La cinta de Mobius y sus sorpresas. juguetes de ciencia
Imagina una superficie y una hormiga sentada sobre ella. ¿Será capaz la hormiga de arrastrarse hasta el otro lado de la superficie (hablando en sentido figurado, hasta su parte inferior) sin trepar por el borde? ¡Por supuesto que no!
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
El primer ejemplo de una superficie de un solo lado, en la que una hormiga puede arrastrarse a cualquier lugar sin trepar por el borde, fue dado por Möbius en 1858.
La cinta de Möbius, que también se denomina bucle, superficie u hoja, es objeto de estudio en una disciplina matemática como la topología, que estudia las propiedades generales de las figuras que se conservan bajo transformaciones continuas como torsión, estiramiento, compresión, flexión. , y otros no relacionados con violaciones a la integridad. Una característica asombrosa y única de esta cinta es que tiene un solo lado y un borde y no está conectada de ninguna manera con su ubicación en el espacio. La cinta de Möbius es topológica, es decir, un objeto continuo con la superficie más simple de un lado con un límite en el espacio euclidiano habitual (tridimensional), donde es posible llegar desde un punto de dicha superficie sin cruzar los bordes. a cualquier otro.
August Ferdinand Möbius (1790-1868) - estudiante del "rey" de los matemáticos Gauss. Möbius fue originalmente un astrónomo, como Gauss y muchos otros, a quien las matemáticas deben su desarrollo. En aquellos días las matemáticas no se apoyaban, y la astronomía daba suficiente dinero para no pensar en ellas, y dejaba tiempo para las propias reflexiones. Y Möbius se convirtió en uno de los más grandes geómetras del siglo XIX.
A la edad de 68 años, Mobius logró hacer un descubrimiento de impactante belleza. Este es el descubrimiento de las superficies de un solo lado, una de las cuales es la tira (o tira) de Möbius. A Mobius se le ocurrió la cinta mientras observaba a una doncella que se ponía el pañuelo al revés alrededor del cuello.
En el espacio euclidiano, de hecho, hay dos tipos de tiras de Möbius semigiradas: una se gira en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario a las agujas del reloj.
La cinta de Möbius tiene las siguientes propiedades que no cambian cuando se comprime, corta o tritura:
1. La presencia de un lado. A. Möbius en su trabajo "Sobre el volumen de los poliedros" describió una superficie geométrica, luego nombrada en su honor, que tiene un solo lado. Comprobarlo es bastante sencillo: cogemos una tira o tira de Möbius y tratamos de pintar por dentro con un color y por fuera con otro. No importa en qué lugar y dirección se comenzó a colorear, toda la figura se pintará con un color.
2. La continuidad se expresa en el hecho de que cualquier punto de esta figura geométrica puede conectarse con cualquier otro punto sin cruzar los límites de la superficie de Möbius.
3. La conectividad, o bidimensionalidad, radica en el hecho de que al cortar la cinta, varias figuras diferentes no saldrán de ella y permanecerá completa.
4. Carece de una propiedad tan importante como la orientación. Esto significa que una persona que camina a lo largo de esta figura volverá al comienzo de su camino, pero solo en una imagen especular de sí mismo. Entonces, una cinta infinita de Möbius puede conducir a un viaje eterno.
5. Un número cromático especial que muestra cuál es el máximo número posible de regiones en la superficie de Möbius que se pueden crear para que cualquiera de ellas tenga un borde común con todas las demás. La tira de Möbius tiene un número cromático de 6, pero el anillo de papel tiene un número cromático de 5.
Hoy en día, la cinta de Möbius y sus propiedades son ampliamente utilizadas en la ciencia, sirviendo como base para construir nuevas hipótesis y teorías, realizar investigaciones y experimentos, y crear nuevos mecanismos y dispositivos. Entonces, hay una hipótesis según la cual el Universo es un gran bucle de Mobius. La teoría de la relatividad de Einstein también lo atestigua indirectamente, según la cual incluso una nave que vuela en línea recta puede regresar al mismo punto de tiempo y espacio del que partió.
Otra teoría ve el ADN como parte de la superficie de Möbius, lo que explica la dificultad para leer y descifrar el código genético. Entre otras cosas, tal estructura proporciona una explicación lógica para la muerte biológica: una espiral cerrada sobre sí misma conduce a la autodestrucción del objeto. Según los físicos, muchas leyes ópticas se basan en las propiedades de la cinta de Möbius. Entonces, por ejemplo, un reflejo en un espejo es una transferencia especial en el tiempo y una persona ve su espejo duplicarse frente a él.
Si está interesado en la tira de Möbius, cómo hacer su modelo, recibirá una pequeña instrucción:
1. Para la fabricación de su modelo, necesitará: - una hoja de papel normal;
- tijeras;
- gobernante.
2. Corte la tira de una hoja de papel para que su ancho sea 5-6 veces menor que la longitud.
3. Coloque la tira de papel resultante sobre una superficie plana. Sostenemos un extremo con la mano y giramos el otro 180 * para que la tira quede torcida y el lado equivocado se convierta en el lado frontal.
4. Pegamos los extremos de la tira retorcida como se muestra en la figura.
La cinta de Möbius está lista.
5. Tome un bolígrafo o marcador y comience a dibujar un camino en el medio de la cinta. Si hiciste todo bien, volverás al mismo punto donde comenzaste a dibujar la línea.
Para obtener una confirmación visual de que la tira de Möbius es un objeto de un solo lado, intente pintar sobre cualquiera de sus lados con un lápiz o bolígrafo. Después de un tiempo, verás que lo has pintado por completo.
La cinta de Möbius sirvió de inspiración para las esculturas y el arte gráfico. Escher fue uno de los artistas que le tuvo especial cariño y dedicó varias de sus litografías a este objeto matemático. Uno de los más famosos, "Möbius Strip II", muestra hormigas arrastrándose por la superficie de la cinta de Möbius.
La cinta de Möbius es el emblema de una serie de libros de divulgación científica de la serie Quantum Library. También es recurrente en la ciencia ficción, como en el cuento de Arthur C. Clarke "El muro de la oscuridad". A veces, las historias de ciencia ficción (siguiendo a los físicos teóricos) sugieren que nuestro universo puede ser una tira de Möbius generalizada. Además, el anillo de Möbius se menciona constantemente en las obras del escritor de Ural Vladislav Krapivin, el ciclo "En las profundidades del Gran Cristal" (por ejemplo, "Puesto avanzado en el campo de anclaje. Cuento"). En el cuento de AJ Deitch "Möbius Strip", el metro de Boston construye una nueva línea cuya ruta se vuelve tan confusa que se convierte en una cinta de Möbius y los trenes comienzan a desaparecer en la línea. En base a la historia se rodó la película fantástica "Mobius" dirigida por Gustavo Mosquera. Además, la idea de la cinta de Möbius se utiliza en el cuento de M. Clifton "Sobre la cinta de Möbius".
Harry Keefe, el protagonista de la novela Necroscope de Brian Lumley, utiliza la cinta de Mobius como una forma de moverse a través del espacio y el tiempo.
La cinta de Möbius juega un papel importante en la novela de ciencia ficción de R. Zelazny Puertas en la arena.
En el libro de E. Naumov "Half-life" (1989), un intelectual alcohólico viaja por todo el país, subido a una cinta de Möbius.
El curso de la novela del escritor ruso moderno Alexei Shepelev "Echo" se compara con la tira de Möbius. De la anotación al libro: ""Echo" es una analogía literaria del anillo de Möbius: dos historias, "chicos" y "chicas", se entrelazan, fluyen entre sí, pero no se cruzan".
La tira de Möbius también se encuentra en el ensayo de Haruki Murakami "Obladi Possess" del libro de colección de Radio Murakami de 2010, donde la tira de Möbius se compara en sentido figurado con el infinito.
En la novela visual CHARON "Makoto Mobius", el personaje principal Wataro intenta salvar a un compañero de clase de la muerte usando un artefacto mágico: la tira de Mobius.
En 1987, el pianista de jazz soviético Leonid Chizhik grabó el álbum Moebius Tape, que también incluía la composición del mismo nombre.
La pista de carreras en uno de los episodios (temporada 7, episodio 14, 11 minutos) de la serie animada Futurama es una tira de Mobius.
Hay aplicaciones técnicas de la cinta de Möbius. Una tira de cinta transportadora hecha en forma de tira de Möbius durará más porque toda la superficie de la cinta se desgasta uniformemente. Los sistemas de cinta continua también utilizan tiras de Möbius (para duplicar el tiempo de grabación). En muchas impresoras de matriz de puntos, la cinta de tinta también tiene la forma de una tira de Möbius para aumentar su recurso.
También sobre la entrada al Instituto de CEMI RAS hay un mosaico en alto relieve "Cinta de Möbius" del arquitecto Leonid Pavlov en colaboración con los artistas E. A. Zharenova y V. K. Vasiltsov (1976)
Soluciones arquitectónicas utilizando la idea de la cinta de Mobius:
Joyas en forma de tira de Mobius:
Hay aplicaciones técnicas de la cinta de Möbius. La tira de la cinta transportadora está hecha en forma de cinta de Möbius, lo que le permite trabajar durante más tiempo, ya que toda la superficie de la cinta se desgasta uniformemente. Los sistemas de cinta continua también utilizan tiras de Möbius (para duplicar el tiempo de grabación). En muchas impresoras de matriz de puntos, la cinta de tinta también tiene la forma de una tira de Möbius para aumentar su recurso.
Un dispositivo llamado resistencia de Möbius es un elemento electrónico recién inventado que no tiene inductancia propia. Las tiras de Möbius también se utilizan en sistemas de grabación de película continua (para duplicar el tiempo de grabación), en las impresoras de matriz de puntos, la cinta de tinta también tenía forma de tira de Möbius para aumentar la vida útil.
Una tira de Möbius es una superficie tridimensional con un solo lado y un límite, que tiene la propiedad matemática de no orientabilidad. Fue descubierto de forma independiente y simultánea por dos matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.
Se puede crear fácilmente un modelo de tira de Möbius a partir de una tira de papel girando un extremo de la tira media vuelta y conectándolo al otro extremo para formar una forma cerrada. Si comienza a dibujar una línea con un lápiz en la superficie de la cinta, la línea se adentrará en la figura y pasará por debajo del punto inicial de la línea, como si hubiera ido al "otro lado" de la cinta. Si continúa la línea, volverá al punto de partida. En este caso, la longitud de la línea dibujada será el doble de la longitud de la tira de papel. Este ejemplo muestra que la cinta de Möbius tiene solo un lado y un límite.
En el espacio euclidiano, de hecho, hay dos tipos de tiras de Möbius semigiradas: una se gira en el sentido de las agujas del reloj y la otra en el sentido contrario a las agujas del reloj.
geometría y matemáticas
La tira de Möbius se puede representar mediante un sistema paramétrico de ecuaciones:
dónde y . Estas ecuaciones describen una tira de Möbius de ancho 1 que se encuentra en el plano X-y; cuyo radio del círculo interior es 1, el centro del círculo interior está en el origen (0,0,0). Parámetro tu se mueve a lo largo de la cinta, y el parámetro v de una frontera a otra.
De otra forma, la cinta se puede representar mediante una expresión en coordenadas polares:
Topológicamente, una tira de Möbius se puede definir como un cuadrado x cuya parte superior está conectada con la parte inferior en la relación ( X,0) ~ (1-X,1) para 0 ≤ X≤ 1, como se muestra en la figura de la derecha.
cerrar objetos
Estrechamente relacionado con la cinta de Möbius se encuentra un objeto misterioso, la botella de Klein. Se puede crear una botella de Klein pegando dos tiras de Möbius a lo largo de sus límites. Esta operación no se puede realizar en el espacio 3D sin crear intersecciones dentro de la figura.
Una de las figuras imposibles básicas. triangulo imposible se puede representar como una cinta de Möbius si se suavizan algunos de sus bordes. En este caso, se obtendrá una cinta de Möbius, describiendo tres turnos.
Arte
 El logotipo de Power Architecture |
Además, la tira de Möbius se usa a menudo en imágenes de varios logotipos y marcas comerciales. El ejemplo más llamativo es el símbolo internacional de reutilización.
Solicitud. Cuadros con tiras de Möbius
La pintura a continuación de Paul Bielaczyc se llama Como dice el autor, esta pintura es una amalgama de varios aspectos de su vida. Nudos celtas lo envuelven en su obra, pinturas de M.K. Escher es siempre una fuente de inspiración, y la cinta de Möbius es relevante para el tema estudiado por el artista.
La tira de Möbius es algo simple pero sorprendente. Puedes hacerlo en un par de segundos, y hay muchas sorpresas, patrones y propiedades de este fenómeno. Para hacerlo más claro en la práctica, tome una tira de papel normal, péguela y conecte sus extremos. Pero es necesario para que un extremo se invierta en relación con el otro media vuelta. Así que la famosa cinta de Möbius está lista.
Puedes hablar interminablemente sobre la misteriosa superficie resultante. Pregúntese cuántas superficies tiene un anillo de papel. ¿Dos? Y aquí y allá - uno. Es muy fácil comprobar esto. Tome un rotulador o un lápiz e intente pintar sobre uno de los lados de la cinta sin romperla y sin moverse hacia el otro lado. ¿Sucedió? ¿Dónde está el lado sin pintar? Eso es lo que es...
El nombre de la cinta se lo dio su inventor: August Ferdinand Möbius, profesor de la Universidad de Leipzig. Dedicó su larga y fructífera vida al trabajo científico (y esto son 78 años), y mantuvo la claridad mental hasta su muerte. A la edad de 75 años, el profesor describió las propiedades únicas de una superficie de una cara con una estructura aparente de dos capas. Desde entonces, las mejores mentes de la geometría, la física e incluso la espiritualidad han explorado este objeto de arriba abajo.
Puede realizar varios experimentos de forma independiente recogiendo una tira de Möbius. Intente cortarlo, habiendo dibujado previamente una línea media sobre toda la superficie. ¿Qué piensas tú que sucederá? ¿Dos anillos más pequeños? Mal otra vez - ¡una cosa! El doble de largo que el anterior, pero ya retorcido dos veces. Aquí solo tendrá dos superficies, y no una, como en el primer caso. Tal rizo se llama cinta afgana, también es ampliamente conocido por los investigadores. Por cierto, en la espiritualidad, este efecto se llama símbolo de dualidad y se interpreta como una percepción ilusoria del uno.
¿Y si vuelve a dibujar una línea longitudinal, pero no en el medio, sino más cerca del borde en un tercio del ancho de la cinta? Corta el anillo resultante, y ya tendrás dos en tus manos: la cinta de Mobius y la cinta afgana, y de forma incomprensible estarán unidas entre sí.
Pero estas no son todas las sorpresas. Cuando pegue la cinta en un anillo, intente tomar no una, sino dos tiras de papel. Y luego tres o incluso cuatro. Te lo garantizo: ¡el resultado te sorprenderá aún más!
Un experimento interesante se puede poner hipotéticamente. Tomando una tira doble de Möbius (es decir, pegada de dos tiras) y metiendo un dedo entre ellas (un lápiz, un palo de madera, lo que sea), podemos conducirla entre las tiras indefinidamente, demostrando así que la figura consta de dos partes separadas . Ahora imagina que una mosca se arrastra entre estas cintas. La tira inferior para ella será el "piso", la superior será el "techo", y así hasta el infinito.
Pero en realidad, no todo es tan simple como parece. Después de todo, si pones la marca del inicio del viaje de la mosca "en el suelo", cuando el insecto haga un círculo, esta misma marca ya estará "en el techo". Y para volver a ir "al suelo", deberá completar un círculo más.
Imagina una mosca arrastrándose por la calle. A la derecha hay casas con números pares ya la izquierda, respectivamente, con números impares. Mientras camina, en algún momento nuestro viajero notará con sorpresa que los números impares están a la derecha y los pares a la izquierda. Da miedo imaginar una situación así en nuestras carreteras reales con circulación por la derecha, porque pronto tendremos que enfrentarnos a otros que caminan “cara a cara”. Aquí está - la cinta de Möbius...
La aplicación de esta y otras regularidades se encontró no solo en la vida hipotética, sino también en la real. Por ejemplo, las correas en los dispositivos de impresión, las transmisiones automáticas, un anillo abrasivo en los mecanismos de afilado y mucho más que ni siquiera sospecha que se crean a base de cinta. ¡Verdaderamente, la tira de Möbius es un misterio que se puede estudiar indefinidamente!
MOU "Escuela secundaria de Budagovskaya" Asunto: Completado por: Ivan Shalygin Alumno de 5.° grado Director: Kalash G.V. Profesor de matemáticas Budagovo 2012 1 EPIGRAFÍA: En el espacio tridimensional Vivimos, Caminamos, jugamos y vamos a la escuela Así que no estaría de más aprender más sobre él Explore todo Sobre el espacio primero. Todo lo que nos rodea es familiar y lindo. La criada nos abrió el camino a la ciencia. La cinta fue cosida con un error, adquirió significado para la posteridad. Entonces Möbius encontró una hoja para ciencias, adquirió su sección en matemáticas. La rama que estudia las superficies de los cuerpos Desde entonces, todo el mundo la llama topología. ¿Cómo puede una mosca en una cinta no desviarse del camino? Por desgracia, hay un viaje interminable por delante de ella. 2 Contenido I. Tira de Moebius 1. Contenido……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .Introducción.…………………………………………………………………………………………………………………….4 3.Antecedentes históricos… … …………………………………………………………………………………..5 ………………………………………………… ……….5 II. Experimentos de investigación con papel: 1. Pintar la superficie de la cinta de Möbius……………………………………………………………………………………………… ………..7 2. Cortar la cinta de Möbius:………………………………………………………… ………….8 a) a lo largo de la hoja en dos partes iguales… ……………………………………..……….9 b) durante la operación de torcer la cinta …………………… ………………………10 c) varias cintas pegadas en ángulo recto………………………………………………11 d) varios cortes a lo largo de la hoja en 3; cuatro; 5; partes.…………………….12 3. Con base en los resultados de los experimentos, complete las tablas….………………..12 4. Saque conclusiones con base en los resultados de los estudios…… …………………… …………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………….. ……..13 6. Experimentos con una cuerda y un chaleco. …………………………………………… 14 III. Aplicación práctica de la cinta de Möbius …………………………………….15 IV Conclusión…………………………………………………………………… ……………………………….16 V. Lista de literatura utilizada……………………………………………………..17 VI. Aplicación…………………………………………………………………………………………………….18 Lección práctica de un círculo de matemáticas sobre el estudio de la Mobius Strip en el grado 5 (fotografías y videos tomados por Shalygin Ivan)…………………………………………………………………………………………………… ………………… 17 3 Introducción Características generales del proyecto: 1. El proyecto “Geometría en el espacio” es largo (Diseñado para el segundo y tercer trimestre) 2. El proyecto es educativo, de investigación. (Investigación y experimentación, sistematización y aplicación práctica). 3. Proyecto de grupo (Trabajo en las reuniones del círculo con alumnos de 5º de primaria) 4. Proyecto ampliado. (Se lleva a cabo en el marco de la escuela con la posterior defensa de la sección del proyecto en forma de resumen y presentación en la conferencia distrital "Detrás de las páginas de un libro de texto de matemáticas") 5. De acuerdo con los resultados de la sección del proyecto sobre el tema: "Secretos de la tira de Möbius", se preparó un resumen y habló el líder del grupo IV, Ivan Shalygin. El propósito del trabajo: 1. Familiarizarse con una nueva sección de matemáticas: "Topología", con sus conceptos y tareas básicos, para realizar investigaciones con fines prácticos y hacer descubrimientos por uno mismo. 2. Formar la primera idea de la Cinta de Möbius. Familiarizarse con las técnicas básicas del enfoque matemático del mundo que nos rodea. 3. Aprender a realizar investigaciones, describir los resultados, completar las tablas y realizar los dibujos y dibujos de los modelos obtenidos durante el experimento. 4. Aprender a sacar conclusiones razonadas, generar ideas para la resolución de situaciones, aplicar los conocimientos a la resolución de nuevas tareas y problemas. 5. Realizar experimentos prácticos. 6. Establecer la conexión del material considerado con la vida. 4 Antecedentes históricos August Ferdinand Möbius (1790-1868) Estaba lloviendo afuera. Se fumaba una pipa, se bebía una taza de café favorito con leche. La vista desde la ventana era deprimente. Un hombre estaba sentado en una silla. Los pensamientos eran diferentes, pero de alguna manera no se me ocurrió nada especial. Solo en el aire había una sensación de que este día en particular traería gloria y perpetuaría el nombre de August Ferdinand Möbius. Una amada esposa apareció en el umbral de la habitación. Cierto, no estaba de buen humor. Sería más correcto decir que estaba enojada, lo cual era casi tan increíble para la pacífica casa de Mobius, como ver un desfile de planetas tres veces al año, y exigió categóricamente el despido inmediato de la criada, que es tan mediocre que ni siquiera es capaz de coser correctamente la cinta. Examinando con el ceño fruncido la desafortunada cinta, el profesor exclamó: "¡Ah, sí, Martha! La niña no es tan estúpida. Después de todo, esta es una superficie anular de un solo lado. ¡La cinta no tiene reverso!" La superficie abierta se justificó matemáticamente y recibió el nombre del matemático y astrónomo que la describió. Empezó a desarrollarse la llamada topología. Estudia principalmente las superficies de los cuerpos y encuentra una relación matemática entre objetos que, al parecer, no están relacionados entre sí de ninguna manera. Por ejemplo, desde el punto de vista de la topología, una pasta una nuez y una taza tienen en común que cada uno de estos objetos tiene un agujero, aunque en todos los demás aspectos son diferentes.5 La cinta de Möbius marcó el comienzo de una nueva ciencia, la topología. La palabra fue acuñada por Johann Benedikt Listing, un profesor en la Universidad de Göttingen, quien, casi al mismo tiempo que su colega de Leipzig, propuso como primer ejemplo de una superficie de una cara que ya nos es familiar, una vez retorcida, la cinta. Esta ciencia es joven y por lo tanto dañina. No se puede decir lo contrario de las reglas del juego que se aceptan en él. El topólogo tiene derecho a doblar, torcer, comprimir y estirar cualquier figura, a hacer cualquier cosa con ella, simplemente no rasgarla ni pegarla. Y al mismo tiempo, asumirá que no pasó nada, todas sus propiedades permanecieron sin cambios. Para él no importan ni las distancias, ni los ángulos, ni las áreas. ¿Qué le interesa? Las propiedades más generales de las figuras que no cambian bajo ninguna transformación, a menos que ocurra una catástrofe: una "explosión" de una figura. Por lo tanto, la topología a veces se denomina "geometría de continuidad". También se la conoce como "geometría de goma", porque no le cuesta nada a un topólogo colocar todas sus figuras en la superficie de una pelota inflable para niños y cambiar su forma sin cesar, asegurándose de que la pelota no reviente. Al mismo tiempo, las líneas rectas, por ejemplo, los lados de un triángulo, se convierten en curvas, para un topólogo es profundamente indiferente. ¿Cuáles son las propiedades inusuales de las figuras que estudia la topología? Hasta ahora, hemos estado hablando de una sola propiedad: unilateralidad Si te mueves a lo largo de la superficie de la cinta de Möbius en una dirección, sin cruzar sus límites, entonces, a diferencia de las superficies de dos lados (por ejemplo, una esfera y un cilindro), llegas a un lugar que está al revés con respecto al original.Si mueve un círculo a lo largo de esta cinta, girándolo simultáneamente en el sentido de las agujas del reloj, entonces, en la posición inicial, la dirección del bypass se convertirá en el sentido contrario a las agujas del reloj.Otras propiedades que estudia la topología son la continuidad, la conexión, la orientación, por ejemplo, la continuidad es otra propiedad topológica sobre. Si compara el esquema de las rutas de los aviones y un mapa geográfico, entonces 6 asegúrese de que la escala del aeroflot esté lejos de ser sostenida; digamos, Sverdlovsk puede estar a mitad de camino entre Moscú y Vladivostok. Y de todos modos, hay algo en común entre el mapa geográfico. De hecho, Moscú está conectado con Sverdlovsk y Sverdlovsk con Vladivostok. Y, por lo tanto, el topólogo puede deformar el mapa de cualquier forma, siempre que los puntos que antes eran vecinos permanezcan uno al lado del otro y más lejos. Y, por tanto, desde un punto de vista topológico, un círculo es indistinguible de un cuadrado o un triángulo, porque es fácil transformarlos uno en otro sin romper la continuidad. En la tira de Möbius, cualquier punto puede conectarse con cualquier otro punto y, al mismo tiempo, la hormiga en el grabado de Escher nunca tendrá que arrastrarse por el borde de la "cinta". No hay espacios, la continuidad es completa. Experimentos con papel. Para hacer una tira de Möbius, debe tomar una tira de papel lo suficientemente alargada y conectar los extremos de la tira, después de voltear uno de ellos. Estando en la superficie de la cinta de Möbius, uno podría caminar sobre ella para siempre. Ahora consideraremos algunos experimentos con superficies y agujeros obtenidos de una tira de papel. Lo más conveniente es utilizar tiras de unos 30 - 40 cm de largo y 3 cm de ancho. En primer lugar, pegamos dos anillos, uno simple y otro retorcido. 7 Los anillos son, por supuesto, muy similares; pero ¿qué pasa si dibujas una línea continua a lo largo de un lado del anillo? Cuando Möbius hizo esto en el anillo retorcido, descubrió que la línea corría por ambos lados, aunque su lápiz no salía del papel. ¿Significa esto que nuestro anillo tiene un solo lado? Pruebe sus anillos ahora. 1. Pinte por completo solo un lado de cada uno de ellos. ¿Cuántas superficies tienen? Intente pintar un lado de la cinta de Möbius, pieza por pieza, sin sobrepasar el borde de la cinta. ¿Y qué? ¡Colorearás toda la tira de Moebius! ¿Qué tiene de interesante esta hoja? Y el hecho de que la cinta de Möbius tiene una sola cara. Estamos acostumbrados a que cada superficie con la que tratamos (una hoja de papel, una bicicleta o un tubo de voleibol) tiene dos caras. 8 2. Coloque un punto en un lado de cada anillo y dibuje una línea continua a lo largo de él hasta volver al punto marcado. ¿Cuántas aristas tiene una cinta de Möbius? Sorpresa número dos: la tira de Möbius tiene un borde y no consta de dos partes, como un anillo normal. Probemos los anillos cortándolos en dos partes a lo largo. Ahora obtienes dos anillos separados. ¿Pero, qué es esto? ¡En lugar de dos anillos, obtienes uno! Además, es más grande y más delgado que el anillo original. Registre los resultados de torcer y cortar más en la tabla. Varios giros. 9 ¿Y qué pasa si das una vuelta completa? ¿Cuántas aristas tiene el anillo resultante? ¿Cuántas superficies? ¿Qué pasa si lo cortas por la mitad a lo largo? Investiguemos un poco con la torsión de media vuelta. Giro completo, medio giro. Describamos las propiedades y hagamos bocetos de los resultados. La cinta de Möbius tiene propiedades interesantes. Si intentas cortar la cinta por la mitad a lo largo de una línea equidistante de los bordes, en lugar de dos tiras de Möbius, obtienes una cinta larga de doble cara (el doble de retorcida que la tira de Möbius), que los magos llaman la "cinta afgana". Si ahora esta cinta se corta por la mitad, obtendrá dos enrollados uno encima del otro. Se pueden obtener otras combinaciones de bandas interesantes de las bandas de Möbius con dos o más medias vueltas en ellas. Por ejemplo, si corta una cinta con tres medias vueltas, obtendrá una cinta enrollada en un nudo de trébol. Una sección de la tira de Möbius con giros adicionales da figuras inesperadas llamadas anillos de paradrome. Anotemos los resultados de torcer y cortar en la tabla de investigación. Tabla de estudios No. 1 Con una cinta No. p / p Número de medias vueltas 1 0 El resultado de un corte por la mitad a lo largo de Dos anillos Propiedades 2 1 Un anillo El anillo tiene el doble de largo 3 2 Dos anillos Los anillos del del mismo largo están unidos entre sí 4 3 Un anillo El anillo tiene el doble de largo Nudo conectado Anillos del doble del mismo largo 10 Bosquejo Conclusiones: ¿Qué sucede si giras la cinta dos veces antes de pegarla (es decir, 4 medias vueltas de 360 grados)? Tal superficie ya tendrá dos lados. Y para pintar sobre todo el anillo, seguramente tendrás que dar la vuelta a la cinta hacia el otro lado. Las propiedades de esta superficie no son menos asombrosas. Después de todo, si lo corta por la mitad, obtendrá dos anillos idénticos, pero nuevamente unidos. Cortando cada uno de ellos nuevamente a lo largo del medio, encontrarás cuatro anillos conectados entre sí. Ahora puede rasgar los anillos por turno, y cada vez que lo haga, los anillos restantes seguirán estando unidos. Si no toma una cinta de papel, sino una tira de cualquier tela, gire uno de los extremos de la tira tres vueltas completas, es decir, 540 grados, coser ambos extremos. Luego tome las tijeras y corte con cuidado la tira en el medio, luego córtela de nuevo, obtendrá tres anillos idénticos unidos entre sí. Algunas cintas Nos sorprenderá lo que sucede cuando cortamos un anillo doble. Prepara dos anillos: uno ordinario y otro de Möbius. Pégalos en ángulo recto y luego córtalos a lo largo. Tabla de estudios No. 2 No. p / p Número de anillos 1 Dos anillos ubicados perpendicularmente entre sí. Resultado de cortar a lo largo de cada cinta Tres anillos Propiedades Dos anillos de la misma longitud, el tercero tiene el doble de largo. Dos anillos de menor longitud se entrelazan en un par con un tercer anillo 11 Boceto Pregunta adicional Varios cortes Si cortas la cinta a una distancia de 1/3 de su ancho desde el borde, obtienes dos anillos. ¡Pero! Uno grande y uno pequeño pegado a él. Tabla de estudios No. 3 No. de p / p Número de cortes 1 Tres partes El resultado de cortar a lo largo de cada cinta Dos anillos Propiedades Un anillo de la misma longitud, el segundo tiene el doble de largo unidos entre sí 12 Croquis 2 Cuatro partes Dos anillos Ambos anillos son dos veces más largos que el corte, unidos entre sí amigo. Uno de los anillos entrelazó al otro 3 Cinco partes Tres anillos Dos anillos dos veces más largos se entrelazan entre sí y se unen en un par con un tercer anillo corto de la longitud original Conclusiones: Si también corta el anillo pequeño a lo largo del medio, entonces tendrás un tejido muy "intrincado" de dos anillos, idénticos en tamaño, pero diferentes en ancho. Trucos con la tira de Möbius. Los físicos dicen que todas las leyes ópticas se basan en las propiedades de la tira de Möbius, en particular, la reflexión en un El espejo es una especie de transferencia en el tiempo, a corto plazo, que dura centésimas de segundo, porque vemos frente a nosotros... cierto, ¡nuestro espejo doble!Debido a sus propiedades inusuales, la cinta de Möbius ha sido muy utilizada durante el pasados 75 años por magos. Si intentas cortar la cinta a lo largo de una línea equidistante de los bordes, en lugar de dos tiras de Möbius, obtienes una cinta larga de doble cara (el doble de retorcida que una tira de Möbius), una cinta que los magos llaman " cinta afgana". La investigación que hemos hecho con anillos de cinta torcida puede mostrar una serie de trucos. He aquí uno de ellos: Damos al espectador tres grandes anillos de papel, cada uno de los cuales se obtuvo pegando los extremos de una cinta de papel. (Tabla de estudio 1). El espectador corta los anillos a lo largo de la mitad de la cinta con unas tijeras hasta que regresan al punto de partida. Como resultado, se obtendrán dos anillos de hotel del primero. Del segundo, un anillo, pero el doble de largo, y del tercero, dos anillos unidos entre sí. 13 Si pasamos la cinta retorcida tres veces a través del anillo, pegamos los extremos y luego la cortamos por el medio, obtendremos un anillo grande con un nudo atado alrededor del anillo. De manera similar, las tablas de investigación 2 y 3 pueden usarse para trucos Experimentos con cuerdas y chalecos. Los trucos de la tira de Möbius forman parte de los trucos topológicos, que requieren materiales flexibles que no cambien bajo continuas transformaciones: estirarse y apretarse. Para realizar experimentos, necesitas una bufanda, chaleco, cuerdas. Primero, tomemos una situación problemática. Con la ayuda de experimentos, estamos buscando una salida a esta situación. Experimento 1. El problema de atar nudos. ¿Cómo hacer un nudo en una bufanda sin soltar sus extremos? Se puede hacer así. Pon la bufanda sobre la mesa. Cruza los brazos sobre tu pecho. Continúe sosteniéndolos en esta posición, inclínese hacia la mesa y tome un extremo de la bufanda alternativamente con cada mano. Después de separar las manos, se formará un nudo solo en el medio de la bufanda. Usando terminología topológica, podemos decir que los brazos del espectador, su cuerpo y el pañuelo forman una curva cerrada en forma de nudo de "tres hojas". Cuando los brazos están abiertos, el nudo solo se mueve de los brazos al pañuelo. Experimento 2. Dar la vuelta al chaleco sin quitarlo de la persona.Para el propietario el chaleco debe estar abrochado detrás de la espalda.Las personas alrededor deben dar la vuelta al chaleco sin separar las manos del usuario.Para demostrar esta experiencia, es necesario desabrochar el chaleco y tire de él con las manos detrás de la espalda del usuario. El chaleco colgará en el aire, pero, por supuesto, no se quitará, porque las manos están entrelazadas. Ahora debe tomar la mitad izquierda del chaleco y, tratando para no arrugar el chaleco, introdúzcalo lo más posible en la sisa derecha. Luego tome la sisa derecha e introdúzcalo en la misma sisa y en la misma dirección. Queda por enderezar el chaleco y tirarlo sobre el usuario "El chaleco se dará vuelta del revés. El mismo experimento se puede realizar sin desabrochar el chaleco. El único inconveniente será que el chaleco con demasiado angosto para quitarlo sobre la cabeza. Por lo tanto, el chaleco se puede reemplazar con un suéter. Las manipulaciones con el suéter son exactamente las mismas. Este experimento también se puede demostrar en uno mismo, para lo cual debe conectar 14 manos con un cordón, dejando 40 centímetros entre ellas para garantizar la libertad de movimiento y juntar las manos al frente. Experimento 3. Desenredar anillos de cuerda. Dos participantes están atados con cuerdas por las manos. Así, las manos y las cuerdas forman dos anillos entrelazados. Es necesario, sin desatar las cuerdas, desenredar. La clave de esta experiencia radica en el hecho de que los participantes tienen dos bucles más en sus manos. Es necesario estirar una cuerda a través de uno de los lazos en las manos de la otra cuerda y quitar el lazo a través de la mano. tercero Aplicaciones prácticas de la cinta de Möbius Su propiedad más sorprendente es que es de un solo lado, no se puede pintar con dos colores y los insectos que se arrastran sobre él pasarán por ambos lados sin cruzar el borde. Esta propiedad ha encontrado una aplicación práctica: se han patentado muchos dispositivos, por ejemplo, una cinta afiladora, una cinta de tinta para dispositivos de impresión, una transmisión por correa y otras soluciones técnicas. La propiedad de unilateralidad de la tira de Möbius se utilizó en tecnología: si la correa se fabrica en forma de tira de Möbius para una transmisión por correa, su superficie se desgasta dos veces más lentamente que la de un anillo convencional. Esto proporciona ahorros tangibles. Las propiedades que posee la tira de Möbius se pueden utilizar en la industria de la confección con un corte original de la tela. El mecanismo de resorte de los juguetes mecánicos para niños falla con mayor frecuencia, porque los niños a menudo intentan iniciar el resorte cuando ya está torcido para el límite. Un resorte torcido anular puede convertirse en un "móvil perpetuo" para los juguetes de los niños. Otro ejemplo del posible uso de un nuevo mecanismo es el obturador ranurado de una cámara fotográfica o de cine (no digital). En los diseños tradicionales, después de que se abre el obturador, es necesario cerrar la ranura de la cortina del obturador y luego solo devolverlo a su posición original, levantando simultáneamente el resorte. De lo contrario, el marco se iluminará al pasar por la rendija del obturador en la dirección opuesta. El dispositivo de obturación es muy complejo. El uso de la cinta de Möbius permitió simplificar el diseño, aumentó su confiabilidad, durabilidad y velocidad. En muchas impresoras de matriz de puntos, la cinta de tinta también tiene la forma de una tira de Möbius para aumentar su recurso. Gracias a la cinta de Möbius surgieron una gran variedad de inventos. Entonces, por ejemplo, se crearon casetes especiales para una grabadora, lo que hizo posible escuchar casetes de cinta de "dos lados" sin cambiar sus lugares.Cuántas personas estaban encantadas con los paseos en montaña rusa. Este juguete es muy aficionado no solo a los matemáticos. No en vano, probablemente, ahora en la entrada del Museo de Historia y Tecnología en Washington hay un monumento a la cinta de Möbius: en un pedestal, una cinta de acero, girada media vuelta, gira lentamente. El escultor Max Bill creó toda una serie de esculturas en forma de cinta de Möbius. Maurits Escher dejó muchos dibujos diferentes. IV. Conclusión A pesar de que Möbius hizo su sorprendente descubrimiento hace mucho tiempo, todavía es muy popular hoy en día. Una simple tira de papel, pero torcida solo una vez y luego pegada en un anillo, se convierte inmediatamente en una misteriosa tira de Mobius y adquiere propiedades asombrosas. Tales propiedades de superficies y espacios son estudiadas por una rama especial de las matemáticas: la topología. Esta ciencia es tan complicada que no se pasa en la escuela. Solo en instituciones. Pero quién sabe, tal vez con el tiempo seamos topólogos famosos y hagamos descubrimientos maravillosos. Y tal vez alguna superficie intrincada sea llamada por nuestros nombres. Trabajando junto con los muchachos de mi grupo en el proyecto "Secretos de la cinta de Möbius", aprendí muchas cosas nuevas e interesantes: aprendí cómo encontrar literatura sobre el tema propuesto por el maestro en la biblioteca, leer y elegir la correcta. material; use artículos en Internet, seleccione las ilustraciones necesarias para el resumen, construya tablas y complételas; realizar estudios de la "cinta de Moebius" (hacer el número requerido de vueltas, pegar y cortar); fotografíe los anillos resultantes e introdúzcalos en la tabla; hacer una presentación y grabar videos de experimentos; hablar en una conferencia y mostrar trucos. Todo esto es bastante difícil y requiere mucho tiempo, pero muy interesante. 16 "La topología, la rama más joven y poderosa de la geometría, demuestra claramente la fructífera influencia de las contradicciones entre la intuición y la lógica" R. Courant. 17 Literatura 1. Gardner M "Milagros y secretos matemáticos", Moscú, "Nauka" 1986 2. Gromov A.S. "Tareas extracurriculares en matemáticas Grado 8-9" Moscú, Ilustración 3. N. Langdon, C. Snape "En el camino con las matemáticas" Moscú, Pedagogía, 1987 4. Revista de divulgación científica "Quantum" 1975 No. 7, 1977 No. 7 . 5. Savin AP “Diccionario enciclopédico de un joven matemático”, M, Educación, 1985 6. Yakusheva G.M. “Gran enciclopedia de un escolar. Matemáticas, Moscú, SLOVO, Eksmo, 2006 7. w.w.w.Rambler.ru 18 Apéndice Trabajo de laboratorio "Tira de Möbius" en el salón de clases 19 Trate de pintar un lado de la tira de Möbius - pieza por pieza, sin sobrepasar el borde de la cinta. ¿Y qué? ¡Colorearás toda la tira de Moebius! 20 Ponga un punto en un lado de cada anillo y dibuje una línea continua a lo largo de él hasta llegar al punto marcado nuevamente 21 Probemos los anillos cortándolos en dos partes a lo largo. 22 Ahora tendrá dos anillos separados. ¿Pero, qué es esto? ¡En lugar de dos anillos, obtienes uno! Además, es más grande y más delgado que el anillo original. 23 Anotemos los resultados de torcer y cortar en la mesa de estudio. 24 Ambos anillos son dos veces más largos que el cortado, unidos entre sí. Uno de los anillos entrelazaba al otro 25 Un anillo de la misma longitud, el segundo tiene el doble de largo unidos entre sí 26 Una sección de la cinta de Möbius con vueltas adicionales da figuras inesperadas llamadas anillos paradrómicos. 27
Uno de los objetos más simples y al mismo tiempo más complejos y extraños es la cinta de Möbius. A pesar de toda la originalidad de esta figura, puede hacerla usted mismo fácilmente y realizar todos los experimentos que se describen en este artículo.
La cinta de Möbius es la superficie no orientable más simple que tiene un solo lado en el espacio tridimensional. A menudo se la llama superficie de Möbius y se la conoce como objetos continuos (topológicos).
Según la leyenda, el astrónomo, matemático y mecánico alemán August Ferdinand Möbius descubrió este objeto después de que una criada que trabajaba en su casa cosiera una cinta de tela en un anillo, inadvertidamente volteando uno de sus extremos. Al ver el resultado, en lugar de regañar a la desafortunada niña, Möbius dijo: “¡Oh, sí, Martha! La chica no es tan tonta. Después de todo, esta es una superficie anular de un solo lado. ¡La cinta no tiene espalda!
August Ferdinand Möbius.
Después de estudiar las propiedades de la cinta, Möbius escribió un artículo al respecto y lo envió a la Academia de Ciencias de París, pero nunca se publicó. Sus materiales se publicaron después de la muerte del matemático, y una superficie topológica inusual recibió su nombre.
Hacer una tira de Möbius es muy simple: toma la tira ABCD y luego dóblala para que los puntos A y D se conecten con B y C.
Realización de una cinta de Möbius. Resulta una figura ordinaria a primera vista, que tiene propiedades muy interesantes.
Propiedades inusuales de la cinta de Möbius
unilateralidad
Todos estamos acostumbrados al hecho de que las superficies de todos los objetos que encontramos en el mundo real (por ejemplo, una hoja de papel) tienen dos lados. Pero la superficie de la cinta de Möbius es unilateral. Esto se puede comprobar fácilmente pintando la cinta. Si toma un lápiz y comienza a colorear la cinta desde cualquier lugar sin voltearla, al final, la cinta se pintará por completo.
Si alguien intenta colorear solo un lado de la superficie de la tira de Möbius, déjelo sumergirlo inmediatamente en un balde de pintura, la superficie de la tira de Möbius es continua.
Esto se puede verificar fácilmente de la siguiente manera: si coloca un punto en cualquier lugar de la cinta, se puede conectar a cualquier otro punto en la superficie de la cinta sin cortar los bordes. Por lo tanto, resulta que la superficie de este objeto es continua.
La cinta de Möbius no tiene orientación.
Si pudieras atravesar toda la cinta de Möbius, en el momento en que regresas al punto de partida del viaje, te convertirías en una imagen especular de ti mismo.
Si la cinta se corta a lo largo del medio, en este caso solo se obtiene una cinta, aunque la lógica dice que debe haber dos, y si la corta, retroceda desde el borde en un tercio del ancho de la cinta, ya obtendrá dos anillos unidos entre sí: pequeño y grande. Luego de haber hecho una sección longitudinal de un pequeño anillo en el medio, como resultado, obtendremos dos anillos entrelazados del mismo tamaño, pero de diferente ancho.
Uso práctico de la cinta de Möbius
Ya hay bastantes inventos basados en las propiedades de este objeto topológico inusual. Por ejemplo, una cinta de tinta en impresoras de matriz de puntos, torcida en una tira de Mobius, dura mucho más, ya que el desgaste en este caso ocurre de manera uniforme en toda su superficie. Y las palas de una batidora de cocina o de una hormigonera retorcidas en forma de este objeto geométrico reducen los costes energéticos en un 20%, y al mismo tiempo mejora la calidad de la mezcla resultante.
Existe la hipótesis de que el polímero del ADN, que es una doble hélice, es un fragmento de la tira de Mobius y por eso el código del ADN es tan difícil de descifrar y comprender.
Algunos físicos dicen que los efectos ópticos se basan en las mismas propiedades que tiene este objeto paradójico, por lo que nuestro reflejo en el espejo es un caso especial de una de las propiedades de la cinta de Möbius.
Otra hipótesis relacionada con este objeto matemático es que nuestro propio Universo puede estar cerrado en una cinta de este tipo y tiene su propia copia especular. Porque si nos movemos todo el tiempo en una dirección a lo largo de la cinta de Möbius, entonces, al final, nos encontraremos en el punto de partida de nuestro viaje, pero ya en nuestra imagen especular.
La misteriosa botella de Klein
Basado en la cinta de Möbius, hay otra figura asombrosa: la botella de Klein. Es una botella con un agujero en el fondo. El cuello de la botella es alargado y doblado, pasando a una de las paredes de la propia botella.
botella de klein
Tal figura no se puede reproducir en el espacio tridimensional ordinario, porque el cuello no debe tocar la pared de la botella y está conectado a un orificio en su parte inferior. Así, se obtiene una superficie que tiene un solo lado. La botella de Klein y la tira de Möbius todavía atraen la atención de científicos y escritores.
A. Deutsch en una de sus historias escribió sobre cómo un día los caminos se cruzaron en el metro de Nueva York y todo el metro comenzó a parecerse a una cinta de Möbius, y los trenes eléctricos que circulaban por las vías comenzaron a desaparecer, reapareciendo solo unos meses después. .
En el libro de Alexander Mitch The Giveaway Game, los personajes se encuentran en un espacio que se asemeja a una botella de Klein.
El mundo sigue siendo un gran misterio para nosotros, y quién sabe qué otras peculiaridades de los científicos espaciales descubrirán en un futuro próximo.