Mobius strip และความประหลาดใจของมัน ของเล่นวิทยาศาสตร์

ลองนึกภาพพื้นผิวและมดนั่งอยู่บนนั้น มดจะสามารถคลานไปทางด้านหลังของพื้นผิวได้หรือไม่ - เปรียบเปรยที่ด้านล่างของมัน - โดยไม่ต้องปีนข้ามขอบ? แน่นอนไม่!

สิงหาคม เฟอร์ดินานด์ โมบิอุส (1790-1868)

ตัวอย่างแรกของพื้นผิวด้านเดียว ในสถานที่ใดๆ ที่มดสามารถคลานได้โดยไม่ต้องปีนข้ามขอบ โดย Mobius ในปี 1858

แถบ Mobius หรือที่เรียกว่าห่วง พื้นผิว หรือแผ่น เป็นวัตถุของการศึกษาในสาขาคณิตศาสตร์ เช่น โทโพโลยี ซึ่งศึกษาคุณสมบัติทั่วไปของรูปร่างที่คงสภาพไว้ภายใต้การเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่อง เช่น การบิด การยืด การอัด การดัด และอื่นๆที่ไม่เกี่ยวกับคุณธรรม ... คุณลักษณะที่น่าทึ่งและไม่เหมือนใครของเทปชนิดนี้คือ มีด้านเดียวและขอบเพียงด้านเดียว และไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับตำแหน่งในอวกาศ แถบ Mobius เป็นแบบทอพอโลยี กล่าวคือ วัตถุต่อเนื่องที่มีพื้นผิวด้านเดียวที่ง่ายที่สุดโดยมีขอบเขตในปริภูมิแบบยุคลิดธรรมดา (3 มิติ) ซึ่งเป็นไปได้จากจุดหนึ่งของพื้นผิวดังกล่าวโดยไม่ต้องข้ามขอบไปยัง ไปที่อื่น

August Ferdinand Möbius (1790-1868) - ลูกศิษย์ของ "ราชา" ของนักคณิตศาสตร์ Gauss เดิมที Mobius เป็นนักดาราศาสตร์ เช่นเดียวกับ Gauss และคนอื่นๆ อีกหลายคน ซึ่งคณิตศาสตร์เป็นหนี้การพัฒนาของมัน ในสมัยนั้นการศึกษาคณิตศาสตร์ไม่ได้รับการสนับสนุนและดาราศาสตร์ให้เงินมากพอที่จะไม่คิดเกี่ยวกับพวกเขาและปล่อยให้เวลาสำหรับการไตร่ตรองของตนเอง และ Mobius ก็กลายเป็นหนึ่งใน geometers ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของศตวรรษที่ 19

เมื่ออายุได้ 68 ปี โมบิอุสก็สามารถค้นพบความงามอันน่าทึ่งได้ นี่คือการค้นพบพื้นผิวด้านเดียว ซึ่งหนึ่งในนั้นคือแถบ Mobius (หรือเทป) Mobius ได้ริบบิ้นเมื่อเขาเห็นสาวใช้สวมผ้าเช็ดหน้าของเธออย่างไม่ถูกต้องรอบคอของเธอ
อันที่จริงในอวกาศแบบยุคลิดมีแถบโมบิอุสสองประเภทซึ่งกางออกครึ่งรอบ: หนึ่งแฉกตามเข็มนาฬิกาและอีกอันเป็นแบบทวนเข็มนาฬิกา

แถบ Mobius มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อถูกบีบอัด ตัดตาม หรือพับ:

1. อยู่ฝ่ายเดียว A. Mobius ในงานของเขา "บนปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยม" อธิบายพื้นผิวเรขาคณิตซึ่งตั้งชื่อตามเขาโดยมีเพียงด้านเดียว การตรวจสอบสิ่งนี้ค่อนข้างง่าย: เราใช้เทปหรือแถบ Moebius และพยายามทาสีด้านในด้วยสีหนึ่งและด้านนอกด้วยสีอื่น ไม่สำคัญว่าจะเริ่มต้นภาพวาดที่ไหนและไปในทิศทางใด รูปร่างทั้งหมดจะถูกทาสีทับด้วยสีเดียวกัน
2. ความต่อเนื่องถูกแสดงโดยข้อเท็จจริงที่ว่าจุดใดๆ ของรูปทรงเรขาคณิตนี้สามารถเชื่อมต่อกับจุดอื่นๆ ได้โดยไม่ต้องข้ามขอบเขตของพื้นผิว Mobius
3. การเชื่อมต่อหรือสองมิติ หมายความว่าเมื่อตัดเทปตามยาว รูปร่างต่างๆ จะไม่หลุดออกมา และเทปจะยังคงเป็นส่วนสำคัญ

4. ขาดคุณสมบัติที่สำคัญเช่นการปฐมนิเทศ ซึ่งหมายความว่าคนที่เดินไปตามร่างนี้จะกลับไปที่จุดเริ่มต้นของเส้นทางของเขา แต่จะอยู่ในภาพสะท้อนของตัวเองเท่านั้น ดังนั้นแถบ Moebius ที่ไม่มีที่สิ้นสุดสามารถนำไปสู่การเดินทางนิรันดร์
5. คุณสามารถสร้างหมายเลขสีพิเศษซึ่งแสดงจำนวนขอบเขตสูงสุดที่เป็นไปได้บนพื้นผิว Mobius เพื่อให้สีใดก็ได้มีเส้นขอบร่วมกับส่วนอื่นๆ ทั้งหมด แถบ Mobius มีเลขรงค์ - 6 แต่วงแหวนกระดาษ - 5

ทุกวันนี้ แถบ Mobius และคุณสมบัติของมันถูกใช้กันอย่างแพร่หลายในด้านวิทยาศาสตร์ ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการสร้างสมมติฐานและทฤษฎีใหม่ ดำเนินการวิจัยและทดลอง การสร้างกลไกและอุปกรณ์ใหม่ ดังนั้นจึงมีสมมติฐานว่าจักรวาลเป็นวง Mobius ขนาดใหญ่ นี่เป็นหลักฐานทางอ้อมจากทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์ ซึ่งแม้แต่เรือที่บินตรงก็สามารถกลับไปยังจุดเวลาและอวกาศเดิมที่มันเริ่มต้นได้

อีกทฤษฎีหนึ่งมองว่า DNA เป็นส่วนหนึ่งของพื้นผิว Mobius ซึ่งอธิบายถึงความยากลำบากในการอ่านและถอดรหัสรหัสพันธุกรรม เหนือสิ่งอื่นใด โครงสร้างดังกล่าวให้คำอธิบายที่สมเหตุสมผลสำหรับความตายทางชีววิทยา - เกลียวที่ปิดตัวเองจะนำไปสู่การทำลายตนเองของวัตถุ นักฟิสิกส์กล่าวว่ากฎทางแสงจำนวนมากขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของแถบ Moebius ตัวอย่างเช่น ภาพสะท้อนในกระจกคือการถ่ายโอนเวลาพิเศษ และบุคคลหนึ่งเห็นกระจกของเขาเป็นสองเท่าต่อหน้าเขา

หากคุณสนใจแถบ Mobius คำแนะนำเล็กๆ น้อยๆ จะบอกวิธีสร้างแบบจำลอง:
1. สำหรับการผลิตแบบจำลองของเธอ คุณจะต้อง: - กระดาษธรรมดาแผ่นหนึ่ง;
- กรรไกร;
- ไม้บรรทัด.
2. ตัดแถบออกจากกระดาษเพื่อให้ความกว้างน้อยกว่าความยาว 5-6 เท่า
3. แถบกระดาษที่ได้จะวางบนพื้นผิวเรียบ เราจับปลายด้านหนึ่งด้วยมือแล้วหมุนอีก 180 * เพื่อให้แถบบิดและด้านที่ผิดกลายเป็นด้านหน้า
4. กาวปลายแถบบิดตามที่แสดงในภาพ

แถบ Mobius พร้อมแล้ว
5. หยิบปากกาหรือปากกามาร์กเกอร์แล้วเริ่มวาดรอยทางตรงกลางเทป หากคุณทำทุกอย่างถูกต้อง คุณจะกลับไปยังจุดเดิมที่คุณเริ่มวาดเส้น

เพื่อที่จะได้รับการยืนยันด้วยภาพว่าแถบ Mobius เป็นวัตถุด้านเดียว ให้ลองทาสีทับด้านหนึ่งของแถบนั้นด้วยดินสอหรือปากกา อีกสักพักจะเห็นว่าทาสีทับหมดแล้ว

แผ่น Mobius ทำหน้าที่เป็นแรงบันดาลใจให้กับประติมากรรมและศิลปะภาพพิมพ์ เอสเชอร์เป็นหนึ่งในศิลปินที่รักเขาเป็นพิเศษและอุทิศภาพพิมพ์หินหลายภาพให้กับวัตถุทางคณิตศาสตร์นี้ หนึ่งในที่มีชื่อเสียง - "Mobius Leaf II" แสดงมดคลานบนพื้นผิวของแถบ Mobius

ใบไม้ Mobius เป็นสัญลักษณ์ของชุดหนังสือวิทยาศาสตร์ยอดนิยมของชุด "Library" Kvant " นอกจากนี้ยังปรากฏเป็นประจำในนิยายวิทยาศาสตร์ เช่น เรื่องสั้นของอาเธอร์ คลาร์กเรื่อง "The Wall of Darkness" บางครั้งเรื่องราวในนิยายวิทยาศาสตร์ (ตามนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎี) ชี้ให้เห็นว่าจักรวาลของเราอาจเป็นแถบ Mobius ทั่วไปบางประเภท นอกจากนี้แหวน Mobius ยังถูกกล่าวถึงอย่างต่อเนื่องในผลงานของนักเขียน Ural Vladislav Krapivin วัฏจักร "ในส่วนลึกของ Great Crystal" (เช่น "Outpost on the Anchor Pole. Tale") ในเรื่อง "Mobius Leaf" โดยผู้แต่ง A.J. Deutsch รถไฟใต้ดินของบอสตันได้สร้างเส้นทางใหม่ ซึ่งเส้นทางนั้นสับสนมากจนกลายเป็นราง Mobius หลังจากนั้นรถไฟก็เริ่มหายไปในสายนั้น จากเรื่องราวดังกล่าว ภาพยนตร์แฟนตาซีเรื่อง "Mobius" ที่กำกับโดย Gustavo Mosquera ถูกถ่ายทำ นอกจากนี้ แนวคิดของแถบ Mobius ยังใช้ในเรื่อง M. Clifton "On the Mobius strip"

แถบ Mobius ใช้เป็นวิธีการเคลื่อนที่ในอวกาศและเวลาโดย Harry Keefe ตัวเอกของนวนิยายเรื่อง "The Necroscope" ของ Brian Lumley

แถบ Mobius มีบทบาทสำคัญในนวนิยายแฟนตาซีโดย R. Zelazny "Doors in the Sand"

ในหนังสือของ E. Naumov "Half-life" (1989) นักปราชญ์ที่ติดเหล้าเดินทางไปทั่วประเทศโดยไปที่แถบMöbius

หลักสูตรของนวนิยาย "Echo" โดยนักเขียนชาวรัสเซียสมัยใหม่ Alexei Shepelev เปรียบเทียบกับแถบ Mobius จากคำอธิบายประกอบถึงหนังสือ: "" Echo "เป็นการเปรียบเทียบทางวรรณกรรมของวงแหวน Mobius: เนื้อเรื่องสองเรื่อง -" เด็กชาย "และ" เด็กหญิง "- พันกันไหลเข้าหากัน แต่อย่าตัดกัน"

แถบ Mobius ยังพบได้ในบทความของ Haruki Murakami เรื่อง "Possess Oblada" จากหนังสือรวมเรื่อง "Radio Murakami" ซึ่งออกในปี 2010 โดยที่แถบ Mobius เปรียบได้กับความไม่มีที่สิ้นสุด

ในวิชวลโนเวลเรื่อง "มาโกโตะ โมบิอุส" ของชารอน วาทาโร่ ตัวเอกพยายามช่วยเพื่อนร่วมชั้นจากความตายโดยใช้สิ่งประดิษฐ์เวทย์มนตร์ - แถบโมบิอุส

ในปี 1987 นักเปียโนแจ๊สชาวโซเวียต Leonid Chizhik บันทึกอัลบั้ม "Mobius Tape" ซึ่งรวมถึงองค์ประกอบที่มีชื่อเดียวกัน

สนามแข่งรถในตอนใดตอนหนึ่ง (ฤดูกาลที่ 7 ตอนที่ 14, 11 นาที) ของซีรีส์การ์ตูนเรื่อง "Futurama" เป็นแถบ Mobius

มีการใช้งานทางเทคนิคของแถบโมบิอุส สายพานลำเลียงแบบโมบิอุสจะมีอายุการใช้งานยาวนานขึ้นเนื่องจากพื้นผิวของสายพานทั้งหมดสึกหรออย่างเท่าเทียมกัน ระบบบันทึกเทปแบบต่อเนื่องยังใช้เทป Mobius (เพื่อเพิ่มเวลาในการบันทึกเป็นสองเท่า) ในเครื่องพิมพ์ดอทเมทริกซ์หลายรุ่น ริบบ้อนหมึกยังอยู่ในรูปแบบของแถบ Mobius เพื่อเพิ่มทรัพยากร

นอกจากนี้ เหนือทางเข้าสถาบัน CEMI RAS ยังมีภาพนูนสูง "แถบ Mobius" โดยสถาปนิก Leonid Pavlov ร่วมกับศิลปิน E. A. Zharenova และ V. K. Vasiltsov (1976)

โซลูชันทางสถาปัตยกรรมโดยใช้แนวคิดแถบ Mobius:

เครื่องประดับแถบ Mobius:

มีการใช้งานทางเทคนิคของแถบโมบิอุส สายพานของสายพานลำเลียงทำในรูปแบบของสายพาน Mobius ซึ่งช่วยให้ใช้งานได้นานขึ้น เนื่องจากพื้นผิวทั้งหมดของสายพานสึกหรออย่างสม่ำเสมอ ระบบบันทึกเทปแบบต่อเนื่องยังใช้เทป Mobius (เพื่อเพิ่มเวลาในการบันทึกเป็นสองเท่า) ในเครื่องพิมพ์ดอทเมทริกซ์หลายรุ่น ริบบ้อนหมึกยังมีลักษณะของแถบ Mobius เพื่อเพิ่มทรัพยากร

อุปกรณ์ที่เรียกว่าตัวต้านทาน Mobius เป็นองค์ประกอบอิเล็กทรอนิกส์ที่เพิ่งประดิษฐ์ขึ้นซึ่งไม่มีการเหนี่ยวนำของตัวเอง เทป Möbius ยังใช้ในระบบบันทึกเทปแบบต่อเนื่อง (เพื่อเพิ่มเวลาในการบันทึกเป็นสองเท่า) ในเครื่องพิมพ์ดอทเมทริกซ์ ริบบอนหมึกยังดูเหมือนแผ่น Mobius เพื่อเพิ่มอายุการเก็บ

แถบ Mobius (แถบ Mobius) - พื้นผิวสามมิติที่มีด้านเดียวและขอบเดียวเท่านั้นซึ่งมีคุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของความสามารถในการปรับทิศทางไม่ได้ มันถูกค้นพบโดยอิสระพร้อมกันโดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันสองคน August Ferdinand Möbius และ Johann Benedict Listing ในปี 1858

คุณสามารถสร้างแบบจำลองแถบ Mobius จากแถบกระดาษได้ง่ายๆ โดยหมุนปลายด้านหนึ่งของแถบครึ่งหนึ่งแล้วต่อเข้ากับปลายอีกด้านเพื่อสร้างรูปทรงปิด หากคุณเริ่มวาดเส้นบนพื้นผิวของเทปด้วยดินสอ เส้นนั้นจะลึกเข้าไปในรูปร่างและผ่านใต้จุดเริ่มต้นของเส้น ราวกับว่ากำลังไปที่ "อีกด้านหนึ่ง" ของเทป หากคุณต่อบรรทัด มันจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น ในกรณีนี้ ความยาวของเส้นที่ลากจะเป็นสองเท่าของความยาวของแถบกระดาษ ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าแถบ Mobius มีเพียงด้านเดียวและหนึ่งขอบเขต

อันที่จริงในอวกาศแบบยุคลิดมีแถบโมบิอุสสองประเภทซึ่งกางออกครึ่งรอบ: หนึ่งแฉกตามเข็มนาฬิกาและอีกอันเป็นแบบทวนเข็มนาฬิกา

เรขาคณิตและคณิตศาสตร์

แถบ Mobius สามารถแสดงด้วยระบบสมการพาราเมตริก:

ที่ไหนและ. สมการเหล่านี้อธิบายแถบ Mobius ที่มีความกว้าง 1 ซึ่งอยู่ในระนาบ NS-y;รัศมีวงในคือ 1 จุดศูนย์กลางของวงกลมในอยู่ที่จุดกำเนิด (0,0,0) พารามิเตอร์ ยูเคลื่อนที่ไปตามเทปและพารามิเตอร์ วี- จากขอบหนึ่งไปอีกขอบหนึ่ง

อีกทางหนึ่ง เทปสามารถแสดงด้วยนิพจน์ในพิกัดเชิงขั้ว:

ทอพอโลยี แถบ Mobius สามารถกำหนดเป็นสี่เหลี่ยม x ซึ่งด้านบนเชื่อมต่อกับด้านล่างในอัตราส่วน ( NS,0) ~ (1-NS, 1) สำหรับ 0 ≤ NS≤ 1 ดังรูปทางขวามือ

ปิดวัตถุ

วัตถุลึกลับที่เกี่ยวข้องกับแถบ Mobius อย่างใกล้ชิด - ขวดของไคลน์ ขวดของ Klein สร้างขึ้นได้โดยการติดแถบ Mobius สองแถบเข้าด้วยกันตามขอบ การดำเนินการนี้ไม่สามารถทำได้ในพื้นที่ 3 มิติ โดยไม่สร้างทางแยกภายในรูปร่าง

หนึ่งในตัวเลขพื้นฐานที่เป็นไปไม่ได้ สามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้สามารถแสดงเป็นแถบ Moebius ได้หากขอบบางส่วนเรียบ สิ่งนี้จะสร้างแถบMöbius อธิบายสามรอบ

ศิลปะ

โลโก้ The Power Architecture

นอกจากนี้ แถบ Mobius มักใช้ในรูปภาพของโลโก้และแบรนด์ต่างๆ ตัวอย่างที่โดดเด่นที่สุดคือสัญลักษณ์สากลของการใช้ซ้ำ

แอปพลิเคชัน. ภาพวาดด้วยริบบิ้น Moebius

ภาพด้านล่างโดย Paul Bielaczyc เรียกว่า ตามที่ผู้เขียนกล่าวว่ารูปภาพนี้เป็นการผสมผสานแง่มุมต่างๆ ในชีวิตของเขา นอตเซลติกล้อมรอบเขาไว้ในผลงาน ภาพวาดโดยเอ็ม.เค. Eschers เป็นแหล่งของแรงบันดาลใจเสมอ และแถบ Moebius เกี่ยวข้องกับหัวข้อที่ศิลปินศึกษา

แถบ Moebius เป็นสิ่งที่เรียบง่าย แต่น่าทึ่ง สามารถทำได้ภายในไม่กี่วินาที และปรากฏการณ์นี้มีรูปแบบและคุณสมบัติที่น่าประหลาดใจมากมาย เพื่อให้ชัดเจนขึ้นในทางปฏิบัติให้ใช้แถบกระดาษกาวธรรมดาเชื่อมต่อปลาย แต่มีความจำเป็นที่ปลายด้านหนึ่งจะกลับด้านเมื่อเทียบกับอีกด้านหนึ่งครึ่งเทิร์น ดังนั้นแถบ Moebius ที่มีชื่อเสียงก็พร้อมแล้ว

คุณสามารถพูดคุยเกี่ยวกับพื้นผิวลึกลับที่เกิดขึ้นได้ไม่รู้จบ ถามตัวเองว่าวงแหวนกระดาษมีกี่พื้นผิว สอง? แต่ไม่มี - หนึ่ง มันง่ายมากที่จะตรวจสอบสิ่งนี้ ใช้ปากกาหรือดินสอสักหลาดแล้วลองทาสีทับด้านหนึ่งของเทปโดยไม่ขาดหรือข้ามไปอีกด้าน เกิดขึ้น? ด้านที่ไม่ได้ทาสีอยู่ที่ไหน? แค่นั้นแหละ ...

ผู้ประดิษฐ์เป็นผู้ตั้งชื่อเทปให้: August Ferdinand Moebius ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัยไลพ์ซิก เขาอุทิศชีวิตที่ยืนยาวและมีผลให้กับงานทางวิทยาศาสตร์ (และนี่คือ 78 ปี) และเขายังคงความชัดเจนของจิตใจไว้จนกระทั่งจากไป ในช่วง 75 ปีของเขา ศาสตราจารย์อธิบายคุณสมบัติพิเศษของพื้นผิวด้านเดียวที่มีสองชั้นชัดเจน ตั้งแต่นั้นมา ผู้มีจิตใจดีที่สุดในด้านเรขาคณิต ฟิสิกส์ และแม้แต่จิตวิญญาณก็ได้สำรวจวัตถุนี้ในวงกว้าง

คุณสามารถทำการทดลองต่างๆ ได้อย่างอิสระโดยหยิบแถบ Mobius ขึ้นมา พยายามตัดมันตามด้วยการวาดเส้นกึ่งกลางเบื้องต้นตามพื้นผิวทั้งหมด คุณคิดว่าจะออกมาเป็นอย่างไร? แหวนเล็กสองวง? ผิดอีกแล้ว - หนึ่ง! ยาวกว่าเดิมสองเท่า แต่บิดไปสองครั้งแล้ว ที่นี่เขาจะมีเพียงสองพื้นผิวและไม่ใช่หนึ่งอย่างในกรณีแรก ม้วนงอนี้เรียกว่าริบบิ้นอัฟกันและเป็นที่รู้จักกันอย่างแพร่หลายในหมู่นักวิจัย โดยวิธีการในจิตวิญญาณเอฟเฟกต์นี้เรียกว่าสัญลักษณ์ของความเป็นคู่และถูกตีความว่าเป็นการรับรู้ที่ลวงตาของสิ่งหนึ่ง

และถ้าคุณวาดเส้นตามยาวอีกครั้ง แต่ไม่ใช่ตรงกลาง แต่ใกล้กับขอบด้วยความกว้างหนึ่งในสามของเทป? ตัดแหวนที่เป็นผลออกและคุณจะมีแหวนสองวงอยู่ในมือแล้ว: ริบบิ้น Mobius และริบบิ้นอัฟกานิสถานและในวิธีที่เข้าใจยากพวกเขาจะเชื่อมโยงกัน

แต่สิ่งเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องน่าประหลาดใจทั้งหมด เมื่อติดเทปเข้ากับวงแหวน พยายามอย่าใช้แถบกระดาษเพียงแถบเดียว แต่เป็นแถบกระดาษสองแถบ แล้วก็สามหรือสี่ ฉันรับประกัน: ผลลัพธ์จะทำให้คุณประหลาดใจมากยิ่งขึ้น!

การทดลองที่น่าสนใจสามารถนำมาเป็นสมมติฐานได้ ใช้แถบ Mobius สองครั้ง (นั่นคือติดกาวจากสองแถบ) แล้วใช้นิ้วแตะระหว่างพวกเขา (ดินสอแท่งไม้ - อะไรก็ตาม) เราสามารถเรียกใช้ระหว่างริบบิ้นได้ไม่รู้จบ ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าร่างนั้นประกอบด้วยสองส่วนแยกจากกัน . ลองนึกภาพว่าแมลงวันกำลังคลานไปมาระหว่างริบบิ้นเหล่านี้ แถบด้านล่างจะเป็น "พื้น" แถบด้านบน - "เพดาน" และอื่น ๆ

แต่ในความเป็นจริง ทุกอย่างไม่ได้เรียบง่ายอย่างที่คิด ท้ายที่สุดถ้าคุณทำเครื่องหมายจุดเริ่มต้นของการเดินทางของแมลงวัน "บนพื้น" จากนั้นเมื่อแมลงสร้างวงกลมเครื่องหมายนี้ก็จะ "บนเพดาน" แล้ว และหากต้องการกลับไปที่พื้น คุณจะต้องสร้างวงกลมอีกหนึ่งวง

ลองนึกภาพแมลงวันคลานไปตามถนน ทางด้านขวาของมันคือบ้านที่มีเลขคู่ และทางซ้ายตามลำดับภายใต้เลขคี่ ขณะเดินเล่น เมื่อถึงจุดหนึ่ง นักเดินทางของเราจะแปลกใจที่สังเกตว่าเลขคี่อยู่ทางขวาแล้ว และเลขคู่อยู่ทางซ้าย! มันน่ากลัวที่จะจินตนาการถึงสถานการณ์เช่นนี้บนถนนจริงของเราที่มีการจราจรทางขวามือเพราะในไม่ช้าเราจะต้องเผชิญกับคนอื่นที่เดิน "ตัวต่อตัว" เป็นอย่างนี้นี่เอง - แถบ Mobius ...

การประยุกต์ใช้รูปแบบนี้และรูปแบบอื่นๆ ไม่เพียงแต่พบในสิ่งสมมติเท่านั้น แต่ยังพบในชีวิตจริงด้วย ตัวอย่างเช่น สายพานในอุปกรณ์การพิมพ์ ระบบเกียร์อัตโนมัติ แหวนขัดในกลไกการลับคม และอื่นๆ อีกมากมาย ซึ่งคุณไม่ได้สงสัยด้วยซ้ำ ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของเทป แท้จริงแถบ Mobius เป็นปริศนาที่ศึกษาได้ไม่รู้จบ!

สถาบันการศึกษาเทศบาล "โรงเรียนมัธยม Budagovskaya" หัวข้อ: เสร็จสิ้นโดย: Shalygin Ivan Pupil จากหัวหน้างานเกรด 5: Kalash G.V. ครูสอนคณิตศาสตร์ Budagovo 2012 1 EPIGRAPH: ในพื้นที่สามมิติ เราอาศัย เดิน เล่น และไปโรงเรียน จึงไม่เจ็บที่จะเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับเขา สำรวจทุกอย่างเกี่ยวกับอวกาศตั้งแต่เริ่มต้น ทุกสิ่งรอบตัวเราคุ้นเคยและน่ารัก คนใช้เปิดทางให้เราวิทยาศาสตร์ ริบบิ้นถูกเย็บอย่างผิดวิธี และพบว่ามีความหมายสำหรับลูกหลาน ดังนั้น Möbius จึงพบแผ่นงานวิทยาศาสตร์ ได้มาซึ่งหมวดวิชาคณิตศาสตร์ สาขาที่ศึกษาพื้นผิวของร่างกาย ตั้งแต่นั้นมาทุกคนเรียกว่าโทโพโลยี แมลงวันบนเทปจะไม่ปิดเส้นทางได้อย่างไร? อนิจจา เธอมีหนทางไม่สิ้นสุด 2 สารบัญ I. ใบไม้ Möbius 1. สารบัญ ……………………………………………………………………………………………………………… ..3 2 .บทนำ ……………………………………………………………………………………………………………… .4 3.ประวัติความเป็นมา… …… ………………………………………………………………………………………… ..5 4. โทโพโลยี - "เรขาคณิตของตำแหน่ง" ... ..... … … ………………………………………………… .5 II. การทดลองวิจัยด้วยกระดาษ: 1. ทาสีพื้นผิวของแผ่น Möbius ………………………………… 7 2. การตัดแผ่น Möbius: ……………………………………… ………… ………… .8 ก) ตามแนวแผ่นออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ………………………………………… .. ……… .9 ข) เมื่อบิดเทป ……… ………… ……………………………… 10 c) ติดเทปหลายแผ่นที่มุมฉาก ………………………… 11 d) ตัดหลายแผ่นตาม 3; 4; 5; ส่วนต่างๆ ……………………………… .12 3. จากผลการทดลอง ให้กรอกตาราง…. ………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……… ……………………………………………………………… 12 5. เคล็ดลับด้วย Mobius strip ………………………………………………………… …… ..13 6. การทดลองด้วยเชือกและเสื้อกั๊ก ………………………………………… 14 III. การประยุกต์ใช้แถบ Mobius ในทางปฏิบัติ …………………………………………………… .15 IV บทสรุป …………………………………………………………………… …… …………………………………… .16 V. รายการวรรณกรรมที่ใช้แล้ว ……………………………………………………………… ..17 VI. ภาคผนวก …………………………………………………………………………………………………………… .18 ​​​​บทเรียนเชิงปฏิบัติของวงกลมคณิตศาสตร์การวิจัยแถบMöbiusใน เกรด 5 ( ภาพถ่ายและวิดีโอที่ถ่ายโดย Ivan Shalygin) …………………………………………………………………………………………………… ……… 17 3 บทนำ ลักษณะทั่วไปของโครงการ 1. โครงการ "เรขาคณิตในอวกาศ" ระยะยาว (ออกแบบสำหรับไตรมาสที่สองและสาม) 2. โครงการนี้เป็นโครงการด้านความรู้ความเข้าใจการวิจัย (การวิจัยและทดลอง จัดระบบ และประยุกต์ใช้จริง) 3. โครงการกลุ่ม (งานประชุมวงเวียนกับนักเรียน ป.5) 4. โครงการขยายเวลา (จัดขึ้นภายในโรงเรียนโดยมีการป้องกันส่วนโครงการในรูปแบบของบทคัดย่อและการนำเสนอในการประชุมระดับภูมิภาค "เบื้องหลังหนังสือเรียนคณิตศาสตร์") 5. จากผลของส่วนโครงการในหัวข้อ: "ความลับของแผ่นงานMöbius" หัวหน้ากลุ่ม IV Ivan Shalygin ได้เตรียมเรียงความและพูด วัตถุประสงค์ของงาน: 1. เพื่อทำความคุ้นเคยกับสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ - "โทโพโลยี" พร้อมแนวคิดและภารกิจพื้นฐานเพื่อดำเนินการวิจัยเพื่อวัตถุประสงค์ในทางปฏิบัติและค้นพบด้วยตัวคุณเอง 2. สร้างแนวคิดแรกของ Mobius Leaf ทำความคุ้นเคยกับเทคนิคพื้นฐานของวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับโลกรอบตัวคุณ 3. เรียนรู้ที่จะดำเนินการวิจัย อธิบายผลลัพธ์ กรอกตาราง และดำเนินการวาดภาพและแบบร่างของแบบจำลองที่ได้รับระหว่างการทดลอง 4. เรียนรู้ที่จะสรุปผลอย่างมีเหตุมีผล สร้างแนวคิดในการแก้ไขสถานการณ์ ใช้ความรู้ในการแก้ปัญหาและปัญหาใหม่ 5. ทำการทดลองภาคปฏิบัติ 6. สร้างการเชื่อมต่อของวัสดุที่พิจารณาด้วยชีวิต 4 ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ สิงหาคม Ferdinand Möbius (1790-1868) ข้างนอกฝนตก มีการรมควันกาแฟแก้วโปรดพร้อมนมเมา วิวจากหน้าต่างดูเศร้าสร้อย ชายคนหนึ่งนั่งอยู่บนเก้าอี้ ความคิดแตกต่างกัน แต่อย่างใดไม่มีอะไรพิเศษเข้ามาในหัว เฉพาะในอากาศเท่านั้นที่รู้สึกว่าวันนี้จะนำมาซึ่งความรุ่งโรจน์และทำให้ชื่อของออกุสต์เฟอร์ดินานด์โมเอบิอุสยาวนานขึ้น ภรรยาสุดที่รักของเขาปรากฏตัวที่ธรณีประตูห้อง จริงอยู่เธออารมณ์ไม่ดี คงจะถูกต้องกว่าที่จะบอกว่าเธอโกรธที่บ้านที่สงบสุขของ Mobius เกือบจะเหลือเชื่อพอๆ กับที่ได้เห็นขบวนพาเหรดดาวเคราะห์ปีละสามครั้ง และเธอเรียกร้องอย่างเด็ดขาดว่าสาวใช้ถูกไล่ออกทันทีซึ่งธรรมดามาก เธอไม่สามารถแม้แต่จะเย็บริบบิ้นได้อย่างถูกต้อง ศาสตราจารย์ขมวดคิ้วกับเทปที่โชคไม่ดี: "ใช่แล้ว มาร์ธา! เด็กผู้หญิงไม่ได้โง่ขนาดนั้น เพราะนี่คือพื้นผิววงกลมด้านเดียว ริบบิ้นไม่มีด้านในออก!" พื้นผิวที่เปิดโล่งได้รับรากฐานทางคณิตศาสตร์และได้รับการตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ที่อธิบายเรื่องนี้ โทโพโลยี - "เรขาคณิตของตำแหน่ง" จากช่วงเวลาที่นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ออกัส เฟอร์ดินานด์ โมบิอุส ค้นพบการมีอยู่ของกระดาษหน้าเดียวที่น่าทึ่งทั้งแผ่น สาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าโทโพโลยีเริ่มพัฒนา ส่วนใหญ่ศึกษาพื้นผิวของร่างกายและเธอพบความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ระหว่างวัตถุที่ดูเหมือนจะไม่เกี่ยวข้องกันตัวอย่างเช่นจากมุมมองของโทโพโลยี ถั่วมักกะโรนีและเหยือกมีความสัมพันธ์กันโดยข้อเท็จจริงที่ว่าวัตถุเหล่านี้แต่ละชิ้นมีรูแม้ว่าจะแตกต่างกันทั้งหมดก็ตาม5 แถบ Mobius วางรากฐานสำหรับวิทยาศาสตร์ใหม่ - โทโพโลยี คำนี้คิดค้นโดย Johann Benedict Listing ศาสตราจารย์แห่งมหาวิทยาลัย Göttingen ซึ่งเกือบจะในเวลาเดียวกันกับเพื่อนร่วมงานของเขาในไลพ์ซิกเสนอให้เป็นตัวอย่างแรกของพื้นผิวด้านเดียวที่เราคุ้นเคยเมื่อบิดเทป วิทยาศาสตร์นี้ยังเด็กและซุกซน มิฉะนั้น คุณไม่สามารถพูดเกี่ยวกับกฎของเกมที่ยอมรับได้ นักโทโพโลยีมีสิทธิ์ที่จะงอ บิด บีบและยืดรูปร่างใดๆ ก็ได้ - จะทำอะไรกับมัน อย่าให้ขาดหรือกาวเข้าด้วยกัน และในเวลาเดียวกันเขาจะพิจารณาว่าไม่มีอะไรเกิดขึ้นคุณสมบัติทั้งหมดยังคงไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับเขา ระยะทาง มุม หรือพื้นที่ไม่สำคัญ และเขาสนใจอะไร? คุณสมบัติทั่วไปที่สุดของตัวเลขซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเปลี่ยนแปลงใด ๆ เว้นแต่จะเกิดภัยพิบัติ - "การระเบิด" ของร่าง ดังนั้นบางครั้งโทโพโลยีจึงเรียกว่า "เรขาคณิตของความต่อเนื่อง" มันยังเป็นที่รู้จักกันในนาม "เรขาคณิตยาง" เพราะมันไม่เสียค่าใช้จ่ายสำหรับนักโทโพโลยีที่จะวางร่างทั้งหมดของเขาไว้บนพื้นผิวของลูกบอลทำให้พองของเด็กและเปลี่ยนรูปร่างไม่รู้จบ ตรวจสอบให้แน่ใจว่าลูกบอลไม่แตก ตัวอย่างเช่น ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะกลายเป็นเส้นโค้งสำหรับนักโทโพโลยีนั้นไม่แยแสอย่างยิ่งโทโพโลยีศึกษาคุณสมบัติที่ผิดปกติของตัวเลขใด ๆ จนถึงขณะนี้เราได้พูดถึงคุณสมบัติเดียวเท่านั้น - ด้านเดียว หากคุณเลื่อนไปตามพื้นผิว ของแถบ Mobius ในทิศทางเดียวโดยไม่ข้ามขอบเขต ดังนั้น ไม่เหมือนพื้นผิวสองด้าน (เช่น ทรงกลมและทรงกระบอก) คุณพบว่าตัวเองอยู่ในที่ที่กลับด้านเมื่อเทียบกับของเดิมหากคุณย้าย วงกลมตามเทปนี้ โดยหมุนตามเข็มนาฬิกาไปพร้อม ๆ กัน จากนั้นในตำแหน่งเริ่มต้นทิศทางของรอบจะกลายเป็นทวนเข็มนาฬิกา คุณสมบัติอื่น ๆ ที่การศึกษาโทโพโลยี ได้แก่ ความต่อเนื่อง การเชื่อมต่อ การวางแนว ตัวอย่างเช่น ความต่อเนื่องเป็นคุณสมบัติทอพอโลยีอื่น โอ. หากคุณเปรียบเทียบรูปแบบเส้นทางบินกับแผนที่ทางภูมิศาสตร์ 6 ตรวจสอบให้แน่ใจว่าขนาดของแอโรฟลอตนั้นไม่สอดคล้องกัน ตัวอย่างเช่น Sverdlovsk อาจอยู่ครึ่งทางจากมอสโกวถึงวลาดิวอสต็อก และเช่นเดียวกัน มีบางอย่างที่เหมือนกันระหว่างแผนที่ทางภูมิศาสตร์ มอสโกเชื่อมโยงกับ Sverdlovsk และ Sverdlovsk - กับ Vladivostok และด้วยเหตุนี้ นักโทโพโลยีสามารถทำให้แผนที่เสียโฉมได้ตามต้องการ ตราบใดที่จุดที่เคยเป็นเพื่อนบ้านอยู่นั้นยังคงจุดหนึ่งอยู่ถัดจากจุดอื่นๆ ต่อไป ดังนั้น จากมุมมองเชิงทอพอโลยี วงกลมจึงแยกไม่ออกจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือสามเหลี่ยม เนื่องจากง่ายต่อการแปลงเป็นอีกวงหนึ่งโดยไม่ทำลายความต่อเนื่อง จุดใดก็ได้บนแถบ Mobius สามารถเชื่อมต่อกับจุดอื่น ๆ ได้ ดังนั้นมดที่แกะสลักของ Escher จะไม่ต้องคลานผ่านขอบของ "ริบบิ้น" ไม่มีรอยขาด - มีความต่อเนื่องอย่างสมบูรณ์ ทดลองกับกระดาษ ในการทำแผ่น Mobius คุณต้องใช้แถบกระดาษที่ยาวพอและเชื่อมต่อปลายของแถบนั้นหลังจากพลิกด้านใดด้านหนึ่ง อยู่บนพื้นผิวของใบไม้ Mobius ใคร ๆ ก็เดินบนมันได้ตลอดไป ตอนนี้เราจะพิจารณาการทดลองหลายครั้งกับพื้นผิวและรูที่ได้จากแถบกระดาษ สะดวกที่สุดในการใช้แถบยาวประมาณ 30-40 ซม. และกว้าง 3 ซม. ก่อนอื่นเราติดกาวสองวง - วงหนึ่งเรียบง่ายและอีกวงหนึ่งบิด 7 แน่นอน วงแหวนมีความคล้ายคลึงกันมาก แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณลากเส้นต่อเนื่องไปตามด้านหนึ่งของวงแหวน เมื่อ Mobius ทำสิ่งนี้บนวงแหวนบิดเกลียว เขาพบว่าเส้นนั้นวิ่งทั้งสองข้าง แม้ว่าดินสอของเขาจะไม่หลุดออกจากกระดาษก็ตาม นี่หมายความว่าแหวนของเรามีด้านเดียวใช่หรือไม่? ลองแหวนของคุณตอนนี้ 1. ทาสีด้านเดียวเท่านั้นให้สมบูรณ์ มีกี่พื้นผิว? ลองทาสีด้านหนึ่งของแถบ Mobius ทีละชิ้น โดยไม่ให้เกินขอบริบบิ้น และอะไร? คุณจะทาสีให้ทั่วทั้งแผ่น Mobius! ทำไมแผ่นนี้ถึงน่าสนใจ? และความจริงที่ว่าใบ Mobius มีเพียงด้านเดียว เราเคยชินกับความจริงที่ว่าทุกพื้นผิวที่เราจัดการกับ (กระดาษแผ่น จักรยานหรือกล้องวอลเลย์บอล) มีสองด้าน 8 2. วางจุดบนด้านใดด้านหนึ่งของวงแหวนแต่ละวงแล้วลากเส้นต่อเนื่องไปตามแนวนั้นจนกว่าคุณจะกลับมายังจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ แถบ Mobius มีกี่ขอบ? แปลกใจที่สอง: ขอบของใบ Mobius เป็นหนึ่งเดียวและไม่ประกอบด้วยสองส่วนเหมือนวงแหวนปกติ มาทดสอบวงแหวนกันโดยผ่าครึ่งตามยาว ตอนนี้คุณมีวงแหวนสองวงแยกกัน แต่มันคืออะไร? แทนที่จะเป็นสองวง คุณจะได้หนึ่งวง! ยิ่งกว่านั้นแหวนจะใหญ่กว่าและบางกว่าแหวนเดิม บันทึกผลการบิดและการตัดเพิ่มเติมในตาราง บิดหลายครั้ง 9 จะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณเลี้ยวเต็ม? วงแหวนที่ได้มีกี่ขอบ? กี่พื้นผิว? แล้วจะเกิดอะไรขึ้นถ้าคุณผ่าครึ่งตามยาว? มาทำวิจัยด้วยการบิดครึ่งทางกัน สำหรับเทิร์นเต็มหนึ่งเทิร์นครึ่ง มาอธิบายคุณสมบัติและสเก็ตช์ผลลัพธ์กัน แถบ Mobius มีคุณสมบัติที่น่าสนใจ หากคุณพยายามตัดริบบิ้นครึ่งหนึ่งตามแนวเส้นที่เท่ากันจากขอบ แทนที่จะเป็นแถบ Mobius สองเส้น คุณจะได้ริบบิ้นยาวสองด้าน (บิดเป็นสองเท่าของแถบ Mobius) ซึ่งนักมายากลเรียกว่า "ริบบิ้นอัฟกัน" . ถ้าตอนนี้คุณตัดเทปนี้ตรงกลาง คุณจะได้สองพันรอบกัน วงดนตรีที่น่าสนใจอื่นๆ สามารถหาได้จากวงดนตรี Mobius ที่มีครึ่งรอบสองหรือมากกว่านั้น ตัวอย่างเช่น หากคุณตัดริบบิ้นสามรอบครึ่ง คุณจะได้ริบบิ้นม้วนเป็นปมพระฉายาลักษณ์ การตัดแถบ Mobius ที่มีการเลี้ยวเพิ่มเติมทำให้ได้ตัวเลขที่ไม่คาดคิดซึ่งเรียกว่าวงแหวนพาราโดรม มาบันทึกผลการบิดและตัดในตารางวิจัยกัน ตารางวิจัยที่ 1 ด้วยเทปเดียว จำนวน p / p จำนวนครึ่งรอบ 1 0 ผลการตัดหนึ่งวงในครึ่งทางยาว วงแหวนสองวง คุณสมบัติ 2 1 วงแหวนหนึ่งวง A วงแหวนหนึ่งวงที่ยาวเป็นสองเท่า 3 2 วงแหวนสองวง วงแหวนที่มีความยาวเท่ากันคือ เกี่ยวโยงกัน 4 3 วงแหวนเดียว วงแหวนหนึ่งวงแหวนยาวเป็นสองเท่าของปมยาว วงแหวนมีความยาวเท่ากันสองเท่า 10 สรุปโดยร่าง: จะเกิดอะไรขึ้นถ้าก่อนจะติดเทป ให้บิดเกลียวสองครั้ง (เช่น 4 รอบครึ่งที่ 360 องศา)? พื้นผิวดังกล่าวจะมีสองด้านอยู่แล้ว และหากต้องการทาสีให้ทั่วทั้งวงแหวน คุณจะต้องพลิกเทปไปอีกด้านอย่างแน่นอน คุณสมบัติของพื้นผิวนี้ก็น่าทึ่งไม่น้อย ท้ายที่สุดถ้าคุณตัดมันตรงกลางคุณจะได้วงแหวนสองวงที่เหมือนกัน แต่เชื่อมต่อกันอีกครั้ง เมื่อตัดแต่ละอันตรงกลางอีกครั้งคุณจะพบวงแหวนสี่วงที่เชื่อมต่อกันอยู่แล้ว ตอนนี้คุณสามารถฉีกวงแหวนได้ทีละวง - และทุกครั้งที่วงแหวนที่เหลือจะยังคงเชื่อมโยงกัน หากคุณไม่ใช้เทปกระดาษ แต่เป็นแถบผ้า ให้หมุนปลายด้านหนึ่งของแถบจนครบสามรอบ กล่าวคือ 540 องศา เย็บปลายทั้งสองเข้าด้วยกัน จากนั้นใช้กรรไกรและตัดแถบตรงกลางอย่างระมัดระวัง จากนั้นตัดอีกครั้ง คุณจะได้วงแหวนที่เหมือนกันสามวงเชื่อมต่อกัน ริบบิ้นหลายเส้น เราจะทึ่งในสิ่งที่เกิดขึ้นเมื่อคุณตัดแหวนคู่ เตรียมแหวนสองวง: แหวนธรรมดาหนึ่งวงและแหวนโมบิอุสหนึ่งวง กาวเข้าด้วยกันเป็นมุมฉาก แล้วตัดตามยาวทั้งสองข้าง ตารางการวิจัย № 2 № p / p จำนวนวงแหวน 1 วงแหวนสองวงตั้งฉากกัน ผลการตัดตามแต่ละแถบ สามวง คุณสมบัติ วงแหวนสองวงที่มีความยาวเท่ากัน วงที่สามยาวเป็นสองเท่า วงแหวนสองวงที่มีความยาวสั้นกว่าพันกันเป็นคู่กับวงแหวนที่สาม 11 ร่าง คำถามเพิ่มเติม การตัดหลายครั้ง หากคุณตัดเทปที่ระยะ 1/3 ของความกว้างจากขอบ คุณจะได้วงแหวนสองวง แต่! หนึ่งขนาดใหญ่และขนาดเล็กเชื่อมโยงกับมัน ตารางวิจัยที่ 3 ลำดับที่ จำนวนการตัด 1 สามส่วน ผลการตัดตามแต่ละเทป สองวง คุณสมบัติ วงแหวนหนึ่งวงที่มีความยาวเท่ากัน วงแหวนที่สองยาวกว่าสองเท่าจะเชื่อมโยงกัน 12 ภาพร่าง 2 สี่ส่วน สองวง วงแหวนทั้งสองวง ตราบใดที่ตัดเชื่อมโยงถึงเพื่อนกัน วงแหวนหนึ่งพันกันอีก 3 วง ห้าส่วน สามวง วงแหวนสองวงที่ยาวเป็นสองเท่านั้นพันกันและเชื่อมโยงกันเป็นคู่ด้วยวงแหวนสั้นที่สามของความยาวเดิม สรุป: หากคุณตัดวงแหวนขนาดเล็กตาม ตรงกลางแล้วคุณจะมีวงแหวนสองวงที่ "สลับซับซ้อน" มาก - ขนาดเท่ากัน แต่ความกว้างต่างกัน เคล็ดลับกับแถบ Mobius นักฟิสิกส์อ้างว่ากฎทางแสงทั้งหมดขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของแถบ Mobius โดยเฉพาะการสะท้อนแสงใน กระจกเป็นลักษณะการถ่ายโอนในเวลาสั้น ๆ นาน ๆ วินาทีเพราะเราเห็นข้างหน้าเรา ... ใช่กระจกของเราเป็นสองเท่าเนื่องจากคุณสมบัติที่ผิดปกติแถบ Mobius จึงแพร่หลายมาก นักมายากลใช้มาตลอด 75 ปีที่ผ่านมา หากคุณพยายามตัดริบบิ้นตามแนวเส้นที่เท่ากันจากขอบ แทนที่จะเป็นแถบ Mobius สองแถบ คุณจะได้ริบบิ้นสองด้านยาวหนึ่งเส้น "ริบบิ้นอัฟกานิสถาน" งานวิจัยที่เราทำกับวงแหวนริบบิ้นบิดเบี้ยวสามารถแสดงกลเม็ดต่างๆ ได้ นี่คือหนึ่งในนั้น: เรามอบวงแหวนกระดาษขนาดใหญ่สามอันให้ผู้ชมซึ่งแต่ละอันได้มาจากการติดกาวที่ปลายเทปกระดาษ (ตารางวิจัยที่ 1). ผู้ชมตัดวงแหวนตรงกลางเทปด้วยกรรไกรจนกว่าเขาจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น อันแรกจะได้แหวนโรงแรมสองวง จากวงที่สอง - หนึ่งวง แต่ยาวกว่าสองเท่าและจากวงที่สาม - วงแหวนสองวงเชื่อมโยงกัน 13 หากริบบิ้นบิดเกลียวสามครั้งผ่านวงแหวนเพื่อกาวที่ปลายแล้วตัดตรงกลางเราจะได้วงแหวนขนาดใหญ่หนึ่งวงที่มีปมผูกไว้รอบ ๆ วงแหวน ในทำนองเดียวกัน ตารางการวิจัยที่ 2 และ 3 สามารถใช้สำหรับการโฟกัสได้ การทดลองด้วยเชือกและเสื้อกั๊ก การโฟกัสด้วยแถบ Mobius เป็นส่วนหนึ่งของจุดโฟกัสเชิงทอพอโลยี ซึ่งจำเป็นต้องใช้วัสดุที่ยืดหยุ่นซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการแปลงแบบต่อเนื่อง: การยืดและการบีบอัด ในการทำการทดลอง คุณต้องมีผ้าพันคอ เสื้อกั๊ก เชือก อันดับแรก เรากำหนดสถานการณ์ที่เป็นปัญหาให้กับตนเอง ด้วยความช่วยเหลือของการทดลอง เรากำลังหาทางออกจากสถานการณ์นี้ การทดลองที่ 1 ปัญหาการผูกปม วิธีการผูกปมบนผ้าพันคอโดยไม่ปล่อยปลาย? สามารถทำได้เช่นนี้ วางผ้าพันคอไว้บนโต๊ะ ไขว้แขนไว้เหนือหน้าอก ยังคงถือไว้ในตำแหน่งนี้ต่อไป โน้มตัวไปที่โต๊ะแล้วดึงปลายผ้าพันคอข้างหนึ่งด้วยมือแต่ละข้าง หลังจากที่กางมือออก ปมจะก่อตัวขึ้นตรงกลางผ้าพันคอโดยอัตโนมัติ ด้วยการใช้คำศัพท์เฉพาะทางทอพอโลยีเราสามารถพูดได้ว่ามือ ลำตัว และผ้าพันคอของผู้ชมสร้างเส้นโค้งปิดในรูปแบบของปม "สามใบ" เมื่อดึงมือออกจากกัน ปมจะเคลื่อนจากมือไปยังผ้าพันคอเท่านั้น 2. กลับเสื้อด้านในออกโดยไม่ต้องถอดออกจากตัวบุคคล เพื่อสาธิตประสบการณ์นี้ จำเป็นต้องปลดกระดุมเสื้อแล้วดึงที่มือด้านหลังผู้สวมใส่ เสื้อกั๊กจะห้อยอยู่ในอากาศ แต่แน่นอน จะไม่จับมือ ตอนนี้ คุณต้องใช้เสื้อกั๊กครึ่งซ้ายและพยายามไม่ย่นเสื้อกั๊ก ดันเข้าไปในช่องแขนเสื้อด้านขวาให้มากที่สุด จากนั้น ใช้ช่องแขนเสื้อด้านขวาแล้วดันเข้าไปในช่องแขนเสื้อเดียวกันและ ไปในทิศทางเดียวกัน ยังคงกางเสื้อกั๊กและดึงไว้เหนือเจ้าของ เสื้อกั๊กจะถูกหันด้านในออก การทดลองเดียวกันสามารถทำได้โดยไม่ต้องปลดเสื้อกั๊ก ความไม่สะดวกเพียงอย่างเดียวคือเสื้อกั๊กกับ แคบเกินไปสำหรับการกำจัดเหนือศีรษะ ดังนั้นเสื้อกั๊กสามารถเปลี่ยนเป็นเสื้อกันหนาวได้ การจัดการเสื้อกันหนาวเหมือนกันทุกประการ การทดลองนี้สามารถสาธิตได้ด้วยตัวคุณเอง โดยคุณจะต้องต่อสาย 14 ด้วยเชือกคล้องมือ โดยเว้นระยะห่างไว้ 40 ซม. เพื่อให้เคลื่อนไหวได้อย่างคล่องตัว และประสานมือไว้ข้างหน้า การทดลองที่ 3 คลี่วงแหวนเชือกออก ผู้เข้าร่วมสองคนถูกมัดด้วยเชือกด้วยมือ ดังนั้นแขนและเชือกจึงประกอบเป็นวงแหวนสองวงที่เชื่อมต่อกัน จำเป็นโดยไม่ต้องคลายเชือกเพื่อคลี่คลาย คำตอบสำหรับประสบการณ์นี้อยู่ที่ผู้เข้าร่วมมีอีกสองลูปอยู่ในมือ จำเป็นต้องดึงเชือกเส้นหนึ่งผ่านห่วงที่มือของเชือกอีกเส้นหนึ่งแล้วดึงห่วงที่มือออก สาม. การใช้งานจริงของแถบ Mobius คุณสมบัติที่น่าทึ่งที่สุดคือเป็นแบบด้านเดียว ไม่สามารถทาสีด้วยสองสีได้ และแมลงที่คลานไปบนนั้นจะไปรอบ ๆ ทั้งสองด้านโดยไม่ข้ามขอบ คุณสมบัตินี้พบการใช้งานที่ใช้งานได้จริง: อุปกรณ์จำนวนมากได้รับการจดสิทธิบัตรแล้ว เช่น สายพานเหลา ริบบิ้นหมึกสำหรับอุปกรณ์การพิมพ์ สายพานไดรฟ์ และโซลูชันทางเทคนิคอื่นๆ คุณสมบัติของแผ่น Möbius ด้านเดียวถูกนำมาใช้ในเทคนิคนี้: ถ้าสายพานส่งผ่านในรูปแบบของแผ่น Möbius พื้นผิวของมันจะสึกหรอช้าเป็นสองเท่าของแหวนทั่วไป ทำให้ประหยัดได้จริง คุณสมบัติที่แถบ Mobius ครอบครอง สามารถใช้ในอุตสาหกรรมเสื้อผ้าด้วยการตัดผ้าแบบดั้งเดิม กลไกสปริงของของเล่นเด็กไขลานส่วนใหญ่มักจะล้มเหลวเพราะเด็กมักจะพยายามไขลานสปริงเมื่อบิดเป็นเกลียวอยู่แล้ว ขีด จำกัด สปริงบิดเป็นวงแหวนสามารถกลายเป็น "เครื่องเคลื่อนไหวถาวร" สำหรับของเล่นเด็กได้ อีกตัวอย่างหนึ่งของการใช้กลไกใหม่ที่เป็นไปได้คือ ชัตเตอร์กรีดของกล้องถ่ายภาพหรือฟิล์ม (ไม่ใช่ดิจิตอล) ในการออกแบบแบบดั้งเดิม หลังจากที่ลั่นชัตเตอร์แล้ว มีความจำเป็นต้องปิดกรีดม่านชัตเตอร์ จากนั้นคืนม่านไปยังตำแหน่งเดิมโดยการชาร์จสปริงพร้อมกันเท่านั้น มิฉะนั้น กรอบจะสว่างขึ้นเมื่อคุณผ่านกรีดชัตเตอร์ไปในทิศทางตรงกันข้าม อุปกรณ์ชัตเตอร์กลายเป็นเรื่องที่ซับซ้อนมาก การใช้แถบ Mobius ทำให้การออกแบบง่ายขึ้น เพิ่มความน่าเชื่อถือ ความทนทาน และความเร็ว ในเครื่องพิมพ์ดอทเมทริกซ์หลายรุ่น ริบบ้อนหมึกยังมีลักษณะของแถบ Mobius เพื่อเพิ่มทรัพยากร ต้องขอบคุณแถบ Mobius ทำให้เกิดสิ่งประดิษฐ์มากมาย ตัวอย่างเช่น มีการสร้างเทปพิเศษสำหรับเครื่องบันทึกเทปซึ่งทำให้สามารถฟังเทปจาก "สองด้าน" ได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนที่ ของเล่นชิ้นนี้ไม่เพียงแต่ชื่นชอบนักคณิตศาสตร์เท่านั้น ไม่ใช่เพื่ออะไรที่อาจตอนนี้อยู่ที่ทางเข้าพิพิธภัณฑ์ประวัติศาสตร์และเทคโนโลยีในวอชิงตันมีอนุสาวรีย์แถบ Mobius - ริบบิ้นเหล็กบิดครึ่งรอบหมุนช้าๆบนแท่น ประติมากรรมทั้งชุดในรูปแบบของแถบ Mobius ถูกสร้างขึ้นโดยประติมากร Max Bill Maurits Escher ทิ้งภาพวาดไว้มากมาย IV. บทสรุป แม้ว่า Mobius จะทำการค้นพบที่น่าอัศจรรย์ของเขามาช้านานแล้ว แต่ก็เป็นที่นิยมอย่างมากในปัจจุบัน แถบกระดาษธรรมดาๆ แต่บิดเพียงครั้งเดียวแล้วติดกาวเป็นวงแหวน กลายเป็นแถบ Mobius ลึกลับในทันที และได้รับคุณสมบัติที่น่าทึ่ง คุณสมบัติของพื้นผิวและช่องว่างดังกล่าวได้รับการศึกษาโดยสาขาพิเศษของคณิตศาสตร์ - โทโพโลยี วิทยาศาสตร์นี้ซับซ้อนมากจนไม่ผ่านที่โรงเรียน เฉพาะในสถาบัน แต่ใครจะรู้ เมื่อเวลาผ่านไป เราจะกลายเป็นนักโทโพโลยีที่มีชื่อเสียงและค้นพบสิ่งมหัศจรรย์ต่างๆ และบางทีพื้นผิวที่สลับซับซ้อนอาจถูกเรียกชื่อของเรา เมื่อทำงานร่วมกับเพื่อนๆ ในกลุ่มของฉันในโครงการ "ความลับของใบไม้ Möbius" ฉันได้เรียนรู้สิ่งใหม่และน่าสนใจมากมาย: ฉันเรียนรู้ที่จะหาวรรณกรรมในหัวข้อที่ครูแนะนำในห้องสมุด อ่านและเลือกสิ่งที่จำเป็น วัสดุ; ใช้บทความบนอินเทอร์เน็ต เลือกภาพประกอบที่จำเป็นสำหรับบทคัดย่อ สร้างตารางและกรอกข้อมูล ดำเนินการวิจัยเกี่ยวกับ "แถบ Mobius" (ทำจำนวนรอบกาวและการตัดที่ต้องการ) ควรถ่ายภาพวงแหวนที่ได้และใส่ลงในตาราง ทำการนำเสนอและทดลองวิดีโอ พูดในที่ประชุมและแสดงมายากล ทั้งหมดนี้ค่อนข้างซับซ้อนและใช้เวลานาน แต่น่าสนใจมาก 16 “โทโพโลยี ซึ่งเป็นสาขาทางเรขาคณิตที่อายุน้อยที่สุดและทรงพลังที่สุด แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงอิทธิพลที่เกิดของความขัดแย้งระหว่างสัญชาตญาณและตรรกะ” R. Courant 17 วรรณกรรม 1. Gardner M "สิ่งมหัศจรรย์ทางคณิตศาสตร์และความลึกลับ", มอสโก, "วิทยาศาสตร์" 2529 2. Gromov A.S. "งานนอกหลักสูตรในวิชาคณิตศาสตร์เกรด 8-9" มอสโก, การตรัสรู้ 3. N. Langdon, Ch. Snape "กับคณิตศาสตร์ระหว่างทาง" มอสโก, การสอน, 1987 4. นิตยสารวิทยาศาสตร์ยอดนิยม "Quant" 1975 №7, 1977 №7 ... 5. ศวิน เอ.พี. "พจนานุกรมสารานุกรมของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์", M, Enlightenment, 1985 6. Yakusheva G. M "สารานุกรมที่ยิ่งใหญ่ของเด็กนักเรียน คณิตศาสตร์ ”, มอสโก,“ SLOVO ”, Eksmo, 2549 7. wwwRambler.ru 18 ภาคผนวก งานห้องปฏิบัติการ“ Mobius strip” ในห้องเรียนของวงกลมคณิตศาสตร์ 19 ลองทาสีด้านหนึ่งของแถบ Mobius ทีละชิ้นโดยไม่ต้องไป เหนือขอบของเทป และอะไร? คุณจะทาสีให้ทั่วทั้งแผ่น Mobius! 20 วางจุดบนด้านใดด้านหนึ่งของวงแหวนแต่ละวงแล้วลากเส้นต่อเนื่องไปตามนั้นจนกระทั่งคุณกลับมายังจุดที่ทำเครื่องหมายไว้ 21 ทดสอบวงแหวนโดยการตัดออกเป็นสองวงตามความยาว 22 ตอนนี้คุณมีวงแหวนสองวงแยกกัน แต่มันคืออะไร? แทนที่จะเป็นสองวง คุณจะได้หนึ่งวง! ยิ่งกว่านั้นแหวนจะใหญ่กว่าและบางกว่าแหวนเดิม 23 ให้บันทึกผลการบิดและตัดในตารางการวิจัย 24 วงแหวนทั้งสองข้างยาวเป็นสองเท่าของวงแหวนที่แยกจากกัน และเชื่อมโยงถึงกัน แหวนวงหนึ่งพันกันอีกวง 25 แหวนวงหนึ่งที่มีความยาวเท่ากัน วงแหวนที่สองยาวเป็นสองเท่าจะประสานเข้าด้วยกัน 26 การตัดแถบ Mobius ที่มีการเลี้ยวเพิ่มเติมทำให้ได้ตัวเลขที่ไม่คาดคิดซึ่งเรียกว่าวงแหวนพาราโดรม 27

หนึ่งในวัตถุที่ซับซ้อนและแปลกประหลาดที่สุดในเวลาเดียวกันคือแถบ Mobius แม้จะมีความคิดริเริ่มทั้งหมดของรูปนี้ แต่คุณสามารถสร้างมันเองและดำเนินการทดลองทั้งหมดที่อธิบายไว้ในบทความนี้ได้อย่างง่ายดาย

แถบ Mobius เป็นพื้นผิวที่ไม่ปรับทิศทางได้ที่ง่ายที่สุดซึ่งเป็นด้านเดียวในพื้นที่สามมิติ มักเรียกอีกอย่างว่าพื้นผิวโมบิอุสและเรียกว่าวัตถุต่อเนื่อง (ทอพอโลยี)

ตามตำนานเล่าขาน นักดาราศาสตร์ นักคณิตศาสตร์ และช่างเครื่องชาวเยอรมัน ออกัส เฟอร์ดินานด์ โมบิอุส ค้นพบวัตถุชิ้นนี้หลังจากที่สาวใช้ที่ทำงานในบ้านของเขาเย็บริบบิ้นผ้าเป็นแหวน โดยบังเอิญพลิกปลายด้านหนึ่งไป เมื่อเห็นผล แทนที่จะดุเด็กสาวที่โชคร้าย Mobius กล่าวว่า: “ใช่แล้ว มาร์ธา! หญิงสาวไม่ได้โง่ขนาดนั้น ท้ายที่สุดนี่คือพื้นผิววงแหวนด้านเดียว ริบบิ้นไม่มีด้านผิด!”

สิงหาคม เฟอร์ดินานด์ โมบิอุส

หลังจากศึกษาคุณสมบัติของเทปแล้ว Möbius ได้เขียนบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้และส่งไปที่ Paris Academy of Sciences แต่ไม่ได้รอการเผยแพร่ วัสดุของเขาถูกตีพิมพ์หลังจากการตายของนักคณิตศาสตร์ และพื้นผิวทอพอโลยีที่ผิดปกติได้รับการตั้งชื่อตามเขา

การทำแถบ Mobius นั้นง่ายมาก: นำแถบ ABCD แล้วพับเพื่อให้จุด A และ D เชื่อมต่อกับ B และ C

การทำแถบ Mobius ผลที่ได้คือรูปร่างที่ดูธรรมดาในแวบแรกซึ่งมีคุณสมบัติที่น่าสนใจมาก

คุณสมบัติที่ผิดปกติของแถบ Mobius

ความข้างเดียว
เราทุกคนเคยชินกับความจริงที่ว่าพื้นผิวของวัตถุทั้งหมดที่เราพบในโลกแห่งความเป็นจริง (เช่น แผ่นกระดาษ) มีสองด้าน แต่พื้นผิวของแถบ Mobius เป็นด้านเดียว สามารถตรวจสอบได้โดยง่ายด้วยการทาสีทับเทป หากคุณใช้ดินสอแล้วเริ่มวาดจากที่ใดก็ได้โดยไม่ต้องพลิกเทป เทปก็จะถูกทาสีทับจนหมด

หากมีคนพยายามทาสีพื้นผิวของแถบ Mobius เพียงด้านเดียว ให้จุ่มลงในถังสีทันทีดีกว่า พื้นผิวของแถบ Mobius จะต่อเนื่อง

ตรวจสอบได้ง่ายๆ ดังนี้: หากคุณวางจุดใดจุดหนึ่งบนเทป ก็สามารถเชื่อมต่อกับจุดอื่นบนพื้นผิวของเทปได้โดยไม่ต้องข้ามขอบ ดังนั้นปรากฎว่าพื้นผิวของวัตถุนี้มีความต่อเนื่อง

แถบ Mobius ไม่มีการปฐมนิเทศ
หากคุณสามารถผ่านแถบ Mobius ได้ทั้งหมด ทันทีที่คุณกลับไปยังจุดเริ่มต้นของการเดินทาง คุณจะกลายเป็นภาพสะท้อนในกระจกของตัวคุณเอง

หากเทปถูกตัดตรงกลาง ในกรณีนี้จะได้เทปเพียงอันเดียว แม้ว่าตรรกะจะบอกว่าควรมีสองเทป และถ้าคุณตัด ให้ถอยกลับจากขอบโดยหนึ่งในสามของความกว้างของเทป จากนั้นคุณจะได้วงแหวนสองวงเชื่อมโยงกัน - เล็กและใหญ่ ... หลังจากทำการตัดตามยาวของวงแหวนขนาดเล็กที่อยู่ตรงกลาง เป็นผลให้เราได้วงแหวนสองวงที่มีขนาดเท่ากัน แต่มีความกว้างต่างกัน

การใช้งานแถบ Mobius ในทางปฏิบัติ
มีสิ่งประดิษฐ์ค่อนข้างน้อยตามคุณสมบัติของวัตถุทอพอโลยีที่ผิดปกตินี้ ตัวอย่างเช่น ผ้าหมึกในเครื่องพิมพ์ดอทเมทริกซ์ม้วนเป็นแถบ Mobius มีอายุการใช้งานยาวนานกว่ามาก เนื่องจากในกรณีนี้การสึกหรอจะเท่ากันทั่วทั้งพื้นผิว และใบมีดของเครื่องผสมอาหารในครัวหรือเครื่องผสมคอนกรีตที่บิดเป็นรูปทรงของวัตถุเรขาคณิตนี้ช่วยลดการใช้พลังงานลง 20% และในขณะเดียวกันคุณภาพของส่วนผสมที่ได้ก็ดีขึ้น

มีสมมติฐานว่าพอลิเมอร์ DNA ซึ่งเป็นเกลียวคู่นั้นเป็นส่วนหนึ่งของแถบ Mobius และด้วยเหตุนี้รหัส DNA จึงยากที่จะถอดรหัสและทำความเข้าใจ

นักฟิสิกส์บางคนกล่าวว่าเอฟเฟกต์แสงขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเดียวกันกับวัตถุที่ขัดแย้งกันนี้ ดังนั้นการสะท้อนในกระจกจึงเป็นกรณีพิเศษ ซึ่งเป็นหนึ่งในคุณสมบัติของแถบ Mobius

อีกสมมติฐานหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับวัตถุทางคณิตศาสตร์นี้คือบางทีจักรวาลของเราอาจถูกปิดด้วยเทปดังกล่าวและมีสำเนากระจกของตัวเอง เพราะถ้าตลอดเวลาเราเคลื่อนที่ไปในทิศทางเดียวตามแถบ Mobius ในที่สุด เราจะพบว่าตัวเองอยู่ที่จุดเริ่มต้นของการเดินทาง แต่อยู่ในภาพสะท้อนในกระจกของเราแล้ว

ขวดไคลน์ลึกลับ
บนพื้นฐานของแถบ Mobius มีรูปทรงที่น่าทึ่งอีกอันหนึ่ง - ขวดไคลน์ เป็นขวดที่มีรูที่ก้นขวด คอขวดถูกยืดและงอโดยผ่านเข้าไปในผนังด้านหนึ่งของขวด

ขวดไคลน์

ตัวเลขดังกล่าวไม่สามารถทำซ้ำได้ในพื้นที่สามมิติธรรมดาเพราะคอไม่ควรสัมผัสกับผนังขวดและเชื่อมต่อกับรูที่ก้นขวด ดังนั้นจึงได้พื้นผิวที่มีด้านเดียว ขวดของ Klein และแถบ Mobius ยังคงดึงดูดความสนใจของนักวิทยาศาสตร์และนักเขียน

A. Deutsch ได้เขียนเรื่องหนึ่งในเรื่องราวของเขาว่าวันหนึ่งในรถไฟใต้ดินนิวยอร์กที่รางรถไฟข้าม และรถไฟใต้ดินทั้งหมดเริ่มดูเหมือนแถบ Mobius และรถไฟฟ้าที่วิ่งตามรางก็เริ่มหายไป ปรากฏขึ้นอีกเพียงไม่กี่เดือน ภายหลัง.

ใน The Giveaway Game โดย Alexander Mitch ตัวละครจะถูกขังอยู่ในพื้นที่ที่คล้ายกับขวดของไคลน์

โลกยังคงเป็นปริศนาที่ยิ่งใหญ่สำหรับเรา และใครจะรู้ว่าสิ่งที่นักวิทยาศาสตร์ด้านอวกาศจะค้นพบในอนาคตอันใกล้นี้