Mobiusa sloksnes noslēpumi. Mēbiusa sloksne ir viens no neparastākajiem objektiem ar ļoti dīvainām īpašībām, izmantojot Mēbiusa sloksni mājās

Meistarklase “Mobiusa sloksnes pārsteigumi” - izstrādājusi matemātikas skolotāja MBOU “Ģimnāzija Nr. 1”, Ruzaevka Khanina M.F.

Labdien, dārgie kolēģi! Šodien es vēlos, lai jūs atcerētos vienu pārsteidzošu objektu un redzētu, kā jūs varat ar vienkāršu eksperimentu palīdzībuiepazīstināt bērnus ar vienpusējas virsmas jēdzienuun tās pārsteidzošās īpašības,apliecināt, ka matemātiskie objekti un likumi ir spēkā gan ikdienā, gan mākslā.

Blēzs Paskāls, izcilais franču fiziķis un matemātiķis, iebilda: ”Matemātikas priekšmets ir tik nopietns, ka ir lietderīgi nepalaist garām iespēju padarīt to mazliet izklaidējošu.”

Sižets. (2. slaids)

IN Vilciens Nr.86 izbrauca no Parkstrītas stacijas, bet neparādījās ne nākamajā stacijā, ne depo, pazūdot bez vēsts kopā ar vadītāju un aptuveni 350 pasažieriem.

Algebras profesors no Rodžers Tupelo, izlasījis par notikušo avīzēs, ierodas pie pilsētas metro galvenā menedžera Kalvina Vaita, lai ziņotu par savu hipotēzi par vilciena pazušanu. Pēc Tupelo teiktā, pēc jaunās Boylston līnijas atvēršanas Bostonas metro topoloģiskās īpašības mainījās un vilciens nokļuva plkst. . Uzskatot viņu par vājprātīgu, Vaits izsūta Tupelo.

Tomēr drīz Vaitam kļūst skaidrs, ka vilciens patiešām atrodas kaut kur metro. Tādējādi vilciens Nr.86 tiek periodiski fiksēts ar automatizāciju dažādās metro vietās, kas patērē elektrību, taču neviens to neredz, lai gan tā troksnis ir dzirdams. Jauno līniju nolemts neslēgt, cerot, ka vilciens atgriezīsies.

Paiet divi mēneši. Kādu rītu, ceļā uz universitāti, Tupelo iekāpj metro un pamana, ka pasažieris lasa avīzi, kas datēta ar dienu, kad vilciens pazuda. Viņš skraida apkārt vagonam, pārbauda citu pasažieru avīžu datumus, un dažiem ir arī divus mēnešus vecas avīzes. Tupelo pavelk signāla vadu un vilciens apstājas. Matemātiķis pasažieriem un šoferim paziņo, ka pagājuši jau divi mēneši, un lūdz pārbaudīt savus vārdus, aplūkojot iepriekšējā stacijā vagonā iekāpušo pasažieru avīžu datumu. Tupelo izskrien tunelī un skrien pie telefona, ko izmanto, lai sazinātos ar metro štābu. Viņš ziņo, ka beidzot ir atrasts 86. vilciens un visi pasažieri ir dzīvi un veseli.

Tiekoties ar Vaitu, Rodžers Tupelo lūdz viņu slēgt Boylston Line, bet Vaits atbild: “Ir par vēlu. Pirms divdesmit piecām minūtēm 143. vilciens pazuda starp Eglestonas un Dorčesteras stacijām.

Tas bija Armina Deiča zinātniskās fantastikas stāsta sižets.Mēbiusa josla."Tas pirmo reizi tika publicēts krievu valodā žurnālā " » 1969. gadā.Bostonas metro būvē jaunu līniju, kuras maršruts kļūst tik mulsinošs, ka tas pārvēršas par Mobius joslu, pēc kurasvilcieni pazūd.

Mobiusa joslas atklāšanas vēsture. ( 3. slaids)

Noslēpumaino un slaveno Mēbiusa joslu 1858. gadā izgudroja vācu zinātnieks Augusts Ferdinands Mēbiuss (1790-1868), matemātiķu “karaļa” Gausa skolnieks.

Mēbiuss sākotnēji bija astronoms, tāpat kā Gauss un daudzi citi, kuriem matemātika ir attīstījusies. Tajos laikos matemātika netika atbalstīta, un astronomija nodrošināja pietiekami daudz naudas, lai par tām nedomātu, un atstāja laiku savām domām. Un Mēbiuss kļuva par vienu no lielākajiem 19. gadsimta ģeometriem.

68 gadu vecumā Mēbiuss atklāja pārsteidzošu skaistumu. Tas ir vienpusēju virsmu atklāšana, no kurām viena ir Möbius sloksne (vai sloksne). Mēbiuss nāca klajā ar ideju par lenti, kad viņš novēroja kalponi, kura nepareizi valkāja savu šalli ap kaklu.

Kā iegūt Mobius sloksni? (4. slaids)

Pagrieziet vienu taisnstūra papīra sloksnes galu par pusapgriezienu (180˚)(ērti izmēri: garums 30 cm, platums 3 cm)un pielīmējiet to tās pašas sloksnes otrā galā. Šo modeli sauc: “Mobius strip”.

Topoloģija ( 5. slaids)

Kopš brīža, kad vācu matemātiķis A. F. Mēbiuss atklāja pārsteidzošas vienpusējas papīra lapas esamību, sāka attīstīties pilnīgi jauna matemātikas nozare, ko sauc par topoloģiju (citādi sauktu par “pozīcijas ģeometriju” vai “gumijas ģeometriju”). Topoloģijā tiek pētītas figūru un ķermeņu īpašības, kas nemainās to nepārtraukto deformāciju laikā.

Mēbiusa sloksnes pārsteidzošās īpašības: tai ir viena mala, viena mala - nav saistītas ar tās atrašanās vietu telpā, ar attāluma, leņķa jēdzieniem, un tomēr tai ir pilnīgi ģeometrisks raksturs.

Veiksim vairākus eksperimentus ar Mobius sloksni . ( 6. slaids)

Pieredze 1.

Paņemiet sagatavoto Möbius sloksni un vidū, pa punktētu līniju, nogrieziet pielīmēto lenti. Kā jūs domājat, kas notiks?

Izrādījās nevis divi gredzeni, bet viens, divreiz šaurāks, bet divreiz garāks(tā sauktā "Afganistānas lente"). Turklāt tas tika savīts nevis vienu, bet divas reizes.

Pieredze 2.

Ja tagad šo lenti pārgriežam gareniski pa vidu, sanāk divas lentes uztītas vienu virs otras.

Pieredze 3.

No eksperimenta Nr.2 rezultātiem mēs izgriezām katru gredzenu vidū. Mēs iegūstam “ziedu” - četrus gredzenus ar diviem pusapgriezieniem, kas visi ir savstarpēji savienoti.

Pieredze 4.

Ja jūs pārgriežat lenti ar trīs pusapgriezieniem, jūs iegūsit lenti, kas saritinājusies trīslapu mezglā.

Mēbiusa sloksnes griešana ar papildu pagriezieniem rada negaidītas figūras, ko sauc par paradromiskiem gredzeniem.

Pieredze 5.

Tagad mēģināsim izveidot šādu modeli: izgrieziet šķēlumu ABCD sloksnē un izvelciet vienu galu caur to. Pagrieziet pusapgriezienu un pielīmējiet, kā parādīts attēlāzīmējums. A tagad turpiniet griezumu pa visu sloksni.Ko tu dabūji?

Rezultāts bija viena Mēbiusa sloksne.

Pieredze 6.

Ņemsim sloksni, vienu reizi saliektu tās garumā. Sagriezīsim to pilnu apgriezienu un salīmēsim galus kopā, vienu galu uzliekot uz otra. Tagad nogriežam dubulto līmlentes slāni pa tās vidējo līniju - mēs iegūstam trīs gredzenus, kas savienoti pa pāriem.

Eksperimentus ar Mobius sloksni var turpināt bezgalīgi, un rezultāti būs dažādi, atkarībā no tā, vai pusapgriezienu skaits ir pāra vai nepāra, vidū būs griezums vai nu 1/3, vai ¼ no malas utt.

Matemātikas simbols ( 7.–8. slaidi)

Protams, Mēbiusa lentes galvenā vērtība ir tā, ka tā deva impulsu jauniem plašiem matemātiskiem pētījumiem. Tāpēc to bieži uzskata par mūsdienu matemātikas simbolu un attēlo uz dažādām emblēmām un nozīmītēm, piemēram, uz Maskavas Universitātes Mehānikas un matemātikas fakultātes nozīmītes.

Moebius sloksne ir matemātikas simbols,
Kas kalpo kā augstākās gudrības kronis...
Tas ir pilns ar neapzinātu romantiku:
Tajā bezgalība ir saritinājusies gredzenā.Tajā ir vienkāršība un līdz ar to sarežģītība,
Kas ir nepieejams pat gudrajiem:

Šeit lidmašīna ir pārvērtusies mūsu acu priekšā
Virsmā bez sākuma vai beigām.Nav ierobežojumu, nav ierobežojumu,
Tiecieties uz priekšu un atveriet pasauli,
Sajūti jaunu sajūtu spēku,
Pieņemiet zināšanas par visaugstākajām dāvanām.

Mobiusa lentes pielietojums literatūrā. ( 9. slaids)

Taču ne tikai matemātiķi iedvesmoja un turpina iedvesmoties no Mēbiusa lentes.

Mēbiusa sloksne pastāvīgi tiek pieminēta Urālu rakstnieka Vladislava Krapivina darbos ciklā “Lielā kristāla dzīlēs”.

Romantisks Mēbiusa joslas apraksts atrodams E. Uspenska stāstā “Sarkana roka, melna palags, zaļi pirksti”,un daudzās citāsdarbojas.EViņam veltīti daudzi dzejoļi.

Mobius sloksnes pielietojums tehnoloģijā. ( 10. slaids)

Gultnis Mobius sloksnes veidā, lai palielinātu kalpošanas laiku. Nepārtrauktās filmu ierakstīšanas sistēmās tika izmantotas arī Möbius lentes (lai dubultotu ierakstīšanas laiku).

Punktmatricas printeros tintes lente tika veidota kā Möbius sloksne, lai palielinātu glabāšanas laiku.

Magnetofoniem tika izgudrotas kasetes, kur lente tiek savīta un salīmēta gredzenā, kas ļauj ierakstīt vai nolasīt informāciju no abām pusēm uzreiz, kas palielina kasetes ietilpību un attiecīgi arī atskaņošanas laiku.

1969. gadā padomju izgudrotājs Gubaiduļins ierosināja bezgalīgu slīpēšanas lenti Mēbiusa sloksnes formā.

Mobius sloksnes pielietojums mākslā. ( 11. slaids)

Mēbiusa josla kalpoja par iedvesmu skulptūrām un grafikas mākslai.

Maurits Kornelis Ešers bija viens no māksliniekiem, kurš to īpaši mīlēja un veltīja šim matemātiskajam objektam vairākas savas litogrāfijas. Mobiusa joslu varam redzēt darbos “Jātnieki” (1946), “Mobius Strip II (Sarkanās skudras)” (1963)

Liza Reja "Muļķu kuģis uz bezgalību"

Vēl viena interesanta litogrāfija tiek saukta par "Attēlu galeriju", kurā vienlaikus tiek mainīta gan telpas topoloģija, gan loģika. Mēs redzam zēnu, kurš skatās uz piejūras pilsētiņas gleznu ar veikalu krastā, un veikalā ir mākslas galerija, un galerijā ir zēns, kurš skatās uz piejūras pilsētiņas gleznu.

1967. gadā, kad Brazīlijā notika Starptautiskais matemātikas kongress, tā organizatori izdeva piemiņas pastmarku piecu centavo nominālvērtībās. Tajā bija attēlota Mēbiusa josla.

Mobiusa joslas pielietojums tēlniecībā un arhitektūrā. (12. slaids)

Bibliotēkas projekts Kazahstānā. Muzeja līkumi veido Mēbiusa joslu, tādējādi iekšējā telpa ieplūst ārējā un otrādi; līdzīgā veidā sienas pārvēršas par jumtu, bet jumts pārvēršas atpakaļ sienās.

Mūsdienu budistu templis.

Taivānas parka ēka.

Tilta projekts Ķīnā.

Skulptūras Maskavā, Rīgā, Minskā.

Mobius sloksnes izmantošana ikdienas dzīvē. ( 13. slaids)

Mobius sloksne iedvesmo juvelierizstrādājumu veidotājus. Starp viņu darbiem jūs varat atrast gredzenus un kulonus Mobius sloksnes formā.

Mēbeļu izgatavotāji viņam nepalika vienaldzīgi. Viens piemērs viņu darbam šajā virzienā ir kušete, kas ir Mēbiusa sloksne, kas salīmēta no liekta britu ozola.

Pat kurpnieki ir kļuvuši par Mobius sloksnes faniem.

Arī dizaineri nevēlējās stāvēt malā. Mākslinieks un arhitekts Rons Arads ir Moebius sloksnes smaržu pudelītes dizaina radītājs.

Secinājums

Mēbiusa sloksne tiek izmantota dzīvē un dažādās rūpniecības jomās.

Tas aizrauj rakstniekus un māksliniekus, arhitektus un tēlniekus, izdomā un iedvesmo radošas dabas cilvēkus.

Zinot Mobius sloksnes īpašības, jūs varat izgatavot noderīgas un nepieciešamas lietas.

Mēbiusa josla nav zināma visiem cilvēkiem, taču tā ir daļa no tā, kas mūs ieskauj ikdienā!

Šeit viņš ir - apbrīnojamās Mobius sloksnes autors!
Vācu matemātiķis un teorētiskais astronoms Augusts Ferdinands Mobiuss(1790-1868) - lielā Gausa students, slavenais ģeometrs, Leipcigas universitātes profesors, observatorijas direktors. Gari mācīšanas gadi, gari darba gadi – parasta profesora dzīve.

Un tas notika manas dzīves beigās! Radās pārsteidzoša ideja... tas bija nozīmīgākais notikums viņa dzīvē! Diemžēl viņam nekad nebija laika novērtēt sava izgudrojuma nozīmi. Raksts par slaveno Mēbiusa joslu tika publicēts pēcnāves laikā.

Kā matemātiķi sauc Mobiusa sloksni (citādi Mobiusa sloksni vai Mobiusa cilpu)?

Matemātikas valodā tas ir topoloģiskais objekts, vienkāršākais vienpusēja virsma ar malu parastā trīsdimensiju eiklīda telpā, kur var nokļūt no viena šīs virsmas punkta uz jebkuru citu, nepārkāpjot malas.
Diezgan sarežģīta definīcija!

Tāpēc ērtāk ir vienkārši apskatīt Mobius sloksni tuvāk. Paņemiet papīra sloksni, pagrieziet sloksni pusapgriezienu šķērsām (180 grādi) un salīmējiet galus kopā.

Citreiz: "Mamma par tādu darbu man nebūtu uzsitusi pa galvu"! Bet šoreiz tev taisnība! Tam vajadzētu būt savītam gredzenam.

Novietojiet punktu kaut kur uz sloksnes ar flomāsteru. Tagad mēs novelkam līniju gar visu mūsu lenti, līdz jūs atkal saskaraties ar savu viedokli. Nekur nebija jāiet pāri malai – to sauc par vienpusēju virsmu.

Paskatieties, cik interesanta ir jūsu novilktā līnija: tā ir vai nu gredzena iekšpusē, vai ārpusē! Tagad izmēriet šīs līnijas garumu - no punkta uz punktu.
Vai esat pārsteigts?
Tas izrādās divreiz garāks par oriģinālo papīra strēmeli!

Tā tam vajadzētu būt, jo tev rokās ir Mobius sloksne! Bet Mēbiusa joslai ir tikai viena puse, un mēs vēlreiz teiksim - tā ir vienpusēja virsma ar malu.

Un, ja jūs piespiedīsiet skudru rāpot pa šo līniju, neapgāžoties, jūs iegūsit mākslinieka Morisa Ešera gleznas kopiju.
Nabaga skudra uz nebeidzamā ceļa

Vai arī varat izgatavot divas nedaudz atšķirīgas Möbius sloksnes: vienā pirms līmēšanas pagrieziet sloksni pulksteņrādītāja virzienā, bet otrā - pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Šādi atšķiras labās un kreisās Möbius sloksnes.

Un tagad interesanti pārsteigumi ar Moebius sloksni:

1. Izgrieziet Moebius sloksni aplī gar centra līniju. Nebaidieties, tas nesadalīsies divās daļās! Lente izvērsies garā slēgtā lentē, kas ir savīta divreiz vairāk nekā oriģinālā. Kāpēc, šādi griežot, Möbius sloksne nesadalās atsevišķās daļās?
Griezums nepieskārās lentes malai, tāpēc pēc griezuma mala (un līdz ar to arī visa papīra sloksne) paliks vesels gabals.

2. Izgrieziet pēc pirmā eksperimenta iegūto Mobius sloksni (savīti divreiz vairāk nekā oriģinālā, t.i., 360 grādi) pa tās centra līniju.
Kas notiks?
Tagad jūsu rokās būs divas identiskas, bet savstarpēji savienotas Möbius sloksnes.

3. Izveidojiet jaunu Möbius sloksni, bet pirms līmēšanas pagrieziet to nevis vienu, bet trīs reizes (nevis par 180 grādiem, bet par 540). Pēc tam nogrieziet pa centra līniju.

Kas notika?
Jums vajadzētu iegūt aizvērtu lenti, kas ir saritināta trefoil mezgls, t.i. vienkāršā mezglā ar trim paškrustojumiem.

4. Ja pirms līmēšanas uztaisīsi Mobius sloksni ar vēl lielāku pusapgriezienu skaitu, iegūsi negaidītas un pārsteidzošas figūras ar nosaukumu paradromiski gredzeni.

5. Ja jūs nogriežat Mēbiusa sloksni nevis vidū, bet atkāpjoties no malas apmēram par trešdaļu tās platuma, jūs iegūsit divas savstarpēji bloķētas sloksnes, viena ir īsāka Mēbiusa sloksne un otra gara Mēbiusa sloksne ar divām pusapgriezieni.

Skatiet, kā to var izdarīt praksē:

Vienpusēja virsma ir tuvu Mēbiusa sloksnei Kleina pudele.
Interesanti, ka Kleina pudeli var izgatavot, malās salīmējot kopā divas Moebius sloksnes. Tomēr parastajā trīsdimensiju eiklīda telpā to nav iespējams izdarīt, neradot paškrustošanos.

Ir vēl viens interesants objekts, kas saistīts ar Mobius joslu. Šis Mobius rezistors.

Vēsturē nereti ir gadījumi, kad viena ideja rodas vairākiem izgudrotājiem vienlaikus. Tas notika ar Mobius sloksni. Tajā pašā 1858. gadā lentes ideja radās citam zinātniekam - Johans saraksts. Viņš deva nosaukumu zinātnei, kas pēta nepārtrauktību - topoloģija. Un čempionāts topoloģiskā objekta - lentes - atklāšanā tika Augustam Mobiusam.

Mēs klusi sastopamies ar Mobius sloksnēm dažādās ierīcēs: tās ir tintes lentes matricas printeros, siksnu piedziņās, slīpēšanas ierīcēs, lentes konveijeros un daudzās citās. Šajā gadījumā preces kalpošanas laiks palielinās, jo nodilums samazinās. Un nepārtrauktās ierakstīšanas sistēmās Mobius lentes izmantošana ļauj dubultot ierakstīšanas laiku vienā kasetē.

Noslēpumainā Mobiusa josla vienmēr ir satraukusi rakstnieku, mākslinieku un tēlnieku prātus.
Grafikā tiek izmantots Mobius sloksnes raksts. Atcerieties, piemēram, slavenās populārzinātnisko grāmatu sērijas “Kvantu bibliotēka” emblēmu vai starptautisko otrreizējās pārstrādes simbolu.

Ikviens zina, ka mūsu pasaulei ir trīs dimensijas, ka Zeme griežas ap Sauli, ka jebkurai virsmai ir divas puses: augšējā un apakšējā... Bet jūs uzminējāt nepareizi! Ne viens vien. Jo izrādās, ka ir virsmas, kurām ir tikai viena puse, un tas ir zinātniski pierādīts.

Kas ir izgudrotājs?

Šo ģeometrisko parādību gandrīz vienlaikus, bet neatkarīgi viens no otra atklāja divi vācu zinātnieki: Augusts Ferdinands Mobiuss un Johans Benedikts Listings (1858). ? Pats matemātiķis to izgatavoja no papīra lapas, un tā izrādījās pirmā cilvēcei zināmā vienpusējā virsma. Līdz tam tika uzskatīts, ka no viena noteiktas virsmas punkta, nepārkāpjot tās malas, nav iespējams nokļūt nevienā citā.

Kā ar savām rokām izgatavot Möbius sloksni?

Jūs pats varat izveidojiet Möbius sloksnes modeli un pārliecinies pēc savas pieredzes, ka viņam tiešām ir viena puse. Viss ir ļoti vienkārši. Lai to izdarītu, jums būs nepieciešams papīrs, šķēres, līme, dažas krāsas divās krāsās un, protams, jūsu nemirstīgā zinātkāre.
Sāksim ar papīra sloksnes izgriešanu aptuveni 24x4 cm. Tad skaidrības labad vienā joslas pusē atzīmēsim stūrus kā A un B, otrā - C un D. Tālāk vajag papīra strēmeli. vienreiz jāsagriež un jāpielīmē tā, lai leņķis A būtu saskaņots ar leņķi D un leņķis B būtu saskaņots ar leņķi C. Iegūto figūru sauc par Mēbiusa sloksni.
Mēs esam izveidojuši pašu produktu, tagad mums tikai jāizdomā, kā pārbaudīt Mobius sloksnes vienpusību. Lai to izdarītu, paņemiet jebkuru krāsu un sāciet pakāpeniski krāsot izgatavoto lenti vienā pusē, centimetru pa centimetram, nekādā gadījumā nepārkāpjot tās malu. Otrai pusei atstāsim citas krāsas krāsu. Drīzumā kļūs skaidrs, ka nav, kam to izmantot, jo baltā papīra vairs nav palicis vispār. Tātad, tā ir taisnība, Möbius sloksne ir vienpusēja virsma.
Mēbiusa sloksnes griešana arī rada negaidītus rezultātus. Kā no vienas izveidot divas Mobius sloksnes, bet šaurākas? Šķiet, ka tas varētu būt vienkāršāk: paņemiet to un sagrieziet to tieši pa vidu. Bet veidojas nevis divi gredzeni, kā gaidīts, bet viens liels. Sekojošie lentīšu griešana jūs pārsteigs arvien vairāk.

Kā Mēbiusa josla kļuva par neaizstājamu atklājumu

Tas viss ir jautri un aizraujoši, taču Mobius sloksne nav tikai interesanta rotaļlieta. Daudzi zinātnieki ir domājuši par kā padarīt Mobius sloksni noderīgu cilvēcei, atrodiet tam cienīgu lietojumu. Mūsdienās ir reģistrēti daudzi šādi izgudrojumi, tostarp divvirzienu metode skaņas ierakstīšanai filmā bez filmas pārtīšanas un speciālas kasetes lentēm. Un 1969. gadā padomju izgudrotājs A. Gubaiduļins saņēma autorapliecību bezgalīgai slīplentei, kas darbojas uz abām pusēm uzreiz, pamatojoties uz Mēbiusa lenti.
Daži apjuka kā izveidot Mobius sloksni sava veida bezgalības simbola “sencis”, jo lentes virsmu tiešām var kustināt mūžīgi. Bet šis fakts sevi neattaisnoja, jo šis simbols pastāvēja ilgi pirms Mobiusa atklāšanas.
Šīs ir pārsteidzošās spējas, kas piemīt dažiem šķietami vienkāršiem objektiem.

Viens no vienkāršākajiem un tajā pašā laikā sarežģītākajiem un dīvainākajiem objektiem ir Mēbiusa josla. Neskatoties uz visu šī attēla oriģinalitāti, jūs varat to viegli izgatavot pats un veikt visus šajā rakstā aprakstītos eksperimentus.

Mēbiusa sloksne ir vienkāršākā neorientējamā virsma, kas ir vienpusēja trīsdimensiju telpā. To bieži sauc par Mēbiusa virsmu un klasificē kā nepārtrauktu (topoloģisko) objektu.

Saskaņā ar leģendu, vācu astronoms, matemātiķis un mehāniķis Augusts Ferdinands Mēbiuss atklājis šo objektu pēc tam, kad viņa mājā strādājoša kalpone no auduma lenti sašuvusi gredzenā, nevērīgi apgriežot vienu no tās galiem. Redzot rezultātu, Mobiuss tā vietā, lai aizrādītu nelaimīgo meiteni, teica: “Ak, jā, Marta! Meitene nav tik stulba. Galu galā šī ir vienpusēja gredzenveida virsma. Lentei nav aizmugures!”

Augusts Ferdinands Mobiuss.

Izpētījis lentes īpašības, Mobiuss uzrakstīja par to rakstu un nosūtīja to Parīzes Zinātņu akadēmijai, taču nekad neredzēja tās publikāciju. Viņa materiāli tika publicēti pēc matemātiķa nāves, un viņam par godu tika nosaukta neparasta topoloģiskā virsma.

Mēbiusa sloksnes izgatavošana ir ļoti vienkārša: paņemiet sloksni ABCD un pēc tam salokiet to tā, lai punkti A un D savienotos ar B un C.

Mobius sloksnes izgatavošana. Rezultāts ir šķietami parasta figūra, kurai ir ļoti interesantas īpašības.

Mēbiusa sloksnes neparastās īpašības

Vienpusība
Mēs visi esam pieraduši pie tā, ka visu objektu virsmām, ar kurām sastopamies reālajā pasaulē (piemēram, papīra gabalam), ir divas puses. Bet Mēbiusa sloksnes virsma ir vienpusēja. To var viegli pārbaudīt, krāsojot virs lentes. Ja paņemat zīmuli un sākat krāsot lenti no jebkuras vietas, to neapgriežot, tad beigās lente tiks pilnībā nokrāsota.

Ja kāds mēģina krāsot tikai vienu Mēbiusa sloksnes virsmas pusi, tad labāk to uzreiz iegremdēt krāsas spainī, Mēbiusa sloksnes virsma ir nepārtraukta

To var viegli pārbaudīt šādi: ja jūs novietojat punktu jebkurā vietā uz lentes, tad to var savienot ar jebkuru citu punktu uz lentes virsmas, nepārkāpjot malu. Tādējādi izrādās, ka šī objekta virsma ir nepārtraukta.

Mēbiusa joslai nav orientācijas
Ja jūs varētu iziet cauri visai Mobius joslai, tad brīdī, kad atgrieztos ceļojuma sākuma punktā, jūs pārvērstos par sevis spoguļattēlu.

Ja lenti nogriež gareniski pa vidu, tad šajā gadījumā iegūst tikai vienu lenti, lai gan loģika saka, ka tām jābūt divām, un, ja to nogriež, atkāpjoties no malas par trešdaļu no lentes platuma. lentes, jums būs divi gredzeni, kas ir savienoti kopā - mazs un liels. Pēc tam izveidojot mazā gredzena garengriezumu vidū, beigās mēs iegūsim divus vienāda izmēra, bet dažāda platuma gredzenus.

Mēbiusa sloksnes praktiska izmantošana
Jau ir diezgan daudz izgudrojumu, kuru pamatā ir šī neparastā topoloģiskā objekta īpašības. Piemēram, punktmatricas printeru tintes lente, kas savīta Mobius sloksnē, kalpo daudz ilgāk, jo nodilums šajā gadījumā notiek vienmērīgi visā tās virsmā. Un virtuves maisītāja vai betona maisītāja asmeņi, kas savīti šī ģeometriskā objekta formā, samazina enerģijas izmaksas par 20%, un tajā pašā laikā uzlabojas iegūtā maisījuma kvalitāte.

Pastāv hipotēze, ka DNS polimērs, kas ir dubultspirāle, ir Mobius sloksnes fragments, un šī iemesla dēļ DNS kodu ir tik grūti atšifrēt un saprast.

Daži fiziķi saka, ka optiskie efekti balstās uz tām pašām īpašībām, kas piemīt šim paradoksālajam objektam, tāpēc mūsu atspulgs spogulī ir īpašs gadījums vienai no Mobiusa sloksnes īpašībām.

Vēl viena hipotēze, kas saistīta ar šo matemātisko objektu, ir tāda, ka pats mūsu Visums var būt noslēgts šādā lentē un tam ir sava spoguļkopija. Jo, ja mēs vienmēr virzāmies vienā virzienā pa Mobiusa joslu, tad galu galā mēs nonāksim sava ceļojuma sākuma punktā, bet savā spoguļattēlā.

Noslēpumainā Kleina pudele
Pamatojoties uz Möbius sloksni, ir vēl viena pārsteidzoša figūra - Kleina pudele. Tā ir pudele ar caurumu apakšā. Pudeles kakls ir iegarens un izliekts, nonākot vienā no pašas pudeles sieniņām.

Kleina pudele

Šādu figūru nevar atveidot parastā trīsdimensiju telpā, jo kakls nedrīkst pieskarties pudeles sieniņai un ir savienots ar caurumu tās dibenā. Tā rezultātā tiek iegūta virsma, kurai ir tikai viena puse. Kleina pudele un Mēbiusa sloksne joprojām piesaista zinātnieku un rakstnieku uzmanību.

A. Deičs vienā no saviem stāstiem rakstīja par to, kā kādu dienu Ņujorkas metro krustojās sliedes un viss metro sāka atgādināt Mobiusa joslu, un pa sliedēm sāka pazust elektriskie vilcieni, kas atkal parādījās tikai pēc dažiem mēnešiem. vēlāk.

Aleksandra Miča grāmatā The Giveaway Game varoņi nonāk telpā, kas atgādina Kleina pudeli.

Pasaule mums joprojām ir milzīgs noslēpums, un, kas zina, kādas citas kosmosa zinātnieku dīvainības tuvākajā nākotnē atklās.

Iedomāsimies virsmu un uz tās sēžam skudru. Vai skudra spēs pārlīst uz virsmas otru pusi - tēlaini izsakoties, uz tās apakšpusi, nepārkāpjot pāri malai? Protams, nē!

Pirmo piemēru vienpusējai virsmai, uz kuras jebkuru vietu skudra var rāpot, nepārkāpjot pāri malai, sniedza Mobiuss 1858. gadā.

M. Escher "Mobius strip II" "Pāreja" caur Mobius joslu citā dimensijā

Augusts Ferdinands Mēbiuss (1790-1868) - matemātiķu “karaļa” Gausa skolnieks. Mēbiuss sākotnēji bija astronoms, tāpat kā Gauss un daudzi citi, kuriem matemātika ir attīstījusies. Tajos laikos matemātika netika atbalstīta, un astronomija nodrošināja pietiekami daudz naudas, lai par tām nedomātu, un atstāja laiku savām domām. Un Mēbiuss kļuva par vienu no lielākajiem 19. gadsimta ģeometriem.

68 gadu vecumā Mēbiuss atklāja pārsteidzošu skaistumu. Tas ir vienpusēju virsmu atklāšana, no kurām viena ir Möbius sloksne (vai sloksne). Mēbiuss nāca klajā ar ideju par lenti, kad viņš novēroja kalponi, kura nepareizi valkāja savu šalli ap kaklu.

M. Ešers "Mēbiusa sloksne"

Pagatavosim Mobius sloksni: ņemam papīra strēmeli - garu šauru taisnstūri ABCD (ērti izmēri: garums 30 cm, platums 3 cm). Pagriežot vienu sloksnes galu par 180º, pielīmējiet no tā gredzenu (punkti A un C, B un D Modelis ir gatavs).

Möbius sloksnes modelis var viegli izveidot no papīra sloksnes, pagriežot vienu lentes galu par pusapgriezienu un savienojot ar otru galu slēgtā formā. Ja jūs sākat zīmēt līniju ar zīmuli uz lentes virsmas, līnija iedziļinās figūrā un iet zem līnijas sākuma punkta, it kā virzoties uz lentes “otru pusi”. Ja turpināsiet līniju, tā atgriezīsies sākuma punktā. Šajā gadījumā novilktās līnijas garums būs divreiz lielāks par papīra sloksnes garumu. Šis piemērs parāda, ka Mēbiusa joslai ir tikai viena mala un viena robeža.

Eiklīda telpā faktiski ir divu veidu puspagrieztas Mobius sloksnes: viena pagriezta pulksteņrādītāja virzienā, otra - pretēji.

Mobius sloksne sagādās jums pārsteigumu, ja mēģināsiet to nogriezt. Izgrieziet lapu gar centra līniju. Ko tu dabūji? Tā vietā, lai sabruktu divās daļās, lente izvēršas garā, savienotā, slēgtā sloksnē. Nogrieziet lenti, kas iegūta pēc pirmā griezuma, vēlreiz pa centra līniju. Pirms pēdējās šķēru saspiešanas mēģiniet uzminēt, kas notiks?

Lai iegūtu Möbius sloksni, mēs pagriezām papīra sloksni par 180º, pusi apgrieziena. Tagad pagrieziet sloksni par 360º, pilnu apgriezienu. Līmējiet to kopā, pēc tam sagrieziet to pa centra līniju. Grūti prognozēt, kāds būs rezultāts.

Tagad mēģināsim izveidot šādu modeli: izgrieziet šķēlumu ABCD sloksnē un izvelciet vienu galu caur to. Pagrieziet to par pusapgriezienu un salīmējiet kopā, kā parādīts attēlā.

Tagad turpiniet griezumu pa visu lenti. Ko tu dabūji?

Noslēpumainā un slavenā Moebius sloksne, kas parādījās 1858. gadā, satrauca māksliniekus un tēlniekus. Daudzus zīmējumus, kuros attēlota Mēbiusa josla, atstāja slavenais holandiešu mākslinieks Moriss Ešers (skat. rakstu).

Tēlniecībā var atrast veselu virkni Mobiusa sloksnes variantu.

Romantika ar akmeni. Mobiuss Slings. S. Karpikova piemineklis Mobiusa joslai Maskavā. A. Naličs

Paradokss un pilnība. A. Etkalo Merita Rasmusena ģeometriskās skulptūras

Minska. Laukums pie Jakuba Kolasa vārdā nosauktās Centrālās zinātniskās bibliotēkas.

Arhitektūras risinājumi, izmantojot Mobius sloksnes ideju:

Neticami jauna bibliotēkas projekts Astanā, Kazahstānā

Galdu kompozīcijas:

Ir pat mēbeles Mobius sloksnes formā

Rotaslietas Mobius sloksnes veidā:

Pastāv hipotēze, ka arī pati cilvēka DNS spirāle ir Mobiusa sloksnes fragments.

Starptautiskais otrreizējās pārstrādes simbols ir Möbius sloksne.

Mēbiusa josla ir arī atkārtota tēma zinātniskajā fantastikā., piemēram, Artura Klārka stāstā "Tumsas siena". Dažreiz zinātniskās fantastikas stāsti (sekojot teorētiskajiem fiziķiem) liek domāt, ka mūsu Visums var būt kaut kāda vispārināta Mēbiusa josla. Tāpat Mobiusa gredzens nemitīgi pieminēts urālu rakstnieka Vladislava Krapivina darbos ciklā “Lielā kristāla dzīlēs” (piemēram, “Outpost on Enchor Field. A Tale”). A. J. Deiča stāstā "The Mobius Strip" Bostonas metro būvē jaunu līniju, kuras maršruts kļūst tik mulsinošs, ka kļūst par Mobiusa joslu, liekot vilcieniem pazust līnijā. Pēc stāsta motīviem tika uzņemta zinātniskās fantastikas filma “Mobius”, kuras režisors ir Gustavo Moskēra. Mobiusa joslas ideja izmantota arī M. Kliftones stāstā “On the Mobius Strip”. Mūsdienu krievu rakstnieka Alekseja A. Šepeļeva (Sanktpēterburga: Amphora, 2003) romāna “Atbalss” plūdums tiek salīdzināts ar Mēbiusa joslu. No grāmatas anotācijas: "Atbalss" ir Mobiusa gredzena literāra līdzība: divas sižeta līnijas - "zēni" un "meitenes" - ir savstarpēji saistītas, ieplūst viens otrā, bet nekrustojas.