiziq chizishni boshlagan joydan xuddi shu nuqtaga qaytasiz.

Mobius tasmasi bir tomonlama ob'ekt ekanligini vizual tasdiqlash uchun uning bir tomonini qalam yoki qalam bilan bo'yashga harakat qiling. Biroz vaqt o'tgach, siz uni butunlay bo'yab qo'yganingizni ko'rasiz.

Mobius varag'i haykaltaroshlik va grafika uchun ilhom manbai bo'lib xizmat qildi. Escher uni juda yaxshi ko'rgan va bir nechta toshbosma asarlarini ushbu matematik ob'ektga bag'ishlagan rassomlardan biri edi. Mashhurlardan biri - "Mobius Leaf II", Mobius chizig'i yuzasida sudralib yurgan chumolilarni ko'rsatadi.

Mobius bargi - "Kvant kutubxonasi" turkumidagi ilmiy-ommabop kitoblar seriyasining timsoli. Bundan tashqari, Artur Klarkning "Qorong'ulik devori" qissasi kabi ilmiy-fantastik asarlarda ham tez-tez uchraydi. Ba'zida ilmiy-fantastik hikoyalar (nazariy fiziklarning so'zlariga ko'ra) bizning koinotimiz qandaydir umumiy Mobius chizig'i bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi. Shuningdek, Mobius halqasi Ural yozuvchisi Vladislav Krapivinning "Buyuk kristall qa'rida" tsiklida (masalan, "Anchor qutbidagi zastava. Tale") doimiy ravishda tilga olinadi. Yozuvchi A. J. Doychning “Mobius bargi” qissasida Boston metrosi yangi liniya quradi, uning yo‘nalishi shu qadar chalkash bo‘lib, Mobius chizig‘iga aylanadi, shundan so‘ng bu liniyada poyezdlar yo‘qola boshlaydi. Hikoya asosida rejissyor Gustavo Mosquera tomonidan "Mobius" fantastik filmi suratga olindi. Shuningdek, Mobius chizig'i g'oyasi M. Kliftonning "Mobius chizig'ida" hikoyasida qo'llaniladi.

Mobius chizig'i Brayan Lumlining "Nekroskop" romanining qahramoni Garri Kif tomonidan makon va vaqt ichida harakatlanish usuli sifatida ishlatiladi.

R. Zelazniyning "Qumdagi eshiklar" fantastik romanida Mobius chizig'i muhim rol o'ynaydi.

E. Naumovning "Yarim hayot" kitobida (1989) alkogolli ziyoli Möbius chizig'iga chiqib, mamlakat bo'ylab sayohat qiladi.

Zamonaviy rus yozuvchisi Aleksey Shepelevning "Echo" romanining yo'nalishi Mobius chizig'i bilan taqqoslanadi. Kitobga izohdan: "" Echo "mobius halqasining adabiy o'xshashligi: ikkita hikoya chizig'i -" o'g'il bolalar "va" qizlar - bir-biriga bog'langan, bir-biriga oqib o'tadi, lekin kesishmaydi."

Mobius tasmasi 2010-yilda nashr etilgan “Radio Murakami” to‘plamidan Xaruki Murakamining “Oblada egalik qil” inshosida ham uchraydi, bu yerda Mobius tasmasi majoziy ma’noda cheksizlik bilan taqqoslanadi.

CHARONning "Makoto Mobius" vizual romanida bosh qahramon Vataro sehrli artefakt - Mobius tasmasi yordamida sinfdoshini o'limdan qutqarishga harakat qiladi.

1987 yilda sovet jazz pianinochisi Leonid Chijik xuddi shu nomdagi kompozitsiyani o'z ichiga olgan "Mobius Tape" albomini yozdi.

"Futurama" animatsion serialining epizodlaridan biridagi poyga treki (7-mavsum, 14-qism, 11 daqiqa) Mobius chizig'i.

Möbius chizig'ining texnik ilovalari mavjud. Möbius tasmali konveyer tasmasi uzoqroq xizmat qiladi, chunki butun tasma yuzasi teng ravishda eskiradi. Uzluksiz lenta yozish tizimlari Mobius lentalaridan ham foydalanadi (yozuv vaqtini ikki baravar oshirish uchun). Ko'pgina matritsali printerlarda siyoh lentasi o'z manbasini oshirish uchun Mobius tasmasi shaklida ham bo'ladi.

Shuningdek, CEMI RAS institutiga kiraverishda me'mor Leonid Pavlovning rassomlar E. A. Jarenova va V. K. Vasiltsov bilan hamkorlikda "Mobius strip" mozaikli baland relefi (1976) joylashgan.

Mobius chizig'i g'oyasidan foydalangan holda arxitektura echimlari:

Mobius zargarlik buyumlari:

Möbius chizig'ining texnik ilovalari mavjud. Konveyer tasmasi Mobius tasmasi shaklida ishlab chiqariladi, bu uning uzoqroq ishlashiga imkon beradi, chunki tasmaning butun yuzasi bir tekisda eskiradi. Uzluksiz lenta yozish tizimlari Mobius lentalaridan ham foydalanadi (yozuv vaqtini ikki baravar oshirish uchun). Ko'pgina matritsali printerlarda siyoh lentasi o'z manbasini oshirish uchun Mobius tasmasi ko'rinishiga ham ega.

Mobius rezistori deb ataladigan qurilma yaqinda ixtiro qilingan elektron element bo'lib, o'ziga xos induktivlikka ega emas. Mobius lentalari uzluksiz lenta yozish tizimlarida (yozuv vaqtini ikki baravar oshirish uchun) ham qo'llaniladi, nuqta matritsali printerlarda siyoh lentasi ham saqlash muddatini oshirish uchun Mobius varag'iga o'xshardi.

Mobius chizig'i (Möbius tasmasi) - faqat bir tomoni va bir chegarasi bo'lgan uch o'lchovli sirt, yo'naltirilmasligining matematik xususiyatiga ega. U 1858 yilda ikki nemis matematiki Avgust Ferdinand Möbius va Iogan Benedikt Listing tomonidan bir vaqtning o'zida mustaqil ravishda kashf etilgan.

Mobius tasma modelini qog'oz tasmasidan osongina yaratish mumkin, bu chiziqning bir uchini yarmiga aylantirib, ikkinchi uchi bilan bog'lab, yopiq shakl hosil qiladi. Agar siz qalam bilan lenta yuzasiga chiziq chizishni boshlasangiz, chiziq shaklga chuqur kirib boradi va chiziqning boshlang'ich nuqtasi ostidan o'tadi, xuddi lentaning "boshqa tomoni" ga o'tadi. Agar siz chiziqni davom ettirsangiz, u boshlang'ich nuqtasiga qaytadi. Bunday holda, chizilgan chiziq uzunligi qog'oz chizig'ining uzunligidan ikki baravar ko'p bo'ladi. Ushbu misol Mobius chizig'ining faqat bir tomoni va bir chegarasi borligini ko'rsatadi.

Evklid fazosida, aslida, Mobius tasmasi ikki xil bo'lib, ular yarim burilishda ochiladi: biri soat yo'nalishi bo'yicha ochiladi, ikkinchisi soat miliga teskari.

Geometriya va matematika

Mobius chizig'i parametrik tenglamalar tizimi bilan ifodalanishi mumkin:

qayerda va. Bu tenglamalar tekislikda yotgan, kengligi 1 bo'lgan Mobius chizig'ini tasvirlaydi x-y; aylananing ichki radiusi 1 ga, ichki aylana markazi koordinata boshida (0,0,0) joylashgan. Parametr u lenta bo'ylab harakatlanadi va parametr v- bir chegaradan ikkinchisiga.

Shu bilan bir qatorda, lenta qutb koordinatalarida ifoda bilan ifodalanishi mumkin:

Topologik nuqtai nazardan, Mobius chizig'ini kvadrat x sifatida belgilash mumkin, uning tepasi pastki qismga nisbatda bog'langan ( x,0) ~ (1-x, 1) 0 ≤ uchun x≤ 1 o'ngdagi rasmda ko'rsatilganidek.

Ob'ektlarni yoping

Mobius chizig'i bilan chambarchas bog'liq bo'lgan sirli ob'ekt - Klein shishasi. Klein shishasini ikkita Mobius chizig'ini ularning chegaralari bo'ylab yopishtirish orqali yaratish mumkin. Ushbu operatsiyani 3D maydonida shakl ichida kesishmalar yaratmasdan amalga oshirib bo'lmaydi.

Asosiy mumkin bo'lmagan raqamlardan biri imkonsiz uchburchak Agar uning ba'zi qirralari tekislangan bo'lsa, Moebius chizig'i sifatida ifodalanishi mumkin. Bu uchta burilish tasvirlangan Möbius chizig'ini yaratadi.

Art

Power Architecture logotipi

Shuningdek, Mobius tasmasi ko'pincha turli logotiplar va brendlar tasvirlarida qo'llaniladi. Eng yorqin misol - qayta foydalanishning xalqaro ramzi.

Ilova. Moebius lentalari bilan rasmlar

Quyidagi Pol Bielachyc surati deyiladi Muallif aytganidek, bu rasm uning hayotining turli tomonlarini birlashtirgan. Keltlar tugunlari uning ishida, M.K.ning rasmlarida uni o'rab oladi. Escherlar har doim ilhom manbai bo'lib, Moebius chizig'i rassom tomonidan o'rganilgan mavzu bilan bog'liq.

Moebius chizig'i oddiy, ammo ajoyib narsa. Buni bir necha soniya ichida bajarish mumkin va bu hodisa juda ko'p kutilmagan hodisalar, naqsh va xususiyatlarga ega. Amalda buni aniqroq qilish uchun oddiy qog'oz chizig'ini oling, yopishtiring, uning uchlarini ulang. Ammo bir uchi ikkinchisiga nisbatan yarim burilish bilan teskari bo'lib chiqishi juda muhimdir. Shunday qilib, mashhur Moebius chizig'i tayyor.

Olingan sirli sirt haqida cheksiz gapirishingiz mumkin. O'zingizdan qog'oz halqaning nechta yuzasi borligini so'rang. Ikki? Lekin yo'q - bir. Buni tekshirish juda oson. Flomaster yoki qalam oling va uni sindirmasdan yoki boshqa tomonga o'tmasdan lentaning bir tomonini bo'yashga harakat qiling. Bo'ldimi? Bo'yalmagan tomoni qayerda? Bo'ldi shu ...

Lentaning nomini uning ixtirochisi: Leyptsig universiteti professori Avgust Ferdinand Moebius bergan. U uzoq va samarali hayotini ilmiy faoliyatga bag'ishladi (bu 78 yil) va u ketishigacha aqli ravshanligini saqlab qoldi. Professor 75 yoshida bir tomonlama yuzaning o'ziga xos xususiyatlarini ko'rinadigan ikki qatlamli tasvirlab berdi. O'shandan beri geometriya, fizika va hatto ma'naviyatning eng yaxshi aqllari bu ob'ektni uzoq va keng o'rganishdi.

Mobius tasmasini olib, mustaqil ravishda bir nechta tajribalarni amalga oshirishingiz mumkin. Butun sirt bo'ylab dastlabki o'rta chiziqni chizib, uni kesib olishga harakat qiling. Nima deb o'ylaysiz, nima bo'ladi? Ikki kichikroq uzukmi? Yana noto'g'ri - bitta! Avvalgisidan ikki baravar uzunroq, lekin allaqachon ikki marta o'ralgan. Bu erda u birinchi holatda bo'lgani kabi bitta emas, balki ikkita sirtga ega bo'ladi. Ushbu jingalak afg'on lentasi deb ataladi va u tadqiqotchilarga ham ma'lum. Aytgancha, ma'naviyatda bu ta'sir ikkilik timsoli deb ataladi va birning illyuziya idroki sifatida talqin qilinadi.

Va agar siz yana uzunlamasına chiziq chizsangiz, lekin o'rtada emas, balki lenta kengligining uchdan bir qismiga chekka yaqinroq? Olingan uzukni kesib oling va sizning qo'lingizda allaqachon ikkitasi bo'ladi: Mobius lentasi va afg'on lentasi va ular tushunarsiz tarzda bir-biriga bog'langan bo'ladi.

Ammo bularning barchasi kutilmagan hodisalar emas. Lentani halqaga yopishtirishda bitta emas, balki ikkita qog'oz tasmasi olishga harakat qiling. Va keyin uchta yoki hatto to'rtta. Kafolat qilaman: natija sizni yanada hayratda qoldiradi!

Qiziqarli eksperiment gipotetik jihatdan ham ilgari surilishi mumkin. Ikkita Mobius tasmasini olib (ya'ni ikkita chiziqdan yopishtirilgan) va ularning orasiga barmoqni yopishtirib (qalam, yog'och tayoq - nima bo'lishidan qat'i nazar) biz uni lentalar orasida cheksiz o'tkazishimiz mumkin va shu bilan bu raqam ikkita alohida qismdan iboratligini isbotlaymiz. . Endi tasavvur qiling-a, bu lentalar orasida pashsha sudralib yuradi. Buning uchun pastki chiziq "qavat", yuqori qismi - "ship" va boshqalar bo'ladi.

Ammo, aslida, hamma narsa ko'rinadigan darajada oddiy emas. Axir, agar siz pashshaning sayohati boshlanishi belgisini "erga" qo'ysangiz, hasharot aylana hosil qilganda, bu belgi allaqachon "shiftda" bo'ladi. Va polga qaytish uchun yana bir doira qilish kerak bo'ladi.

Tasavvur qiling-a, pashsha ko'chada sudralib yuradi. Uning o'ng tomonida juft raqamlari bo'lgan uylar, chap tomonida esa toq raqamlar ostida joylashgan. Sayr qilayotganda, bir nuqtada bizning sayohatchimiz toq raqamlar allaqachon o'ngda, juft raqamlar esa chap tomonda ekanligini payqab hayratda qoladi! O'ng tomonda harakatlanadigan haqiqiy yo'llarimizda bunday vaziyatni tasavvur qilish qo'rqinchli, chunki tez orada biz "boshqa-bosh" yuradigan boshqa odamlarga duch kelishimiz kerak. Bu shunday - Mobius chizig'i ...

Bu va boshqa naqshlarning qo'llanilishi nafaqat faraziy, balki real hayotda ham topilgan. Masalan, bosma qurilmalardagi kamarlar, avtomat uzatmalar qutisi, o'tkirlash mexanizmlarida abraziv halqa va siz hatto shubhalanmaydigan boshqa ko'p narsalar lenta asosida yaratilgan. Haqiqatan ham, Mobius chizig'i - bu cheksiz o'rganish mumkin bo'lgan topishmoq!

"Budagovskaya o'rta maktabi" shahar ta'lim muassasasi Mavzu: To'ldiruvchi: Shalygin Ivan 5-sinf o'quvchisi Nazoratchi: Kalash G.V. Matematika o'qituvchisi Budagovo 2012 1 EPIGRAF: Uch o'lchovli fazoda Biz yashaymiz, yuramiz, o'ynaymiz va maktabga boramiz. Shuning uchun u haqida ko'proq ma'lumot olish zarar qilmaydi Kosmos haqida hamma narsani boshidan o'rganing. Atrofimizdagi hamma narsa tanish va yoqimli. Xizmatkor bizga ilmga yo‘l ochdi. Tasma xato bilan tikilgan va u avlod uchun ma'no topdi. Shunday qilib, Möbius fan uchun varaq topdi, matematika bo'limiga ega bo'ldi. Jismlarning sirtlarini o'rganadigan bo'lim O'shandan beri hamma topologiya deb ataydi. Qanday qilib lentadagi pashsha yo'lni o'chirmaydi? Afsuski, uning uchun cheksiz yo'l bor. 2 Mundarija I. Möbius bargi 1. Mundarija ……………………………………………………………………………………………… ..3 2 .Kirish ……………………………………………………………………………………………………………………………………… .4 3.Tarixiy ma’lumotlar……… ………………………………………………………………………… ..5 4. Topologiya – “Pozitsiya geometriyasi” ... … … ………………………………………………… .5 II. Qog'oz bilan tadqiqot tajribalari: 1. Möbius varag'i yuzasini bo'yash ………………………………… 7 2. Möbius varag'ini kesish: ………………………………………… ………… ………… .8 a) varaq bo'ylab ikkita teng qismga …………………………………………………………………………… .. ……… .9 b) lentani burishda ……… ………… ……………………… 10 c) to'g'ri burchak ostida yopishtirilgan bir nechta lentalar …………………………… 11 d) varaq bo'ylab 3 ga bir nechta kesmalar; 4; 5; qismlar …………………… .12 3. Tajriba natijalariga ko‘ra jadvallarni to‘ldiring……………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………… 12 5. Mobius tasmasi bilan nayranglar …………………………………………………………………………………………… ..13 6. Arqon va yelek bilan tajribalar. …………………………………………… 14 III. Möbius chizig'ining amaliy qo'llanilishi …………………………………… .15 IV Xulosa …………………………………………………………… …… ……………………… .16 V. Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati ……………………………………………… ..17 VI. Ilova ……………………………………………………………………………………………………………………………………. 5-sinf (Ivan Shalygin tomonidan olingan fotosuratlar va videolavhalar) …………………………………………………………………………………………………… ……… 17 3 Kirish Loyihaning umumiy tavsifi: 1. “Kosmosdagi geometriya” loyihasi uzoq muddatli (Ikkinchi va uchinchi choraklarga moʻljallangan) 2. Loyiha kognitiv, tadqiqotdir. (Tadqiqot va tajriba, tizimlashtirish va amaliy qo'llash). 3. Guruh loyihasi (5-sinf o‘quvchilari bilan to‘garak yig‘ilishlarida ishlash) 4. Kengaytirilgan loyiha. ("Matematika darsligi sahifalari ortida" mintaqaviy konferentsiyasida konferentsiya va taqdimot shaklida loyiha bo'limini keyinchalik himoya qilish bilan maktabda o'tkaziladi) 5. Loyihaning "Möbius varag'ining sirlari" mavzusidagi bo'limi natijalariga ko'ra IV guruh rahbari Ivan Shalygin insho tayyorladi va nutq so'zladi. Ishdan maqsad: 1.Matematikaning yangi bo’limi – “Topologiya” bo’limi, uning asosiy tushunchalari va vazifalari bilan tanishish, amaliy maqsadlarda tadqiqot olib borish va o’zingiz uchun kashfiyotlar qilish. 2. Mobius bargining birinchi g'oyasini shakllantiring. Atrofingizdagi dunyoga matematik yondashuvning asosiy usullari bilan tanishing. 3. Tadqiqotlar olib borish, natijalarni tavsiflash, jadvallarni to'ldirish va natijada olingan chizmalar va tajriba davomida olingan modellarning chizmalarini bajarishni o'rganing. 4. Asoslangan xulosalar chiqarishni, vaziyatlarni hal qilish uchun g‘oyalarni ishlab chiqishni, bilimlarni yangi muammo va muammolarni hal qilishda qo‘llashni o‘rganing. 5. Amaliy tajribalar o'tkazish. 6. Ko'rib chiqilayotgan materialning hayot bilan aloqasini o'rnating. 4 Tarixiy ma'lumot Avgust Ferdinand Möbius (1790-1868) Tashqarida yomg'ir yog'ayotgan edi. Quvur chekildi, sutli sevimli qahvangizdan bir piyola ichildi. Derazadan ko‘rinayotgan manzara g‘amgin edi. Kresloda bir kishi o'tirardi. Fikrlar boshqacha edi, lekin qandaydir maxsus narsa xayolimga kelmadi. Faqat havoda aynan shu kun shon-shuhrat olib kelishi va Avgust Ferdinand Moebius nomini abadiylashtirishi tuyg'usi bor edi. Xona ostonasida uning sevimli xotini paydo bo'ldi. To'g'ri, uning kayfiyati yaxshi emas edi. U Mobiusning tinch xonadoni uchun yiliga uch marta sayyoralar paradini ko'rishdek aql bovar qilmaydigan darajada g'azablanganidan g'azablanganini aytish to'g'riroq bo'lar edi va u shunchalik o'rtamiyona xizmatkorni zudlik bilan ishdan bo'shatishni qat'iy talab qildi. u hatto lentani ham to'g'ri tika olmadi. Professor qovog'ini solib: "Ha, Marta! Qiz unchalik ahmoq emas. Axir, bu bir tomonlama dumaloq yuza. Lentaning ichki qismi yo'q!" Ochiq sirt matematik asos oldi va uni ta'riflagan matematik va astronom sharafiga nomlangan.Topologiya - "Pozitsiya geometriyasi" Nemis matematigi Avgust Ferdinand Möbius hayratlanarli bir tomonlama qog'oz varag'i mavjudligini kashf etgan paytdan boshlab, bir butun Matematikaning topologiya deb ataluvchi yangi tarmogʻi rivojlana boshladi.Asosan jismlarning sirtlarini oʻrganadi va u obʼyektlar oʻrtasida, koʻrinishidan, bir-biri bilan bogʻliq boʻlmagan matematik munosabatni topadi.Masalan, topologiya nuqtai nazaridan, makaron yong'og'i va krujka bu ob'ektlarning har birining teshikka ega bo'lishi bilan bog'liq, ammo boshqa barcha jihatlari bilan ular bir-biridan farq qiladi.5 Mobius chizig'i yangi fan - topologiyaga asos solgan.Bu so'zni Iogan Benedikt Listing ixtiro qilgan. , Gottingen universiteti professori, u deyarli bir vaqtning o'zida o'zining Leyptsigdagi hamkasbi bilan bizga tanish bo'lgan, bir marta o'ralgan lentani bir tomonlama sirtning birinchi namunasi sifatida taklif qildi. Bu ilm yosh va shuning uchun yaramas. Aks holda, unda qabul qilingan o'yin qoidalari haqida gapira olmaysiz. Topolog har qanday figurani egish, burish, siqish va cho'zish huquqiga ega - u bilan har qanday narsani qilish, shunchaki yirtib tashlamaslik yoki yopishtirmaslik. Va shu bilan birga, u hech narsa sodir bo'lmagan, uning barcha xususiyatlari o'zgarishsiz qolgan deb hisoblaydi. Uning uchun na masofalar, na burchaklar, na maydonlar muhim emas. Va uni nima qiziqtiradi? Shakllarning hech qanday o'zgarishlarda o'zgarmaydigan eng umumiy xossalari, agar falokat bo'lmasa - figuraning "portlashi".Shuning uchun ba'zan topologiya "uzluksizlik geometriyasi" deb ataladi. U shuningdek, "rezina geometriya" nomi bilan ham tanilgan, chunki topolog o'zining barcha shakllarini bolalar uchun puflanadigan to'p yuzasiga qo'yishi va uning shaklini cheksiz o'zgartirib, to'p yorilib ketmasligiga ishonch hosil qilish uchun hech qanday xarajat qilmaydi. , masalan. , uchburchakning tomonlari egri chiziqqa aylanadi, topolog uchun u chuqur befarqdir.Topologiya figuralarning qanday g'ayrioddiy xossalarini o'rganadi.Shu paytgacha biz faqat bitta xususiyat - bir tomonlamalik haqida gapirgan edik.Agar siz sirt bo'ylab harakatlansangiz. Mobius chizig'ini bir yo'nalishda, uning chegaralarini kesib o'tmasdan, keyin ikki tomonlama sirtlardan (masalan, shar va silindrdan) farqli o'laroq, siz o'zingizni asl nusxaga nisbatan teskari bo'lgan joyda topasiz.Agar siz doirani harakatlantirsangiz. bu lenta bo'ylab bir vaqtning o'zida soat yo'nalishi bo'yicha aylanib yursa, keyin boshlang'ich holatda aylanma yo'nalishi soat miliga teskari bo'ladi.Topologiyaning boshqa xususiyatlari uzluksizlik, bog'lanish, yo'naltirishdir.Masalan, uzluksizlik yana bir topologik xususiyatdir. O. Agar siz havo yo'nalishlari sxemasini va geografik xaritani solishtirsangiz, unda 6 Aeroflot miqyosi mos kelmasligiga ishonch hosil qiling - masalan, Sverdlovsk Moskvadan Vladivostokgacha bo'lgan yarmida bo'lishi mumkin. Va baribir, geografik xarita o'rtasida umumiy narsa bor. Moskva haqiqatan ham Sverdlovsk bilan, Sverdlovsk esa Vladivostok bilan bog'langan. Va shuning uchun topolog xaritani xohlagancha deformatsiya qilishi mumkin, agar ilgari qo'shni bo'lgan nuqtalar bir-birining yonida va undan keyin qolsa. Va shuning uchun topologik nuqtai nazardan aylana kvadrat yoki uchburchakdan farq qilmaydi, chunki uzluksizlikni buzmasdan ularni bir-biriga aylantirish oson. Mobius tasmasidagi istalgan nuqta boshqa istalgan nuqtaga ulanishi mumkin va shu sababli Escher o‘ymakorligidagi chumoli hech qachon “lenta” chetidan sudralib o‘tmasligi kerak bo‘ladi. Mobius varag'ini yaratish uchun siz etarlicha cho'zilgan qog'oz tasmasini olishingiz va ulardan birini aylantirgandan so'ng, chiziqning uchlarini ulashingiz kerak. Mobius bargining yuzasida bo'lgan odam uning ustida abadiy yurish mumkin edi. Endi biz qog'oz chiziqdan olingan sirt va teshiklar bilan bir nechta tajribalarni ko'rib chiqamiz. Taxminan 30-40 sm uzunlikdagi va 3 sm kengligidagi chiziqlardan foydalanish eng qulaydir. Avvalo, biz ikkita halqani yopishtiramiz - biri oddiy va ikkinchisi o'ralgan. 7 Uzuklar, albatta, juda o'xshash; lekin uzukning bir tomoni bo'ylab uzluksiz chiziq chizsangiz nima bo'ladi? Mobius burama halqada buni qilganda, qalami qog'ozdan tushmagan bo'lsa-da, chiziq ikkala tomondan o'tganini aniqladi. Bu bizning uzukning faqat bir tomoni borligini anglatadimi? Uzuklaringizni hozir sinab ko'ring. 1. Har birining faqat bir tomonini to'liq bo'yash. Ularning nechta yuzasi bor? Mobius tasmasining bir tomonini, tasma chetidan o'tmasdan, parcha-parcha bo'yashga harakat qiling. Va nima? Siz butun Mobius varag'ini bo'yaysiz! Nega bu varaq juda qiziq? Va Mobius bargining faqat bir tomoni borligi. Biz ishlayotgan har bir yuzaning (qog'oz varag'i, velosiped yoki voleybol kamerasi) ikki tomoni borligiga o'rganib qolganmiz. 8 2. Har bir halqaning bir tomoniga nuqta qo'ying va belgilangan nuqtaga qaytguningizcha u bo'ylab uzluksiz chiziq torting. Mobius tasmasining nechta qirrasi bor? Ajablanadigan ikkinchi raqam: Mobius bargining chegarasi bitta va oddiy halqa kabi ikki qismdan iborat emas. Keling, halqalarni uzunligi bo'yicha yarmini kesib, sinab ko'raylik. Endi sizda ikkita alohida halqa bor. Lekin bu nima? Ikki uzuk o'rniga bittasini olasiz! Bundan tashqari, u asl halqaga qaraganda kattaroq va ingichka. Jadvalga keyingi burilishlar va kesishlar natijalarini yozing. Bir nechta burilishlar. 9 To'liq burilish qilsangiz nima bo'ladi? Olingan halqaning nechta qirrasi bor? Qancha sirt? Va agar siz uni uzunligi bo'yicha yarmiga bo'lsangiz nima bo'ladi? Keling, yarim burilish bilan bir oz tadqiqot qilaylik. To'liq burilish uchun, bir yarim burilish. Keling, xususiyatlarni tavsiflaymiz va olingan natijalarning eskizlarini tuzamiz. Mobius chizig'i qiziqarli xususiyatlarga ega. Agar siz lentani chetidan bir xil masofada joylashgan chiziq bo'ylab yarmiga bo'lishga harakat qilsangiz, ikkita Mobius tasmasi o'rniga, siz bitta uzun ikki tomonlama (Mobius lentasidan ikki baravar ko'p o'ralgan) olasiz, uni sehrgarlar "Afg'on lentasi" deb atashadi. Agar siz hozir bu lentani o'rtada kesib qo'ysangiz, ikkitasi bir-biriga o'ralgan bo'ladi. Boshqa qiziqarli tasma kombinatsiyalarini ikki yoki undan ortiq yarim burilishli Mobius bantlaridan olish mumkin. Misol uchun, agar siz uchta yarim burilish bilan lentani kessangiz, siz trefoil tuguniga o'ralgan lentani olasiz. Mobius chizig'ining qo'shimcha burilishlari bilan kesilishi paradromik halqalar deb ataladigan kutilmagan raqamlarni beradi. Burish va kesish natijalarini tadqiqot jadvaliga yozamiz. Tadqiqot jadvali № 1 Bitta lenta bilan P / p ning soni Yarim burilishlar soni 1 0 Uzunlik bo'yicha yarmida bir kesish natijasi Ikki halqa Xossalar 2 1 Bir halqa Uzunligi ikki baravar uzunlikdagi halqa 3 2 Ikki halqa Bir xil uzunlikdagi halqalar bir-biriga bog'langan 4 3 Bitta halqa Halqa ikki marta uzunroq tugun bilan bog'langan Halqalar allaqachon ikki marta bir xil uzunlikda 10 Eskiz Xulosa: Agar lentani yopishtirishdan oldin uni ikki marta aylantirsa nima bo'ladi (ya'ni 360 da 4 yarim burilish). daraja)? Bunday sirt allaqachon ikki tomonlama bo'ladi. Va butun halqani bo'yash uchun, albatta, lentani boshqa tomonga burishingiz kerak bo'ladi. Ushbu sirtning xususiyatlari hayratlanarli darajada kam emas. Axir, agar siz uni o'rta bo'ylab kesib qo'ysangiz, siz ikkita bir xil halqalarni olasiz, lekin yana bir-biriga bog'langan. Ularning har birini o'rta bo'ylab yana bir marta kesib, siz allaqachon bir-biriga bog'langan to'rtta halqani topasiz. Endi siz halqalarni birma-bir yirtib tashlashingiz mumkin - va har safar qolganlari bir-biriga bog'langan bo'ladi. Agar siz qog'ozli lentani emas, balki har qanday matoning chizig'ini olsangiz, chiziqning uchidan birini uchta to'liq burilish bilan aylantiring, ya'ni. 540 daraja, ikkala uchini bir-biriga tikib qo'ying. Keyin qaychi oling va o'rtadagi chiziqni ehtiyotkorlik bilan kesib oling, so'ngra yana kesib oling, siz bir-biriga bog'langan uchta bir xil halqalarni olasiz. Bir nechta lentalar Er-xotin halqani kesib tashlaganingizda nima sodir bo'lishini hayratda qoldiramiz. Ikki halqani tayyorlang: bitta oddiy va bitta Möbius halqasi. Ularni to'g'ri burchak ostida yopishtiring, so'ngra ikkalasini ham uzunasiga kesib oling. Tadqiqot jadvali № 2 № p / p Halqalar soni 1 Bir-biriga perpendikulyar joylashgan ikkita halqa. Har bir chiziq bo'ylab kesish natijasi Uchta halqa Xususiyatlar Bir xil uzunlikdagi ikkita halqa, uchinchisi ikki barobar uzunroqdir. Qisqa uzunlikdagi ikkita halqa uchinchi halqa bilan juftlikda bir-biriga bog'langan 11 Sketch Qo'shimcha savol Bir nechta kesmalar Agar siz lentani chetidan uning kengligining 1/3 qismi masofada kesib tashlasangiz, siz ikkita halqa olasiz. Lekin! Bir katta va kichik unga bog'langan. Tadqiqot jadvali № 3 No. Kesiklar soni 1 Uch qism Har bir lenta bo'ylab kesish natijasi Ikkita halqalar Xususiyatlari Bir xil uzunlikdagi bir halqa, ikkinchisi ikki barobar uzun bir-biriga bog'langan 12 Eskiz 2 To'rt qism Ikki halqa Ikkala halqa ikki barobar uzun kesilgan, bir-biriga do'st bog'langan. Halqalardan biri boshqasini bir-biriga bog'lab qo'ydi 3 Besh qism Uchta halqa Ikki baravar uzunlikdagi ikkita halqa bir-biriga bog'langan va asl uzunlikdagi uchinchi qisqa halqa bilan juftlik bilan bog'langan. o'rtada, keyin siz juda "murakkab" to'qilgan ikkita halqaga ega bo'lasiz - bir xil o'lchamdagi, lekin kengligi bo'yicha turli xil Mobius tasmasi bilan nayranglar Fiziklarning ta'kidlashicha, barcha optik qonunlar Mobius tasmasi xususiyatlariga, xususan, aks ettirishga asoslangan. oyna - bu vaqtni o'tkazishning bir turi, qisqa muddatli, soniyaning yuzdan bir qismi, chunki biz oldimizda ko'ramiz ... to'g'ri, bizning oynamiz ikki barobar! O'zining g'ayrioddiy xususiyatlari tufayli Mobius tasmasi keng tarqalgan bo'lib foydalanilgan. O'tgan 75 yil sehrgarlar tomonidan. Agar siz lentani chetidan bir xil masofadagi chiziq bo'ylab kesishga harakat qilsangiz, ikkita Mobius tasmasi o'rniga bitta uzun ikki tomonlama (Mobius tasmasidan ikki baravar katta) lentani olasiz, uni sehrgarlar "" deb atashadi. Afg'on lentasi". biz o'ralgan lenta halqalari bilan qilgan tadqiqotimiz bir qator fokuslarni ko'rsatishi mumkin. Mana ulardan biri: Biz tomoshabinga uchta katta qog'oz halqalarni beramiz, ularning har biri qog'oz lenta uchlarini yopishtirish orqali olingan. (1-tadqiqot jadvali). Tomoshabin boshlang'ich nuqtasiga qaytgunga qadar lentaning o'rtasi bo'ylab halqalarni qaychi bilan kesib tashlaydi. Natijada, birinchisi ikkita mehmonxona uzuklarini oladi. Ikkinchidan - bitta halqa, lekin ikki baravar uzunroq va uchinchidan - bir-biriga bog'langan ikkita halqa. 13 Agar uchlarini yopishtirish uchun halqadan uch marta o'ralgan lenta o'tkazilsa va keyin uni o'rtasi bo'ylab kesib tashlasa, biz halqaga bog'langan tugunli bitta katta halqa olamiz. Xuddi shunday, 2 va 3 tadqiqot jadvallaridan fokuslar uchun foydalanish mumkin.Arqon va yelek bilan tajribalar. Mobius tasmasi bo'lgan fokuslar topologik fokuslarning bir qismi bo'lib, ular uchun doimiy transformatsiyalar paytida o'zgarmaydigan moslashuvchan materiallar talab qilinadi: cho'zish va siqish. Tajribalarni bajarish uchun sizga sharf, yelek, arqon kerak bo'ladi. Birinchidan, biz o'zimizga muammoli vaziyatni qo'ydik. Tajribalar yordamida biz ushbu vaziyatdan chiqish yo'lini qidirmoqdamiz. Tajriba 1. Tugunlarni bog'lash muammosi. Qanday qilib sharfga tugunni uchlarini qo'yib yubormasdan bog'lash mumkin? Buni shunday qilish mumkin. Sharfni stol ustiga qo'ying. Qo'llaringizni ko'kragingizda kesib o'ting. Ularni shu holatda ushlab turishni davom ettirib, stolga egilib, har bir qo'lingiz bilan navbat bilan sharfning bir uchini oling. Qo'llar yoyilgandan so'ng, ro'molning o'rtasida avtomatik ravishda tugun hosil bo'ladi. Topologik terminologiyadan foydalangan holda shuni aytishimiz mumkinki, tomoshabinning qo'llari, tanasi va sharfi "uch bargli" tugun shaklida yopiq egri chiziq hosil qiladi.Qo'llar bir-biridan ajratilganda tugun faqat qo'llardan sharfga o'tadi.Tajriba. 2. Yelekni odamdan yechmasdan ichkariga burish.Ushbu tajribani ko‘rsatish uchun yelekning tugmalarini yechib, uni kiyganning orqasidagi qo‘llariga tortib olish kerak.Kelka havoda osilib qoladi, lekin, albatta. Endi siz yelekning chap yarmini olishingiz kerak va uni burishmaslikka harakat qilib, uni iloji boricha o'ng qo'l teshigiga surishingiz kerak. Keyin o'ng qo'l teshigini olib, xuddi shu qo'l teshigiga suring va Xuddi shu yo'nalishda. Yelekni yoyish va uni egasining ustiga tortib olish qoladi. Yelek ichkariga buriladi. Xuddi shu tajribani yelekning tugmalarini ochmasdan ham amalga oshirilishi mumkin. Yagona noqulaylik shundaki, yelek boshning ustida olib tashlash uchun juda tor. Shuning uchun, yelekni kozok bilan almashtirish mumkin. Kozok manipulyatsiyasi mutlaqo bir xil. Ushbu tajribani o'zingiz ko'rsatishingiz mumkin, buning uchun siz harakat erkinligini ta'minlash uchun 14 ni qo'l shnuri bilan ulashingiz kerak, ular orasida harakat erkinligini ta'minlash uchun 40 santimetr qoldirib, qo'llaringizni oldingizda mahkamlang. Tajriba 3. Arqon halqalarini yechish. Ikki ishtirokchi qo'llari bilan arqonlar bilan bog'langan. Shunday qilib, qo'llar va arqonlar bir-biriga bog'langan ikkita halqa hosil qiladi. Arqonlarni yechmasdan, yechish kerak. Ushbu tajribaga javob shundaki, ishtirokchilarning qo'llarida yana ikkita ilmoq bor. Bir arqonni boshqa arqonning qo'llaridagi halqalardan biridan tortib, qo'l orqali halqani olib tashlash kerak. III. Mobius tasmasini amaliy qo'llash Uning eng hayratlanarli xususiyati shundaki, u bir tomonlama bo'lib, uni ikkita bo'yoq bilan bo'yash mumkin emas va uning ustida sudralib yurgan hasharotlar chetidan o'tmasdan har ikki tomonni aylanib chiqadi. Bu xususiyat amaliy qo'llanilishini topdi: ko'plab qurilmalar patentlangan, masalan, keskinlashtiruvchi kamar, bosma qurilmalar uchun siyoh lentasi, kamar haydovchi va boshqa texnik echimlar. Texnikada Mobius varag'ining bir tomonlama xususiyatidan foydalanilgan: agar kamar uzatish Mobius varag'i shaklida qilingan bo'lsa, unda uning yuzasi an'anaviy halqaga qaraganda ikki baravar sekin eskiradi. Bu sezilarli tejash imkonini beradi Mobius tasmasi kiyim sanoatida matoni asl kesish bilan ishlatilishi mumkin bo'lgan xususiyatlar Bolalar o'yinchoqlarining bahor mexanizmi ko'pincha ishlamay qoladi, chunki bolalar ko'pincha bahorga buralib qolganda uni o'rashga harakat qilishadi. chegara. Halqali burma buloq bolalar o'yinchoqlari uchun "abadiy harakat mashinasi" ga aylanishi mumkin. Yangi mexanizmdan foydalanishning yana bir misoli - bu fotografik yoki plyonkali kameraning (raqamli emas) tirqishi. An'anaviy dizaynlarda, deklanşör bo'shatilgandan so'ng, deklanşör pardasining yorig'ini yopish kerak, keyin esa bahorni bir vaqtning o'zida zaryad qilish orqali uni asl holatiga qaytarish kerak. Aks holda, deklanşör tirqishidan teskari yo'nalishda o'tganingizda ramka yonadi. Deklanşör qurilmasi juda murakkab bo'lib chiqadi. Mobius tasmasidan foydalanish dizaynni soddalashtirish, uning ishonchliligi, chidamliligi va tezligini oshirish imkonini berdi. Ko'pgina matritsali printerlarda siyoh lentasi o'z manbasini oshirish uchun Mobius tasmasi ko'rinishiga ham ega. Mobius tasmasi tufayli turli xil ixtirolar paydo bo'ldi. Xullas, masalan, magnitafon uchun maxsus kassetalar yaratilgan bo‘lib, ular o‘rnini o‘zgartirmagan holda “ikki tomondan” lentalarni tinglash imkonini yaratdi.Rolikdagi sayrlar qancha odamni quvontirdi. Bu o'yinchoq nafaqat matematiklarga juda yoqadi. Vashingtondagi Tarix va texnologiya muzeyiga kiraverishda Mobius tasmasi yodgorligi o'rnatilgani bejiz emas - yarim burilishda o'ralgan po'lat lenta asta-sekin poydevorda aylanmoqda. Haykaltarosh Maks Bill tomonidan Mobius chizig'i ko'rinishidagi haykallarning butun seriyasi yaratilgan. Maurits Escher juda ko'p turli xil chizmalarni qoldirdi. IV. Xulosa Mobius o'zining ajoyib kashfiyotini uzoq vaqt oldin qilganiga qaramay, bugungi kunda u juda mashhur. Oddiy qog'oz tasmasi, lekin faqat bir marta o'ralgan va keyin halqaga yopishtirilgan bo'lsa, darhol sirli Mobius chizig'iga aylanadi va ajoyib xususiyatlarga ega bo'ladi. Sirt va fazolarning bunday xossalarini matematikaning maxsus bo'limi - Topologiya o'rganadi. Bu fan shunchalik murakkabki, ular uni maktabda topshirishmaydi. Faqat institutlarda. Ammo kim biladi, balki vaqt o'tishi bilan biz mashhur topologlarga aylanamiz va ajoyib kashfiyotlar qilamiz. Va, ehtimol, ba'zi bir murakkab sirt bizning nomlarimiz deb ataladi. Guruhimdagi yigitlar bilan “Mobius bargining sirlari” loyihasi ustida ish olib borib, men juda ko‘p yangi va qiziqarli narsalarni o‘rgandim: kutubxonadan o‘qituvchi taklif qilgan mavzu bo‘yicha adabiyotlarni topishni, o‘qish va tanlashni o‘rgandim. zarur material; Internetdagi maqolalardan foydalaning, referat uchun kerakli rasmlarni tanlang, jadvallar tuzing va ularni to'ldiring; "Mobius chizig'i" bo'yicha tadqiqot o'tkazish (kerakli miqdordagi burilishlarni, yopishtiruvchi va kesishni amalga oshiring); olingan halqalarni suratga olish va stolga kiritish kerak; taqdimot va video tajribalar o'tkazish; konferentsiyada gapiring va sehrli fokuslarni ko'rsating. Bularning barchasi juda murakkab va ko'p vaqt talab qiladigan, lekin juda qiziqarli. 16 "Geometriyaning eng yosh va eng kuchli bo'limi bo'lgan topologiya sezgi va mantiq o'rtasidagi qarama-qarshiliklarning samarali ta'sirini aniq ko'rsatadi" R. Courant. 17 Adabiyot 1. Gardner M "Matematik mo'jizalar va sirlar", Moskva, "Science" 1986 2. Gromov A.S. "Matematikadan sinfdan tashqari topshiriqlar, 8-9-sinflar" Moskva, Ma'rifat 3. N. Langdon, C. Snape "Yo'lda matematika bilan" Moskva, Pedagogika, 1987 4. "Kvant" ilmiy-ommabop jurnali 1975 yil №7, 1977 yil №7 ... 5. Savin A.P. "Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati", M, Enlightenment, 1985 6. Yakusheva G. M "Maktab o'quvchisining buyuk ensiklopediyasi. Matematika ", Moskva," SLOVO ", Eksmo, 2006 7. wwwRambler.ru 18 Ilova Laboratoriya ishi" Mobius chizig'i "Matematika to'garagining sinfida 19 Mobius chizig'ining bir tomonini bo'yashga harakat qiling - bo'lak-bo'lak, bormasdan. lentaning chetidan. Va nima? Siz butun Mobius varag'ini bo'yaysiz! 20 Har bir halqaning bir tomoniga nuqta qo'ying va belgilangan nuqtaga qaytguningizcha u bo'ylab uzluksiz chiziq chizing 21 Halqalarni uzunligi bo'ylab ikkiga bo'lish orqali sinab ko'ring. 22 Endi sizda ikkita alohida halqa bor. Lekin bu nima? Ikki uzuk o'rniga bittasini olasiz! Bundan tashqari, u asl halqaga qaraganda kattaroq va ingichka. 23 Burmalar va kesishlar natijalarini tadqiqot jadvaliga yozamiz. 24 Ikkala halqa ham ajratilganidan ikki barobar uzun va bir-biriga bog'langan. Halqalardan biri ikkinchisini bir-biriga bog'lab qo'ydi 25 Bir xil uzunlikdagi bitta halqa, ikkinchisi ikki baravar uzunroq bir-biriga bog'langan 26 Mobius chizig'ining qo'shimcha burilishlari bilan kesilishi paradromik halqalar deb ataladigan kutilmagan raqamlarni beradi. 27

Eng oddiy va ayni paytda eng murakkab va g'alati ob'ektlardan biri bu Mobius tasmasi. Ushbu raqamning barcha o'ziga xosligiga qaramay, uni osongina o'zingiz qilishingiz va ushbu maqolada tasvirlangan barcha tajribalarni bajarishingiz mumkin.

Mobius tasmasi uch o'lchovli fazoda bir tomonlama bo'lgan eng oddiy yo'naltirilmaydigan sirtdir. U ko'pincha Möbius yuzasi deb ham ataladi va doimiy (topologik) ob'ektlar deb ataladi.

Afsonaga ko'ra, nemis astronomi, matematigi va mexanigi Avgust Ferdinand Möbius bu ob'ektni o'z uyida ishlaydigan xizmatchi matodan lentani uzuk qilib tikib, uning uchlaridan birini beixtiyor aylantirib qo'yganidan keyin topdi. Natijani ko'rib, Mobius baxtsiz qizni tanbeh qilish o'rniga: "Ha, Marta! Qiz unchalik ahmoq emas. Axir, bu bir tomonlama halqali sirt. Lentaning noto'g'ri tomoni yo'q!"

Avgust Ferdinand Möbius.

Lentaning xususiyatlarini o'rganib, Möbius bu haqda maqola yozdi va uni Parij Fanlar akademiyasiga yubordi, lekin uning nashr etilishini kutmadi. Uning materiallari matematik vafotidan keyin nashr etilgan va g'ayrioddiy topologik sirt uning nomi bilan atalgan.

Mobius tasmasini yasash juda oddiy: ABCD tasmasini oling va keyin uni A va D nuqtalari B va C ga ulanadigan qilib katlayın.

Mobius tasmasini yasash. Natijada, birinchi qarashda oddiy bo'lgan, juda qiziqarli xususiyatlarga ega bo'lgan raqam.

Mobius chizig'ining g'ayrioddiy xususiyatlari

Bir tomonlamalik
Haqiqiy dunyoda duch keladigan barcha ob'ektlarning (masalan, qog'oz varag'i) yuzalarining ikki tomoni borligiga hammamiz o'rganib qolganmiz. Ammo Mobius chizig'ining yuzasi bir tomonlama. Buni lenta ustiga bo'yash orqali osongina tekshirish mumkin. Agar siz qalam olib, uni aylantirmasdan istalgan joydan lentani bo'yashni boshlasangiz, oxir-oqibat lenta butunlay bo'yalgan bo'ladi.

Agar kimdir Mobius tasmasi yuzasining faqat bir tomonini bo'yashga harakat qilsa, uni darhol bo'yoq chelakiga botirgani ma'qul, Mobius tasmasining yuzasi doimiydir.

Bu quyidagicha osonlik bilan tekshiriladi: agar siz lentaning biron bir joyiga nuqta qo'ysangiz, u holda qirralarni kesib o'tmasdan lenta yuzasining boshqa istalgan nuqtasiga ulanishi mumkin. Shunday qilib, bu ob'ektning yuzasi uzluksiz ekanligi ma'lum bo'ladi.

Mobius chizig'i hech qanday yo'nalishga ega emas
Agar siz butun Mobius chizig'ini bosib o'ta olgan bo'lsangiz, unda siz sayohatning boshlang'ich nuqtasiga qaytsangiz, o'zingizning oyna tasviriga aylanasiz.

Agar lenta o'rta bo'ylab kesilgan bo'lsa, unda bu holda faqat bitta lenta olinadi, garchi mantiq ularning ikkitasi bo'lishi kerakligini aytadi va agar siz kesib tashlasangiz, lenta kengligining uchdan bir qismiga chetidan orqaga chekinsangiz, keyin siz bir-biriga bog'langan ikkita halqa olasiz - kichik va katta ... O'rtada kichik halqaning uzunlamasına kesilganidan so'ng, natijada biz bir xil o'lchamdagi, lekin kengligi har xil bo'lgan ikkita bir-biriga bog'langan halqalarni olamiz.

Mobius tasmasidan amaliy foydalanish
Ushbu noodatiy topologik ob'ektning xususiyatlariga asoslangan bir nechta ixtirolar allaqachon mavjud. Misol uchun, matritsali printerlarda Mobius tasmasiga o'ralgan siyoh lentasi ancha uzoq davom etadi, chunki bu holda eskirish uning butun yuzasida teng ravishda sodir bo'ladi. Va bu geometrik ob'ekt shaklida o'ralgan oshxona aralashtirgich yoki beton aralashtirgichning pichoqlari energiya sarfini 20% ga kamaytiradi va shu bilan birga hosil bo'lgan aralashmaning sifati yaxshilanadi.

Ikki tomonlama spiral bo'lgan DNK polimeri Mobius tasmasining bir qismidir va shuning uchun DNK kodini ochish va tushunish juda qiyin degan gipoteza mavjud.

Ba'zi fiziklarning ta'kidlashicha, optik effektlar ushbu paradoksal ob'ektga ega bo'lgan xususiyatlarga asoslanadi, shuning uchun bizning ko'zgudagi aksimiz alohida holat, Mobius chizig'ining xususiyatlaridan biridir.

Ushbu matematik ob'ekt bilan bog'liq yana bir gipoteza shundan iboratki, bizning koinotimizning o'zi, ehtimol, shunday lentada yopilgan va u o'zining oyna nusxasiga ega. Chunki, agar biz doimo Mobius chizig'i bo'ylab bir yo'nalishda harakat qilsak, oxir-oqibat biz o'zimizni sayohatimizning boshlang'ich nuqtasida topamiz, lekin allaqachon oyna tasvirida.

Sirli Klein shishasi
Mobius chizig'i asosida yana bir ajoyib raqam - Klein shishasi mavjud. Bu pastki qismida teshik bo'lgan shishadir. Shishaning bo'yni cho'zilgan va egilib, shishaning devorlaridan biriga o'tadi.

Klein shishasi

Bunday raqamni oddiy uch o'lchamli kosmosda takrorlash mumkin emas, chunki bo'yin shishaning devoriga tegmasligi kerak va uning pastki qismidagi teshikka ulanadi. Shunday qilib, faqat bir tomoni bo'lgan sirt olinadi. Klein shishasi va Mobius chizig'i hali ham olimlar va yozuvchilarning e'tiborini tortadi.

A. Deytsh o‘z hikoyalaridan birida kunlarning birida Nyu-York metrosida relslar qanday kesib o‘tgani va butun metro Mobius chizig‘iga o‘xshab keta boshlagani, relslar bo‘ylab ketayotgan elektr poyezdlari esa yo‘qolib, bir necha oydan keyin yana paydo bo‘la boshlagani haqida yozgan.

Aleksandr Mitchning "Giveaway Game" filmida qahramonlar Klein shishasiga o'xshash bo'shliqqa tushib qolishadi.

Dunyo hali ham biz uchun juda katta sir bo'lib qolmoqda va kim biladi koinot olimlari yaqin kelajakda yana qanday g'ayrioddiy narsalarni kashf qilishlarini kim biladi.