मोबियस पट्टी आणि त्याचे आश्चर्य. विज्ञान खेळणी

एक पृष्ठभाग आणि त्यावर बसलेली एक मुंगी कल्पना करा. मुंगी पृष्ठभागाच्या उलट बाजूने - लाक्षणिकपणे, त्याच्या खालच्या बाजूला - काठावर न चढता रेंगाळू शकेल का? नक्कीच नाही!

ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस (१७९०-१८६८)

एकतर्फी पृष्ठभागाचे पहिले उदाहरण, ज्याच्या कोणत्याही ठिकाणी मुंगी काठावर न चढता क्रॉल करू शकते, मोबियसने १८५८ मध्ये दिले होते.

मोबियस पट्टी, ज्याला लूप, पृष्ठभाग किंवा शीट देखील म्हटले जाते, ही टोपोलॉजीसारख्या गणिती विषयातील अभ्यासाची एक वस्तू आहे, जी आकृत्यांच्या सामान्य गुणधर्मांचा अभ्यास करते जे वळणे, स्ट्रेचिंग, कम्प्रेशन, वाकणे, यांसारख्या सतत बदलांमध्ये जतन केले जातात. आणि इतर अखंडतेच्या उल्लंघनाशी संबंधित नाहीत ... अशा टेपचे एक आश्चर्यकारक आणि अद्वितीय वैशिष्ट्य म्हणजे त्याची फक्त एक बाजू आणि धार आहे आणि त्याचा अंतराळातील स्थानाशी काहीही संबंध नाही. मोबियस पट्टी ही टोपोलॉजिकल आहे, म्हणजे, सामान्य युक्लिडियन जागेत (3-आयामी) सीमा असलेली सर्वात सोपी एकतर्फी पृष्ठभाग असलेली एक सतत वस्तू, जिथे ती काठ ओलांडल्याशिवाय, अशा पृष्ठभागाच्या एका बिंदूपासून शक्य आहे. इतर कोणत्याही वर मिळवा.

ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस (1790-1868) - गणितज्ञ गॉसच्या "राजा" चे शिष्य. मोबियस मूलतः गॉस आणि इतर अनेकांसारखे खगोलशास्त्रज्ञ होते, ज्यांच्याकडे गणिताचा विकास झाला. त्या दिवसात, गणिताचा अभ्यास समर्थनास भेटला नाही, आणि खगोलशास्त्राने त्यांच्याबद्दल विचार न करण्यासाठी पुरेसे पैसे दिले आणि त्यांच्या स्वतःच्या प्रतिबिंबांसाठी वेळ सोडला. आणि मोबियस हा 19व्या शतकातील सर्वात मोठा भूमापक बनला.

वयाच्या 68 व्या वर्षी, मोबियस आश्चर्यकारक सौंदर्याचा शोध लावू शकला. हा एकतर्फी पृष्ठभागांचा शोध आहे, ज्यापैकी एक मोबियस पट्टी (किंवा टेप) आहे. मोबियस रिबन घेऊन आला जेव्हा त्याने मोलकरीण तिच्या गळ्यात चुकीचा रुमाल घातलेली पाहिली.
युक्लिडियन स्पेसमध्ये, खरं तर, मोबियस पट्टीचे दोन प्रकार आहेत, जे अर्ध्या वळणावर उलगडले जातात: एक घड्याळाच्या दिशेने उलगडलेला असतो, दुसरा घड्याळाच्या उलट दिशेने असतो.

मोबियस स्ट्रिपमध्ये खालील गुणधर्म आहेत जे संकुचित केल्यावर, बाजूने कापले किंवा क्रिझ केल्यावर बदलत नाहीत:

1. एका बाजूची उपस्थिती. A. मोबियसने त्याच्या "ऑन द व्हॉल्यूम ऑफ पॉलिहेड्रा" मध्ये त्याच्या नावावर असलेल्या भौमितिक पृष्ठभागाचे वर्णन केले आहे, ज्याची फक्त एक बाजू आहे. हे तपासणे अगदी सोपे आहे: आम्ही एक टेप किंवा मोबियस पट्टी घेतो आणि आतील बाजू एका रंगाने रंगवण्याचा प्रयत्न करतो आणि बाहेरील बाजू दुसऱ्या रंगाने. पेंटिंग कोठे आणि कोणत्या दिशेने सुरू झाले हे महत्त्वाचे नाही, संपूर्ण आकार समान रंगाने रंगविला जाईल.
2. या भौमितिक आकृतीचा कोणताही बिंदू मोबियस पृष्ठभागाच्या सीमा ओलांडल्याशिवाय त्याच्या इतर कोणत्याही बिंदूशी जोडला जाऊ शकतो या वस्तुस्थितीत सातत्य व्यक्त केले जाते.
3. कनेक्टिव्हिटी, किंवा द्वि-आयामी, म्हणजे टेपला लांबीच्या दिशेने कापताना, त्यातून अनेक भिन्न आकार बाहेर येणार नाहीत आणि ते अविभाज्य राहतील.

4. त्यात अभिमुखता सारख्या महत्त्वाच्या गुणधर्माचा अभाव आहे. याचा अर्थ असा की या आकृतीच्या बाजूने चालणारी व्यक्ती त्याच्या मार्गाच्या सुरूवातीस परत येईल, परंतु केवळ स्वतःच्या आरशात. अशाप्रकारे, अंतहीन मोबियस पट्टी अनंतकाळच्या प्रवासाकडे नेऊ शकते.
5. मोबियस पृष्ठभागावरील प्रदेशांची जास्तीत जास्त संभाव्य संख्या दर्शविणारी एक विशेष रंगीत संख्या, आपण तयार करू शकता जेणेकरून त्यापैकी कोणत्याहीची इतर सर्वांसह समान सीमा असेल. मोबियस पट्टीमध्ये रंगीत संख्या - 6 आहे, परंतु कागदाची अंगठी - 5 आहे.

आज, मोबियस पट्टी आणि त्याचे गुणधर्म विज्ञानात मोठ्या प्रमाणावर वापरले जातात, नवीन गृहीतके आणि सिद्धांत तयार करण्यासाठी, संशोधन आणि प्रयोग आयोजित करण्यासाठी, नवीन यंत्रणा आणि उपकरणे तयार करण्यासाठी आधार म्हणून काम करतात. तर, एक गृहितक आहे ज्यानुसार विश्व एक प्रचंड मोबियस लूप आहे. आईन्स्टाईनचा सापेक्षता सिद्धांत देखील अप्रत्यक्षपणे याची साक्ष देतो, त्यानुसार सरळ उडणारे जहाज देखील ज्या वेळेपासून ते सुरू झाले होते त्याच वेळी आणि अवकाश बिंदूवर परत येऊ शकते.

दुसरा सिद्धांत डीएनएला मोबियस पृष्ठभागाचा भाग म्हणून पाहतो, जे अनुवांशिक कोड वाचण्यात आणि उलगडण्यात अडचण स्पष्ट करते. इतर गोष्टींबरोबरच, अशी रचना जैविक मृत्यूचे तार्किक स्पष्टीकरण प्रदान करते - स्वतःवर एक सर्पिल बंद केल्याने ऑब्जेक्टचा आत्म-नाश होतो. भौतिकशास्त्रज्ञांच्या मते, अनेक ऑप्टिकल कायदे मोबियस पट्टीच्या गुणधर्मांवर आधारित आहेत. म्हणून, उदाहरणार्थ, मिरर प्रतिमा ही एक विशेष वेळ हस्तांतरण आहे आणि एखादी व्यक्ती त्याच्या समोर दुहेरी मिरर पाहते.

आपल्याला मोबियस पट्टीमध्ये स्वारस्य असल्यास, एक लहान सूचना आपल्याला त्याचे मॉडेल कसे बनवायचे ते सांगेल:
1. तिच्या मॉडेलच्या निर्मितीसाठी आपल्याला आवश्यक असेल: - साध्या कागदाची शीट;
- कात्री;
- शासक.
2. कागदाच्या शीटमधून एक पट्टी कापून टाका जेणेकरून त्याची रुंदी त्याच्या लांबीपेक्षा 5-6 पट कमी असेल.
3. परिणामी कागदाची पट्टी सपाट पृष्ठभागावर घातली जाते. आम्ही आमच्या हाताने एक टोक धरतो आणि दुसरे 180 * वळवतो जेणेकरून पट्टी फिरते आणि चुकीची बाजू समोरची बाजू बनते.
4. आकृतीमध्ये दाखवल्याप्रमाणे वळणाच्या पट्टीच्या टोकांना चिकटवा.

मोबियस पट्टी तयार आहे.
5. पेन किंवा मार्कर घ्या आणि टेपच्या मध्यभागी एक ट्रॅक काढणे सुरू करा. जर तुम्ही सर्वकाही योग्यरित्या केले असेल, तर तुम्ही त्याच बिंदूवर परत याल जिथून तुम्ही रेषा काढण्यास सुरुवात केली होती.

मोबियस पट्टी ही एकतर्फी वस्तू आहे याची व्हिज्युअल पुष्टी मिळविण्यासाठी, पेन्सिल किंवा पेनने तिची एक बाजू पेंट करण्याचा प्रयत्न करा. थोड्या वेळाने, तुम्हाला दिसेल की तुम्ही त्यावर पूर्णपणे पेंट केले आहे.

मोबियस शीटने शिल्पकला आणि ग्राफिक कलेसाठी प्रेरणा म्हणून काम केले आहे. एशर हा अशा कलाकारांपैकी एक होता ज्यांनी त्याच्यावर विशेष प्रेम केले आणि त्याचे अनेक लिथोग्राफ या गणितीय वस्तूला समर्पित केले. एक प्रसिद्ध - "मोबियस लीफ II", मोबियस पट्टीच्या पृष्ठभागावर मुंग्या रेंगाळत असल्याचे दर्शविते.

मोबियस पान हे "लायब्ररी" क्वांट" मालिकेच्या लोकप्रिय विज्ञान पुस्तकांच्या मालिकेचे प्रतीक आहे. आर्थर क्लार्कच्या "द वॉल ऑफ डार्कनेस" या लघुकथेसारख्या विज्ञानकथेतही ते नियमितपणे दिसते. काहीवेळा विज्ञान कल्पित कथा (सैद्धांतिक भौतिकशास्त्रज्ञांचे अनुसरण) सूचित करतात की आपले विश्व काही प्रकारचे सामान्यीकृत मोबियस पट्टी असू शकते. तसेच, मोबियस रिंगचा उल्लेख उरल लेखक व्लादिस्लाव क्रापिविनच्या कार्यात सतत केला जातो, सायकल "इन द डेप्थ्स ऑफ द ग्रेट क्रिस्टल" (उदाहरणार्थ, "अँकर पोलवर चौकी. कथा"). लेखक ए.जे. ड्यूशच्या "मोबियस लीफ" या कथेत, बोस्टन सबवे एक नवीन लाइन तयार करतो, ज्याचा मार्ग इतका गोंधळात टाकतो की तो मोबियस पट्टीमध्ये बदलतो, त्यानंतर त्या मार्गावर ट्रेन गायब होऊ लागतात. कथेवर आधारित, गुस्तावो मॉस्क्वेरा दिग्दर्शित "मोबियस" या विलक्षण चित्रपटाचे चित्रीकरण करण्यात आले. तसेच, मोबियस पट्टीची कल्पना एम. क्लिफ्टनच्या "ऑन द मोबियस पट्टी" या कथेत वापरली आहे.

ब्रायन लुम्ली यांच्या "द नेक्रोस्कोप" या कादंबरीचा नायक हॅरी कीफे यांनी मोबियस पट्टीचा वापर अवकाश आणि वेळेत जाण्याचा मार्ग म्हणून केला आहे.

आर. झेलाझनी यांच्या "डोअर्स इन द सॅन्ड" या काल्पनिक कादंबरीत मोबियस पट्टी महत्त्वाची भूमिका बजावते.

E. Naumov "हाफ-लाइफ" (1989) च्या पुस्तकात, एक मद्यपी बुद्धीवादी Möbius पट्टीवर येऊन देशभर प्रवास करतो.

आधुनिक रशियन लेखक अलेक्सी शेपलेव्ह यांच्या "इको" कादंबरीच्या अभ्यासक्रमाची तुलना मोबियस पट्टीशी केली जाते. भाष्यापासून ते पुस्तकापर्यंत: "" इको" हे मोबियस रिंगचे साहित्यिक साधर्म्य आहे: दोन कथानक - "मुले" आणि" मुली "- एकमेकांत गुंफतात, एकमेकांमध्ये वाहतात, परंतु छेदत नाहीत."

2010 मध्ये प्रकाशित झालेल्या "रेडिओ मुराकामी" या संग्रहातील हारुकी मुराकामीच्या "पॉसेस ओब्लाडा" या निबंधात देखील मोबियस पट्टी आढळते, जिथे मोबियस पट्टीची लाक्षणिकरित्या अनंताशी तुलना केली जाते.

CHARON व्हिज्युअल कादंबरी "माकोटो मोबियस" मध्ये, नायक वाटारो एका वर्गमित्राला जादुई कलाकृती - मोबियस स्ट्रिप वापरून मृत्यूपासून वाचवण्याचा प्रयत्न करतो.

1987 मध्ये, सोव्हिएत जाझ पियानोवादक लिओनिद चिझिक यांनी "मोबियस टेप" हा अल्बम रेकॉर्ड केला, ज्यामध्ये त्याच नावाची रचना समाविष्ट होती.

"फुटुरामा" या अॅनिमेटेड मालिकेच्या एका भागातील (सीझन 7, भाग 14, 11 मिनिटे) रेसिंग ट्रॅक ही मोबियस पट्टी आहे.

मोबियस पट्टीचे तांत्रिक अनुप्रयोग आहेत. मोबियस बेल्ट कन्व्हेयर बेल्ट जास्त काळ टिकेल कारण संपूर्ण बेल्ट पृष्ठभाग समान रीतीने परिधान करतो. सतत टेप रेकॉर्डिंग सिस्टम देखील मोबियस टेप वापरतात (रेकॉर्डिंग वेळ दुप्पट करण्यासाठी). अनेक डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमध्ये, शाईची रिबन मोबियस पट्टीच्या रूपात देखील त्याचे संसाधन वाढवते.

तसेच इन्स्टिट्यूट ऑफ CEMI RAS च्या प्रवेशद्वाराच्या वरती E. A. Zharenova आणि V. K. Vasiltsov (1976) या कलाकारांच्या सहकार्याने आर्किटेक्ट लिओनिड पावलोव्ह यांनी मोज़ेक उच्च रिलीफ "मोबियस स्ट्रिप" आहे.

मोबियस स्ट्रिप कल्पना वापरून आर्किटेक्चरल उपाय:

मोबियस पट्टीचे दागिने:

मोबियस पट्टीचे तांत्रिक अनुप्रयोग आहेत. कन्व्हेयर बेल्टचा बेल्ट मोबियस बेल्टच्या स्वरूपात बनविला जातो, जो त्यास जास्त काळ काम करण्यास अनुमती देतो, कारण बेल्टची संपूर्ण पृष्ठभाग समान रीतीने झिजते. सतत टेप रेकॉर्डिंग सिस्टम देखील मोबियस टेप वापरतात (रेकॉर्डिंग वेळ दुप्पट करण्यासाठी). अनेक डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमध्ये, शाईच्या रिबनला त्याचा स्त्रोत वाढवण्यासाठी मोबियस पट्टीचा देखावा देखील असतो.

मोबियस रेझिस्टर नावाचे उपकरण हे अलीकडेच शोधलेले इलेक्ट्रॉनिक घटक आहे ज्याचे स्वतःचे कोणतेही इंडक्टन्स नाही. मोबियस टेप्सचा वापर सतत टेप रेकॉर्डिंग सिस्टममध्ये (रेकॉर्डिंग वेळ दुप्पट करण्यासाठी) केला जातो, डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमध्ये, शाईची रिबन देखील शेल्फ लाइफ वाढवण्यासाठी मोबियस शीटसारखी दिसते.

मोबियस पट्टी (मोबियस पट्टी) - केवळ एक बाजू आणि एक सीमा असलेली त्रिमितीय पृष्ठभाग, ज्यामध्ये पूर्वाभिमुखता नसण्याची गणितीय गुणधर्म आहे. 1858 मध्ये ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस आणि जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग या दोन जर्मन गणितज्ञांनी एकाच वेळी स्वतंत्रपणे शोधले होते.

मोबियस स्ट्रिप मॉडेल कागदाच्या पट्टीतून पट्टीचे एक टोक अर्ध्यामध्ये वळवून आणि दुसर्‍या टोकाला जोडून बंद आकार तयार करून सहजपणे तयार केले जाऊ शकते. जर तुम्ही टेपच्या पृष्ठभागावर पेन्सिलने एक रेषा काढण्यास सुरुवात केली, तर रेखा आकारात खोलवर जाईल आणि रेषेच्या सुरुवातीच्या बिंदूखाली जाईल, जसे की टेपच्या "दुसर्‍या बाजूला" जात आहे. आपण ओळ सुरू ठेवल्यास, ती प्रारंभ बिंदूकडे परत येईल. या प्रकरणात, काढलेल्या रेषेची लांबी कागदाच्या पट्टीच्या लांबीच्या दुप्पट असेल. हे उदाहरण दर्शविते की मोबियस पट्टीला फक्त एक बाजू आणि एक सीमा आहे.

युक्लिडियन स्पेसमध्ये, खरं तर, मोबियस पट्टीचे दोन प्रकार आहेत, जे अर्ध्या वळणावर उलगडले जातात: एक घड्याळाच्या दिशेने उलगडलेला असतो, दुसरा घड्याळाच्या उलट दिशेने असतो.

भूमिती आणि गणित

मोबियस पट्टी समीकरणांच्या पॅरामेट्रिक प्रणालीद्वारे दर्शविली जाऊ शकते:

कुठे आणि. ही समीकरणे विमानात पडलेल्या 1 रुंदीच्या मोबियस पट्टीचे वर्णन करतात x-y;वर्तुळाची आतील त्रिज्या 1 आहे, आतील वर्तुळाचे केंद्र उगमस्थानी आहे (0,0,0). पॅरामीटर uटेप आणि पॅरामीटरच्या बाजूने फिरते वि- एका सीमेवरून दुसऱ्या सीमेवर.

वैकल्पिकरित्या, टेपला ध्रुवीय निर्देशांकातील अभिव्यक्तीद्वारे दर्शविले जाऊ शकते:

टोपोलॉजिकलदृष्ट्या, मोबियस पट्टीची व्याख्या एक चौरस x म्हणून केली जाऊ शकते, ज्याचा वरचा भाग तळाशी या प्रमाणात जोडलेला असतो ( x,0) ~ (1-x, 1) 0 ≤ साठी xउजवीकडे आकृतीत दाखवल्याप्रमाणे ≤ 1.

वस्तू बंद करा

मोबियस पट्टीशी जवळून संबंधित एक रहस्यमय वस्तू आहे - क्लेन बाटली. दोन मोबियस पट्ट्यांना त्यांच्या सीमेवर एकत्र चिकटवून क्लेन बाटली तयार केली जाऊ शकते. आकारात छेदनबिंदू तयार केल्याशिवाय हे ऑपरेशन 3D जागेत केले जाऊ शकत नाही.

मूलभूत अशक्य आकृत्यांपैकी एक अशक्य त्रिकोणजर त्याच्या काही कडा गुळगुळीत केल्या असतील तर मोबियस पट्टी म्हणून दर्शविले जाऊ शकते. हे तीन वळणांचे वर्णन करणारी Möbius पट्टी तयार करेल.

कला

पॉवर आर्किटेक्चर लोगो

तसेच, मोबियस पट्टी अनेकदा विविध लोगो आणि ब्रँडच्या प्रतिमांमध्ये वापरली जाते. सर्वात उल्लेखनीय उदाहरण म्हणजे पुनर्वापराचे आंतरराष्ट्रीय चिन्ह.

अर्ज. मोबियस रिबनसह चित्रे

पॉल बायलाझिकच्या खालील चित्राला लेखक म्हणतात त्याप्रमाणे, हे चित्र त्याच्या जीवनातील विविध पैलूंचे संयोजन आहे. सेल्टिक नॉट्स त्याच्या कामात त्याला घेरतात, एम.के. Eschers नेहमी प्रेरणा स्रोत आहेत, आणि Moebius पट्टी कलाकाराने अभ्यास केलेल्या विषयाशी संबंधित आहे.

मोबियस पट्टी ही एक साधी पण आश्चर्यकारक गोष्ट आहे. हे काही सेकंदात केले जाऊ शकते आणि या घटनेत बरेच आश्चर्य, नमुने आणि गुणधर्म आहेत. सराव मध्ये ते अधिक स्पष्ट करण्यासाठी, कागदाची एक सामान्य पट्टी, गोंद घ्या, त्याचे टोक जोडा. पण हे अत्यावश्यक आहे की अर्ध्या वळणाने एक टोक दुसऱ्याच्या तुलनेत उलटे वळले पाहिजे. तर प्रसिद्ध मोबियस पट्टी तयार आहे.

परिणामी रहस्यमय पृष्ठभागाबद्दल आपण अविरतपणे बोलू शकता. स्वतःला विचारा की कागदाच्या अंगठीला किती पृष्ठभाग आहेत. दोन? पण नाही - एक. हे तपासणे खूप सोपे आहे. फील्ट-टिप पेन किंवा पेन्सिल घ्या आणि टेपच्या एका बाजूला न तुटता किंवा दुसऱ्या बाजूला न जाता पेंट करण्याचा प्रयत्न करा. घडले? पेंट न केलेली बाजू कुठे आहे? बस एवढेच ...

टेपचे नाव त्याच्या शोधकाने दिले होते: ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस, लीपझिग विद्यापीठातील प्राध्यापक. त्यांनी त्यांचे दीर्घ आणि फलदायी आयुष्य वैज्ञानिक कार्यासाठी समर्पित केले (आणि हे 78 वर्षे आहे), आणि त्यांनी त्यांच्या जाण्यापर्यंत मनाची स्पष्टता कायम ठेवली. त्याच्या 75 वर्षांमध्ये, प्राध्यापकाने स्पष्टपणे दोन-स्तर असलेल्या एकतर्फी पृष्ठभागाच्या अद्वितीय गुणधर्मांचे वर्णन केले. तेव्हापासून, भूमिती, भौतिकशास्त्र आणि अगदी अध्यात्माच्या उत्कृष्ट विचारांनी या वस्तूचा दूरवर शोध घेतला आहे.

मोबियस पट्टी उचलून तुम्ही स्वतंत्रपणे अनेक प्रयोग करू शकता. संपूर्ण पृष्ठभागाच्या बाजूने प्राथमिक मध्यरेषा रेखाटून ते कापण्याचा प्रयत्न करा. तुम्हाला काय वाटते? दोन लहान रिंग? पुन्हा चुकीचे - एक! मागीलपेक्षा दुप्पट लांब, परंतु आधीच दोनदा वळवले. येथे त्याच्याकडे फक्त दोन पृष्ठभाग असतील, आणि एक नाही, पहिल्या प्रकरणात. या कर्लला अफगाण रिबन म्हणतात, आणि हे संशोधकांना देखील व्यापकपणे ज्ञात आहे. तसे, अध्यात्मामध्ये या प्रभावाला द्वैताचे प्रतीक म्हटले जाते आणि त्याचा एक भ्रामक समज म्हणून अर्थ लावला जातो.

आणि जर तुम्ही पुन्हा रेखांशाची रेषा काढली, परंतु मध्यभागी नाही, परंतु टेपच्या रुंदीच्या एक तृतीयांश काठाच्या जवळ? परिणामी रिंग कट करा आणि तुमच्या हातात त्यापैकी दोन आधीच असतील: मोबियस रिबन आणि अफगाण रिबन आणि अगम्य मार्गाने ते एकमेकांशी जोडले जातील.

परंतु हे सर्व आश्चर्यचकित नाहीत. टेपला रिंगमध्ये चिकटवताना, एक नव्हे तर दोन कागदाच्या पट्ट्या घेण्याचा प्रयत्न करा. आणि मग तीन किंवा अगदी चार. मी हमी देतो: परिणाम तुम्हाला आणखी आश्चर्यचकित करेल!

एक मनोरंजक प्रयोग देखील काल्पनिकपणे पुढे ठेवता येईल. दुहेरी मोबियस पट्टी (म्हणजे, दोन पट्ट्यांमधून चिकटलेली) घेऊन आणि त्यांच्यामध्ये एक बोट चिकटवून (पेन्सिल, लाकडी काठी - काहीही असो), आपण ते रिबन दरम्यान सतत चालवू शकतो, ज्यामुळे हे सिद्ध होते की आकृतीमध्ये दोन स्वतंत्र भाग आहेत. . आता कल्पना करा की या फितींमध्ये एक माशी रेंगाळत आहे. त्यासाठी खालची पट्टी "मजला" असेल, वरची पट्टी असेल - "सीलिंग", आणि असेच जाहिरात अनंत.

परंतु प्रत्यक्षात, सर्वकाही दिसते तितके सोपे नाही. शेवटी, जर तुम्ही माशीच्या प्रवासाच्या सुरुवातीची खूण "मजल्यावर" ठेवली, तर कीटक जेव्हा वर्तुळ बनवतो तेव्हा ही खूण आधीच "छतावर" असेल. आणि मजल्यावर परत जाण्यासाठी, आपल्याला आणखी एक वर्तुळ बनवावे लागेल.

कल्पना करा की एखादी माशी रस्त्यावर रेंगाळत आहे. त्याच्या उजवीकडे सम संख्या असलेली घरे आहेत आणि डावीकडे, अनुक्रमे, विषम संख्यांखाली. फेरफटका मारताना, कधीतरी आमच्या प्रवाशाला हे पाहून आश्चर्य वाटेल की विषम संख्या आधीच उजवीकडे आहेत आणि सम संख्या डावीकडे आहेत! उजव्या हाताच्या रहदारीसह आपल्या वास्तविक रस्त्यावर अशा परिस्थितीची कल्पना करणे भितीदायक आहे, कारण लवकरच आपल्याला "डोक्यावरून" चालणाऱ्या इतर लोकांचा सामना करावा लागेल. हे असे आहे - मोबियस पट्टी ...

या आणि इतर नमुन्यांचा वापर केवळ काल्पनिकच नाही तर वास्तविक जीवनात देखील आढळला. उदाहरणार्थ, प्रिंटिंग डिव्हाइसेसमधील बेल्ट, स्वयंचलित ट्रांसमिशन, तीक्ष्ण करण्याच्या यंत्रणेमध्ये एक अपघर्षक रिंग आणि बरेच काही, ज्याचा आपल्याला संशय देखील नाही, टेपच्या आधारे तयार केले जातात. खरोखर, मोबियस पट्टी हे एक कोडे आहे ज्याचा अनिश्चित काळासाठी अभ्यास केला जाऊ शकतो!

नगरपालिका शैक्षणिक संस्था "बुडागोव्स्काया माध्यमिक शाळा" विषय: द्वारे पूर्ण: शालिगिन इव्हान 5 व्या वर्गाचे विद्यार्थी: कलश जी.व्ही. गणिताचे शिक्षक बुडागोवो 2012 1 EPIGRAPH: त्रिमितीय जागेत आपण राहतो, चालतो, खेळतो आणि शाळेत जातो त्यामुळे त्याच्याबद्दल अधिक जाणून घेण्यास त्रास होणार नाही. सुरुवातीपासूनच अवकाशाबद्दल सर्व काही एक्सप्लोर करा. आपल्या सभोवतालची प्रत्येक गोष्ट परिचित आणि गोंडस आहे. सेवकाने आम्हाला विज्ञानाचा मार्ग खुला केला. रिबन त्रुटीसह शिवलेला होता, आणि त्यास उत्तरोत्तर अर्थ सापडला. म्हणून मोबियसला विज्ञानासाठी एक पत्रक सापडले, गणितातील एक विभाग घेतला. तेव्हापासून शरीराच्या पृष्ठभागाचा अभ्यास करणाऱ्या शाखेला सर्वांनी टोपोलॉजी म्हटले आहे. टेपवरील माशी मार्ग कसा बंद करू शकत नाही? अरेरे, तिच्यासाठी एक अंतहीन मार्ग आहे. 2 सामग्री I. मोबियस लीफ 1. सामग्री ……………………………………………………………………………………………………… ..3 2 .परिचय …………………………………………………………………………………………… .4 3.ऐतिहासिक पार्श्वभूमी …… ……………………………………………………………………… ..5 4. टोपोलॉजी - "स्थितीची भूमिती" ... ..... … ……………………………………………………….५ II. कागदासह संशोधन प्रयोग: 1. मोबियस शीटची पृष्ठभाग रंगविणे ……………………………… 7 2. मोबियस शीट कापणे: ……………………………………… ……………………….8 अ) शीटच्या बाजूने दोन समान भाग ……………………………………… .. ……….9 ब) टेप फिरवताना ……… ……………………………… 10 क) काटकोनात चिकटलेल्या अनेक टेप ………………………… 11 ड) शीटवर 3 ने अनेक कट; 4; 5; भाग. …………………… .12 3. प्रयोगांच्या परिणामांवर आधारित, तक्ते भरा….……………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… 12 5. मोबियस पट्टीसह युक्त्या ……………………………………………………… …… ..13 6. दोरी आणि बनियान सह प्रयोग. ……………………………………… 14 III. मोबियस पट्टीचा व्यावहारिक उपयोग ……………………………………….१५ IV निष्कर्ष ……………………………………………………………… …………………………… .16 V. वापरलेल्या साहित्याची यादी ……………………………………………… ..17 VI. परिशिष्ट ……………………………………………………………………………………………….१८ मध्ये मोबियस पट्टी संशोधन गणित मंडळाचा व्यावहारिक धडा इयत्ता 5 (इव्हान शालिगिन यांनी घेतलेली छायाचित्रे आणि व्हिडिओ फुटेज) ……………………………………………………………………………………………… ……… 17 3 परिचय प्रकल्पाची सामान्य वैशिष्ट्ये: 1. प्रकल्प "अंतराळातील भूमिती" दीर्घकालीन (दुसऱ्या आणि तिसऱ्या तिमाहीसाठी डिझाइन केलेले) 2. प्रकल्प संज्ञानात्मक, संशोधन आहे. (संशोधन आणि प्रयोग, पद्धतशीरीकरण आणि व्यावहारिक अनुप्रयोग). 3. गट प्रकल्प (इयत्ता 5 च्या विद्यार्थ्यांसह मंडळाच्या बैठकीमध्ये कार्य करा) 4. विस्तारित प्रकल्प. ("गणिताच्या पाठ्यपुस्तकाच्या पृष्ठांच्या मागे" या प्रादेशिक परिषदेत गोषवारा आणि सादरीकरणाच्या स्वरूपात प्रकल्पाच्या विभागाच्या नंतरच्या संरक्षणासह शाळेमध्ये आयोजित) 5. या विषयावरील प्रकल्पाच्या विभागाच्या निकालांच्या आधारे: "मोबियस शीटचे रहस्य", IV गटाचे प्रमुख इव्हान शालिगिन यांनी एक निबंध तयार केला आणि बोलला. कामाचा उद्देश: 1. गणिताच्या नवीन शाखेशी परिचित होण्यासाठी - "टोपोलॉजी", त्याच्या मूलभूत संकल्पना आणि कार्यांसह, व्यावहारिक हेतूंसाठी संशोधन करणे आणि स्वतःसाठी शोध लावणे. 2. मोबियस लीफची पहिली कल्पना तयार करा. तुमच्या सभोवतालच्या जगाकडे जाणाऱ्या गणितीय दृष्टिकोनाच्या मूलभूत तंत्रांशी परिचित व्हा. 3. संशोधन करणे, परिणामांचे वर्णन करणे, तक्ते भरणे आणि प्रयोगादरम्यान मिळालेल्या मॉडेल्सची परिणामी रेखाचित्रे आणि रेखाचित्रे काढणे शिका. 4. तर्कसंगत निष्कर्ष काढण्यास शिका, परिस्थितींचे निराकरण करण्यासाठी कल्पना निर्माण करा, नवीन समस्या आणि समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी ज्ञान लागू करा. 5. व्यावहारिक प्रयोग करा. 6. जीवनाशी विचारात घेतलेल्या सामग्रीचे कनेक्शन स्थापित करा. 4 ऐतिहासिक पार्श्वभूमी ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस (1790-1868) बाहेर पाऊस पडत होता. एक पाईप धुम्रपान केले होते, दुधासह तुमच्या आवडत्या कॉफीचा एक कप प्याला होता. खिडकीतून दिसणारे दृश्य उदास होते. एक माणूस खुर्चीत बसला होता. विचार वेगळे होते, पण कसं तरी विशेष काही मनात येत नव्हतं. फक्त हवेत अशी भावना होती की हा विशिष्ट दिवस गौरव आणेल आणि ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियसचे नाव कायम ठेवेल. खोलीच्या उंबरठ्यावर त्याची प्रिय पत्नी दिसली. खरे आहे, तिचा मूड चांगला नव्हता. मोबियसच्या शांततापूर्ण घरासाठी वर्षातून तीन वेळा ग्रहांची परेड पाहण्याइतकीच अविश्वसनीय गोष्ट होती म्हणून तिला राग आला असे म्हणणे अधिक योग्य ठरेल आणि तिने स्पष्टपणे त्या नोकराला ताबडतोब काढून टाकण्याची मागणी केली, जो इतका मध्यम होता. तिला रिबनही नीट शिवता येत नव्हते. दुर्दैवी टेपकडे भुसभुशीत करत, प्राध्यापक उद्गारले: "अरे हो, मार्था! मुलगी इतकी मूर्ख नाही. शेवटी, हा एकतर्फी गोलाकार पृष्ठभाग आहे. रिबनला आत बाहेर नाही!" खुल्या पृष्ठभागाला गणितीय पाया प्राप्त झाला आणि त्याचे वर्णन केलेल्या गणितज्ञ आणि खगोलशास्त्रज्ञांच्या नावावरून त्याचे नाव देण्यात आले. टोपोलॉजी - "स्थितीची भूमिती" जर्मन गणितज्ञ ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस यांनी कागदाच्या आश्चर्यकारक एकतर्फी शीटचे अस्तित्व शोधून काढले त्या क्षणापासून. टोपोलॉजी नावाची गणिताची नवीन शाखा विकसित होऊ लागली. मुख्यत्वे शरीराच्या पृष्ठभागाचा अभ्यास करते आणि तिला अशा वस्तूंमधील एक गणितीय संबंध सापडतो ज्यांचा एकमेकांशी संबंध नाही. उदाहरणार्थ, टोपोलॉजीच्या दृष्टिकोनातून, ए. मॅकरोनी नट आणि घोकंपट्टी या वस्तुस्थितीशी संबंधित आहेत की या प्रत्येक वस्तूला छिद्र आहे, जरी इतर सर्व बाबतीत ते भिन्न आहेत. 5 मोबियस पट्टीने नवीन विज्ञान - टोपोलॉजीचा पाया घातला. या शब्दाचा शोध जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग यांनी लावला. , गॉटिंगेन विद्यापीठातील प्राध्यापक, ज्याने जवळजवळ त्याच वेळी त्याच्या लाइपझिग सहकाऱ्याच्या रूपात, एकतर्फी पृष्ठभागाचे पहिले उदाहरण म्हणून प्रस्तावित केले, जे आम्हाला परिचित होते, एकदा वळवलेले, टेप. हे विज्ञान तरुण आहे आणि म्हणून खोडकर आहे. अन्यथा, आपण त्यामध्ये स्वीकारल्या गेलेल्या खेळाच्या नियमांबद्दल सांगू शकत नाही. टोपोलॉजिस्टला कोणतीही आकृती वाकणे, पिळणे, पिळणे आणि ताणणे - त्याच्याशी काहीही करण्याचा अधिकार आहे, फक्त तो फाडणे किंवा चिकटविणे नाही. आणि त्याच वेळी, तो विचार करेल की काहीही झाले नाही, त्याचे सर्व गुणधर्म अपरिवर्तित राहिले. त्याच्यासाठी, अंतर, कोन किंवा क्षेत्र महत्त्वाचे नाही. आणि त्याला काय स्वारस्य आहे? आकृत्यांचे सर्वात सामान्य गुणधर्म, जे कोणत्याही परिवर्तनांतर्गत बदलत नाहीत, जोपर्यंत आपत्ती येत नाही - आकृतीचा "विस्फोट". हे "रबर भूमिती" या नावाने देखील ओळखले जाते, कारण टोपोलॉजिस्टला त्याच्या सर्व आकृत्या मुलांच्या फुगवल्या जाणाऱ्या बॉलच्या पृष्ठभागावर ठेवण्यासाठी आणि त्याचा आकार अविरतपणे बदलण्यासाठी, बॉल फुटणार नाही याची खात्री करून घेण्यासाठी काहीही लागत नाही. , उदाहरणार्थ. , त्रिकोणाच्या बाजू वक्रांमध्ये बदलतील, टोपोलॉजिस्टसाठी ते खूप उदासीन आहे. आकृत्यांच्या कोणत्या असामान्य गुणधर्मांचा टोपोलॉजी अभ्यास करते? आत्तापर्यंत, आम्ही फक्त एकाच गुणधर्माबद्दल बोललो आहोत - एकतर्फीपणा. जर तुम्ही पृष्ठभागाच्या बाजूने फिरलात तर मोबियस पट्टी एका दिशेने, त्याच्या सीमा ओलांडल्याशिवाय, नंतर, दुहेरी बाजूंच्या पृष्ठभागाच्या विपरीत (उदाहरणार्थ, एक गोल आणि एक सिलेंडर), तुम्ही स्वतःला मूळच्या संदर्भात उलटे असलेल्या ठिकाणी शोधता. तुम्ही वर्तुळ हलवल्यास या टेपच्या बाजूने, एकाच वेळी त्याच्याभोवती घड्याळाच्या दिशेने फिरणे, नंतर सुरुवातीच्या स्थितीत गोलाची दिशा घड्याळाच्या उलट दिशेने होईल. टोपोलॉजीचा अभ्यास करणारे इतर गुणधर्म म्हणजे सातत्य, कनेक्टिव्हिटी, अभिमुखता. उदाहरणार्थ, सातत्य हा आणखी एक टोपोलॉजिकल गुणधर्म आहे. ओ. जर आपण हवाई मार्गांची योजना आणि भौगोलिक नकाशाची तुलना केली तर 6 एरोफ्लॉटचे स्केल सुसंगत नसल्याची खात्री करा - उदाहरणार्थ, स्वेरडलोव्हस्क मॉस्कोपासून व्लादिवोस्तोकपर्यंतच्या अर्ध्या मार्गावर असू शकते. आणि सर्व समान, भौगोलिक नकाशामध्ये काहीतरी साम्य आहे. मॉस्को खरोखर Sverdlovsk सह कनेक्ट केलेले आहे, आणि Sverdlovsk - व्लादिवोस्तोक सह. आणि, म्हणून, टोपोलॉजिस्ट त्याच्या इच्छेनुसार नकाशा विकृत करू शकतो, जोपर्यंत पूर्वी शेजारी असलेले बिंदू एकमेकांच्या पुढे आणि पुढे राहतात. आणि, म्हणून, टोपोलॉजिकल दृष्टिकोनातून, वर्तुळ हे चौरस किंवा त्रिकोणापासून वेगळे करता येत नाही, कारण सातत्य न मोडता त्यांचे एकमेकांमध्ये रूपांतर करणे सोपे आहे. मोबियस पट्टीवरील कोणताही बिंदू इतर कोणत्याही बिंदूशी जोडला जाऊ शकतो आणि अशा प्रकारे एशरच्या खोदकामावरील मुंगीला "रिबन" च्या काठावर कधीही रेंगाळावे लागणार नाही. तेथे कोणतेही खंड नाहीत - संपूर्ण सातत्य आहे. कागदासह प्रयोग. मोबियस शीट बनवण्यासाठी, तुम्हाला पुरेशी लांबलचक कागदाची पट्टी घ्यावी लागेल आणि पट्टीचे टोक जोडावे लागतील, त्यापैकी एक उलटल्यानंतर. मोबियस पानाच्या पृष्ठभागावर असल्याने, त्यावर कायमचे चालू शकते. आम्ही आता कागदाच्या पट्टीतून मिळवलेल्या पृष्ठभाग आणि छिद्रांवरील अनेक प्रयोगांचा विचार करू. अंदाजे 30-40 सेमी लांब आणि 3 सेमी रुंद पट्ट्या वापरणे सर्वात सोयीचे आहे. सर्व प्रथम, आम्ही दोन रिंग गोंद करतो - एक साधी आणि एक वळलेली. 7 रिंग, अर्थातच, खूप समान आहेत; पण जर तुम्ही रिंगच्या एका बाजूला सतत रेषा काढली तर काय होईल? जेव्हा मोबियसने वळणावळणाच्या अंगठीवर हे केले तेव्हा त्याला असे आढळले की रेषा दोन्ही बाजूंनी चालली आहे, जरी त्याची पेन्सिल कागदावर उतरली नाही. याचा अर्थ आपल्या अंगठीला फक्त एक बाजू आहे का? आता तुमच्या अंगठ्या वापरून पहा. 1. प्रत्येकाची फक्त एक बाजू पूर्णपणे रंगवा. त्यांच्याकडे किती पृष्ठभाग आहेत? रिबनच्या काठावर न जाता, मोबियस पट्टीची एक बाजू पेंट करण्याचा प्रयत्न करा. आणि काय? तुम्ही संपूर्ण मोबियस शीटवर पेंट कराल! हे पत्रक इतके मनोरंजक का आहे? आणि खरं आहे की मोबियसच्या पानाची फक्त एक बाजू आहे. आम्हाला या वस्तुस्थितीची सवय आहे की आम्ही ज्या पृष्ठभागावर व्यवहार करतो (कागदाची शीट, सायकल किंवा व्हॉलीबॉल कॅमेरा) दोन बाजू असतात. 8 2. प्रत्येक रिंगच्या एका बाजूला एक बिंदू ठेवा आणि आपण चिन्हांकित बिंदूवर परत येईपर्यंत त्याच्या बाजूने एक सतत रेषा काढा. मोबियस पट्टीला किती कडा असतात? आश्चर्य क्रमांक दोन: मोबियस पानाची सीमा एक आहे आणि त्यात नियमित रिंगप्रमाणे दोन भाग नसतात. अर्ध्या लांबीच्या दिशेने रिंग कापून त्यांची चाचणी करूया. आता तुमच्याकडे दोन वेगळ्या रिंग आहेत. पण ते काय आहे? दोन अंगठ्यांऐवजी, तुम्हाला एक मिळेल! शिवाय, ते मूळ रिंगपेक्षा मोठे आणि पातळ आहे. टेबलमध्ये पुढील ट्विस्ट आणि कटचे परिणाम रेकॉर्ड करा. अनेक ट्विस्ट. 9 तुम्ही पूर्ण वळण घेतल्यास काय होईल? परिणामी रिंगला किती कडा असतात? किती पृष्ठभाग? आणि जर तुम्ही ते अर्ध्या लांबीच्या दिशेने कापले तर काय होईल? अर्ध्या-वळणाच्या वळणाने थोडे संशोधन करूया. पूर्ण वळणासाठी, दीड वळण. चला गुणधर्मांचे वर्णन करू आणि परिणामी परिणामांचे स्केचेस बनवू. मोबियस पट्टीमध्ये मनोरंजक गुणधर्म आहेत. दोन मोबियस पट्ट्यांऐवजी, किनार्यापासून समान अंतरावर असलेल्या एका रेषेने रिबन अर्धा कापण्याचा प्रयत्न केल्यास, तुम्हाला एक लांब दुहेरी (मोबियस पट्टीपेक्षा दुप्पट वळवलेला) रिबन मिळेल, ज्याला जादूगार "अफगाण रिबन" म्हणतात. . जर तुम्ही आता ही टेप मध्यभागी कापली तर तुम्हाला दोन एकमेकांभोवती गुंडाळले जातील. इतर मनोरंजक बँड संयोजन मोबियस बँडमधून दोन किंवा अधिक अर्ध-वळणांसह मिळवता येतात. उदाहरणार्थ, जर तुम्ही तीन अर्ध्या वळणांसह एक रिबन कापला तर तुम्हाला एक रिबन ट्रेफॉइल गाठीमध्ये कर्ल मिळेल. अतिरिक्त वळणांसह मोबियस पट्टीचा कट अनपेक्षित आकृत्या देतो ज्याला पॅराड्रोमिक रिंग म्हणतात. चला संशोधन तक्त्यामध्ये वळण आणि कटिंगचे परिणाम रेकॉर्ड करूया. संशोधन तक्ता क्र. 1 एका टेपसह p/p अर्ध्या वळणांची संख्या 1 0 अर्ध्या लांबीच्या दिशेने एक कट केल्याचा परिणाम दोन रिंग गुणधर्म 2 1 एक रिंग एक रिंग दुप्पट लांब 3 2 समान लांबीच्या दोन रिंग रिंग आहेत एकमेकांशी जोडलेली 4 3 एक रिंग एक रिंग लांब गाठीच्या दुप्पट जोडलेली आहे रिंग आधीपासून दुप्पट समान लांबीच्या आहेत 10 स्केच निष्कर्ष: टेपला चिकटवण्यापूर्वी, ते दोनदा फिरवल्यास काय होईल (म्हणजे 360 वर 4 अर्ध-वळण डिग्री)? अशी पृष्ठभाग आधीच दोन-बाजूची असेल. आणि संपूर्ण अंगठी रंगविण्यासाठी, आपल्याला निश्चितपणे टेप दुसर्‍या बाजूला वळवावा लागेल. या पृष्ठभागाचे गुणधर्म कमी आश्चर्यकारक नाहीत. तथापि, जर तुम्ही ते मध्यभागी कापले तर तुम्हाला दोन समान रिंग मिळतील, परंतु पुन्हा एकमेकांशी जोडल्या जातील. त्या प्रत्येकाला आणखी एकदा मध्यभागी कापणे, तुम्हाला आधीच चार रिंग एकमेकांशी जोडलेल्या आढळतील. तुम्ही आता एक-एक करून रिंग फाडू शकता - आणि प्रत्येक वेळी उर्वरित एकमेकांशी जोडले जातील. जर तुम्ही कागदाची टेप न घेता, परंतु कोणत्याही फॅब्रिकची पट्टी घेतली असेल तर, पट्टीच्या एका टोकाला तीन पूर्ण वळण लावा, म्हणजे. 540 अंश, दोन्ही टोके एकत्र शिवणे. मग कात्री घ्या आणि काळजीपूर्वक मध्यभागी पट्टी कापून टाका, नंतर पुन्हा कापून घ्या, तुम्हाला तीन समान रिंग एकमेकांना जोडल्या जातील. मल्टिपल रिबन्स जेव्हा तुम्ही दुहेरी रिंग कापता तेव्हा काय होते ते पाहून आम्ही आश्चर्यचकित होऊ. दोन रिंग तयार करा: एक नियमित आणि एक मोबियस रिंग. त्यांना काटकोनात एकत्र चिकटवा आणि नंतर दोन्ही लांबी कापून घ्या. संशोधन सारणी № 2 № p / p रिंगांची संख्या 1 दोन रिंग एकमेकांना लंब स्थित आहेत. प्रत्येक पट्टीसह कटिंग परिणाम तीन रिंग गुणधर्म समान लांबीच्या दोन रिंग, तिसरा दुप्पट लांब आहे. कमी लांबीच्या दोन रिंग तिसऱ्या रिंगसह एका जोडीमध्ये गुंफल्या जातात 11 स्केच अतिरिक्त प्रश्न अनेक कट जर तुम्ही टेप काठापासून त्याच्या रुंदीच्या 1/3 अंतरावर कापला तर तुम्हाला दोन रिंग मिळतील. परंतु! एक मोठा आणि लहान त्याच्याशी जोडलेला आहे. संशोधन तक्ता क्र. 3 क्रमांक. कटांची संख्या 1 तीन भाग प्रत्येक टेपच्या बाजूने कापल्याचा परिणाम दोन रिंग गुणधर्म एक समान लांबीची रिंग, दुसरी दुप्पट लांब एकमेकांशी जोडलेली आहे 12 रेखाटन 2 चार भाग दोन रिंग दोन्ही रिंग आहेत कट म्हणून दुप्पट लांब, एकमेकांना मित्र लिंक. पैकी एक रिंग इतर 3 पाच भागांना गुंफली आहे तीन रिंग दोन रिंग दुप्पट लांब एकमेकांशी गुंफलेली आहेत आणि मूळ लांबीच्या तिसऱ्या लहान रिंगने जोडलेल्या जोडलेल्या आहेत निष्कर्ष: जर तुम्ही एक लहान रिंग देखील कापली असेल तर मध्यभागी, नंतर तुमच्याकडे एक अतिशय "क्चकट" विणलेल्या दोन रिंग असतील - समान आकार, परंतु रुंदीमध्ये भिन्न मोबियस पट्टीसह युक्त्या भौतिकशास्त्रज्ञांचा असा दावा आहे की सर्व ऑप्टिकल कायदे मोबियस पट्टीच्या गुणधर्मांवर आधारित आहेत, विशेषतः, प्रतिबिंब आरसा हे वेळेत, अल्पकालीन, सेकंदाच्या शंभरावा भाग टिकणारे एक प्रकारचे हस्तांतरण आहे, कारण आपण आपल्या समोर पाहतो... बरोबर आहे, आपला आरसा दुप्पट! त्याच्या असामान्य गुणधर्मांमुळे, मोबियस पट्टीचा मोठ्या प्रमाणावर वापर केला जातो. मागील 75 वर्षे जादूगारांनी. जर तुम्ही काठापासून समान अंतरावर असलेल्या एका रेषेने रिबन कापण्याचा प्रयत्न केला तर, दोन मोबियस पट्ट्यांऐवजी तुम्हाला एक लांब दुहेरी बाजू असलेला (मोबियस पट्टीच्या दुप्पट मोठा) रिबन मिळेल ज्याला जादूगार म्हणतात " अफगाण रिबन". आम्ही ट्विस्टेड रिबन रिंग्ससह केलेले संशोधन अनेक युक्त्या दाखवू शकतात. त्यापैकी एक येथे आहे: आम्ही दर्शकांना तीन मोठ्या कागदाच्या रिंग देतो, त्यातील प्रत्येक कागदाच्या टेपच्या टोकाला चिकटवून मिळवला होता. (संशोधन तक्ता 1). दर्शक सुरुवातीच्या बिंदूकडे परत येईपर्यंत टेपच्या मध्यभागी रिंग कात्रीने कापतो. परिणामी, पहिल्याला दोन हॉटेल रिंग मिळतील. दुसऱ्यापासून - एक रिंग, परंतु दुप्पट लांब, आणि तिसऱ्यापासून - दोन रिंग एकमेकांशी जोडलेले आहेत. 13 जर तीनदा फिरवलेली रिबन रिंगमधून टोकांना चिकटवण्यासाठी गेली आणि नंतर ती मधोमध कापली, तर आपल्याला एक मोठी रिंग मिळेल ज्यामध्ये एक गाठ बांधलेली असेल. त्याचप्रमाणे, संशोधन तक्ते 2 आणि 3 फोकससाठी वापरले जाऊ शकतात. दोरी आणि बनियान सह प्रयोग. मोबियस स्ट्रीपसह फोकस हे टोपोलॉजिकल फोसीचा भाग आहेत, ज्यासाठी लवचिक सामग्री आवश्यक आहे जी सतत परिवर्तनांदरम्यान बदलत नाही: स्ट्रेचिंग आणि कॉम्प्रेशन. प्रयोग करण्यासाठी, आपल्याला स्कार्फ, बनियान, दोरीची आवश्यकता आहे. प्रथम, आम्ही स्वतःला एक समस्याग्रस्त परिस्थिती सेट करतो. प्रयोगांच्या मदतीने आम्ही या परिस्थितीतून बाहेर पडण्याचा मार्ग शोधत आहोत. प्रयोग 1. गाठ बांधण्याची समस्या. टोके न सोडता स्कार्फवर गाठ कशी बांधायची? हे असे करता येते. स्कार्फ टेबलवर ठेवा. आपल्या छातीवर आपले हात पार करा. त्यांना या स्थितीत धरून ठेवणे, टेबलावर वाकून प्रत्येक हाताने स्कार्फचे एक टोक घ्या. हात पसरल्यानंतर, स्कार्फच्या मध्यभागी आपोआप एक गाठ तयार होईल. टोपोलॉजिकल शब्दावली वापरून, आपण असे म्हणू शकतो की दर्शकाचे हात, शरीर आणि स्कार्फ "तीन-पानांच्या" गाठीच्या रूपात एक बंद वक्र बनवतात. जेव्हा हात वेगळे केले जातात, तेव्हा गाठ फक्त हातातून स्कार्फकडे सरकते. प्रयोग 2. बनियान व्यक्तीकडून न काढता आतून बाहेर वळवा. हा अनुभव दाखवण्यासाठी, बनियानचे बटण काढून टाकणे आणि परिधान करणार्‍याच्या पाठीमागील हातांवर खेचणे आवश्यक आहे. बनियान हवेत लटकत असेल, परंतु, नक्कीच, हात पकडले जाणार नाहीत. आता तुम्हाला बनियानचा डावा अर्धा भाग घ्यावा लागेल आणि बनियानला सुरकुत्या न पडण्याचा प्रयत्न करून, शक्य तितक्या उजव्या आर्महोलमध्ये ढकलून द्या. नंतर उजवा आर्महोल घ्या आणि त्याच आर्महोलमध्ये ढकलून द्या. त्याच दिशेने. बनियान पसरवणे आणि मालकावर खेचणे बाकी आहे. बनियान आतून बाहेर वळवले जाईल. बनियानचे बटण न लावता तोच प्रयोग केला जाऊ शकतो. फक्त गैरसोय अशी असेल की बनियान डोके वर काढण्यासाठी खूप अरुंद. म्हणून, बनियान स्वेटरने बदलले जाऊ शकते. स्वेटर मॅनिपुलेशन अगदी समान आहेत. हा प्रयोग स्वतःवर प्रदर्शित केला जाऊ शकतो, ज्यासाठी तुम्हाला 14 हातांच्या दोरीने जोडणे आवश्यक आहे, हालचालींचे स्वातंत्र्य सुनिश्चित करण्यासाठी त्यांच्यामध्ये 40 सेंटीमीटर सोडणे आणि आपले हात समोर ठेवा. प्रयोग 3. दोरीचे रिंग उलगडणे. दोन सहभागी हातांनी दोरीने बांधलेले आहेत. अशाप्रकारे, हात आणि दोरी दोन एकमेकांना जोडणारी रिंग बनवतात. दोरी पूर्ववत न करता, उलगडणे आवश्यक आहे. या अनुभवाचे उत्तर या वस्तुस्थितीत आहे की सहभागींच्या हातात आणखी दोन लूप आहेत. दुसर्‍या दोरीच्या हातावर असलेल्या एका लूपमधून एक दोरी खेचणे आणि हाताने लूप काढणे आवश्यक आहे. III. मोबियस पट्टीचा व्यावहारिक उपयोग त्याची सर्वात आश्चर्यकारक गुणधर्म म्हणजे ती एकतर्फी आहे, ती दोन पेंट्सने रंगविली जाऊ शकत नाही आणि त्यावर रेंगाळणारे कीटक काठ ओलांडल्याशिवाय दोन्ही बाजूंनी फिरतील. या मालमत्तेला व्यावहारिक अनुप्रयोग सापडला आहे: अनेक उपकरणांचे पेटंट केले गेले आहे, उदाहरणार्थ, एक धार लावणारा बेल्ट, प्रिंटिंग उपकरणांसाठी एक शाई रिबन, एक बेल्ट ड्राइव्ह आणि इतर तांत्रिक उपाय. मोबियस शीटच्या एकतर्फीपणाचा गुणधर्म तंत्रात वापरला गेला: जर बेल्ट ट्रान्समिशन मोबियस शीटच्या रूपात बनवले गेले असेल तर त्याची पृष्ठभाग पारंपारिक रिंगपेक्षा दुप्पट हळू होते. हे मूर्त बचत गुणधर्म देते जे मोबियस पट्टीकडे आहे ते फॅब्रिकच्या मूळ कटिंगसह कपडे उद्योगात वापरले जाऊ शकते. मुलांच्या वाइंड-अप खेळण्यांची स्प्रिंग यंत्रणा बहुतेकदा अपयशी ठरते, कारण मुले अनेकदा वसंत ऋतु वारा करण्याचा प्रयत्न करतात जेव्हा ते आधीच वळवले जाते. मर्यादा कुंडलाकार वळण असलेला स्प्रिंग मुलांच्या खेळण्यांसाठी "शाश्वत मोशन मशीन" बनू शकतो. नवीन यंत्रणेच्या संभाव्य वापराचे आणखी एक उदाहरण म्हणजे फोटोग्राफिक किंवा फिल्म कॅमेरा (डिजिटल नाही) चे स्लिट शटर. पारंपारिक डिझाईन्समध्ये, शटर सोडल्यानंतर, शटरच्या पडद्याचा स्लिट बंद करणे आवश्यक आहे आणि त्यानंतरच स्प्रिंग चार्ज करून त्याच्या मूळ स्थितीत परत करणे आवश्यक आहे. अन्यथा, तुम्ही शटर स्लिट उलट दिशेने पास करता तेव्हा फ्रेम उजळेल. शटर डिव्हाइस खूप क्लिष्ट असल्याचे बाहेर वळते. मोबियस पट्टीच्या वापरामुळे डिझाइन सुलभ करणे, त्याची विश्वासार्हता, टिकाऊपणा आणि वेग वाढवणे शक्य झाले. अनेक डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमध्ये, शाईच्या रिबनला त्याचा स्त्रोत वाढवण्यासाठी मोबियस पट्टीचा देखावा देखील असतो. मोबियस पट्टीबद्दल धन्यवाद, विविध प्रकारचे आविष्कार निर्माण झाले आहेत. म्हणून, उदाहरणार्थ, टेप रेकॉर्डरसाठी विशेष कॅसेट्स तयार केल्या गेल्या, ज्यामुळे त्यांची ठिकाणे न बदलता "दोन बाजूंनी" टेप टेप ऐकणे शक्य झाले. रोलर कोस्टरच्या सवारीसह किती लोक आनंदित झाले. हे खेळणे केवळ गणितज्ञांनाच नाही तर खूप आवडते. वॉशिंग्टनमधील इतिहास आणि तंत्रज्ञान संग्रहालयाच्या प्रवेशद्वारावर, मोबियस पट्टीचे एक स्मारक आहे - अर्ध्या वळणावर फिरवलेला स्टीलचा रिबन हळू हळू पायथ्याशी फिरत आहे. मोबियस पट्टीच्या स्वरूपात शिल्पांची संपूर्ण मालिका शिल्पकार मॅक्स बिल यांनी तयार केली होती. मॉरिट्स एशरने बरीच विविध रेखाचित्रे सोडली. IV. निष्कर्ष मोबियसने आपला आश्चर्यकारक शोध फार पूर्वी लावला असूनही, तो आज खूप लोकप्रिय आहे. कागदाची एक साधी पट्टी, परंतु फक्त एकदाच फिरवली जाते आणि नंतर रिंगमध्ये चिकटलेली असते, ती ताबडतोब रहस्यमय मोबियस पट्टीमध्ये बदलते आणि आश्चर्यकारक गुणधर्म प्राप्त करते. पृष्ठभाग आणि अवकाशांच्या अशा गुणधर्मांचा अभ्यास गणिताच्या विशेष शाखेद्वारे केला जातो - टोपोलॉजी. हे विज्ञान इतके क्लिष्ट आहे की ते शाळेत पास होत नाहीत. फक्त संस्थांमध्ये. परंतु कोणास ठाऊक, कदाचित कालांतराने, आपण प्रसिद्ध टोपोलॉजिस्ट बनू आणि आश्चर्यकारक शोध लावू. आणि कदाचित काही गुंतागुंतीच्या पृष्ठभागाला आमची नावे म्हटले जातील. "मोबियस लीफचे रहस्य" प्रकल्पावर माझ्या गटातील मुलांसोबत काम करताना, मी बर्‍याच नवीन आणि मनोरंजक गोष्टी शिकलो: मी ग्रंथालयातील शिक्षकाने सुचवलेल्या विषयावर साहित्य शोधणे, वाचणे आणि निवडणे शिकलो. आवश्यक साहित्य; इंटरनेटवरील लेख वापरा, अमूर्तासाठी आवश्यक चित्रे निवडा, टेबल तयार करा आणि ते भरा; "मोबियस पट्टी" वर संशोधन करा (आवश्यक वळण, गोंद आणि कट करा); परिणामी रिंग छायाचित्रित केल्या पाहिजेत आणि टेबलमध्ये प्रविष्ट केल्या पाहिजेत; सादरीकरण आणि व्हिडिओ प्रयोग करा; कॉन्फरन्समध्ये बोला आणि जादूच्या युक्त्या दाखवा. हे सर्व खूप क्लिष्ट आणि वेळ घेणारे आहे, परंतु खूप मनोरंजक आहे. 16 "टोपोलॉजी, भूमितीची सर्वात तरुण आणि सर्वात शक्तिशाली शाखा, अंतर्ज्ञान आणि तर्कशास्त्र यांच्यातील विरोधाभासांचा फलदायी प्रभाव स्पष्टपणे दर्शवते" आर. कौरंट. 17 साहित्य 1. गार्डनर एम "गणितीय चमत्कार आणि रहस्ये", मॉस्को, "विज्ञान" 1986 2. ग्रोमोव्ह ए.एस. "गणितातील अतिरिक्त असाइनमेंट, ग्रेड 8-9" मॉस्को, एनलाइटनमेंट 3. एन. लँगडन, सी. स्नेप "विथ मॅथेमॅटिक्स ऑन द वे" मॉस्को, अध्यापनशास्त्र, 1987 4. लोकप्रिय वैज्ञानिक जर्नल "क्वांट" 1975 №19777 ... 5. सविन ए.पी. "एन्सायक्लोपेडिक डिक्शनरी ऑफ अ यंग मॅथेमॅटिशियन", एम, एनलाइटनमेंट, 1985 6. याकुशेवा जी. एम "शाळेतील मुलांचा ग्रेट एनसायक्लोपीडिया. गणित ", मॉस्को," स्लोवो", एक्समो, 2006 7. wwwRambler.ru 18 परिशिष्ट प्रयोगशाळेचे कार्य "मोबियस पट्टी" गणित मंडळाच्या वर्गात 19 मोबियस पट्टीची एक बाजू रंगवण्याचा प्रयत्न करा - न जाता तुकडा तुकडा टेपच्या काठावर. आणि काय? तुम्ही संपूर्ण मोबियस शीटवर पेंट कराल! 20 प्रत्येक रिंगच्या एका बाजूला एक बिंदू ठेवा आणि जोपर्यंत तुम्ही चिन्हांकित बिंदूवर परत येत नाही तोपर्यंत त्याच्या बाजूने एक सतत रेषा काढा. 21 लांबीच्या बाजूने दोन कापून रिंगांची चाचणी घ्या. 22 आता तुमच्याकडे दोन वेगळ्या रिंग आहेत. पण ते काय आहे? दोन अंगठ्यांऐवजी, तुम्हाला एक मिळेल! शिवाय, ते मूळ रिंगपेक्षा मोठे आणि पातळ आहे. 23 संशोधन तक्त्यामध्ये ट्विस्ट आणि कटचे परिणाम नोंदवू. 24 दोन्ही रिंग एक दुप्पट लांब आहेत, आणि एकमेकांना जोडलेले आहेत. पैकी एक रिंग इतरांना गुंफते 25 समान लांबीची एक रिंग, दुसरी दुप्पट लांब एकमेकांशी जोडलेली असते 26 अतिरिक्त वळणांसह मोबियस पट्टीचा एक कट अनपेक्षित आकृत्या देतो ज्याला पॅराड्रोमिक रिंग म्हणतात. २७

सर्वात सोपी आणि त्याच वेळी सर्वात जटिल आणि विचित्र वस्तूंपैकी एक म्हणजे मोबियस पट्टी. या आकृतीची सर्व मौलिकता असूनही, आपण ते सहजपणे स्वतः बनवू शकता आणि या लेखात वर्णन केलेले सर्व प्रयोग करू शकता.

मोबियस पट्टी ही त्रिमितीय जागेत एकतर्फी असणारी सर्वात सोपी दिशा नसलेली पृष्ठभाग आहे. याला बर्‍याचदा मोबियस पृष्ठभाग देखील म्हणतात आणि सतत (टोपोलॉजिकल) वस्तू म्हणून संबोधले जाते.

पौराणिक कथेनुसार, जर्मन खगोलशास्त्रज्ञ, गणितज्ञ आणि मेकॅनिक ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस यांनी ही वस्तू शोधून काढली जेव्हा त्यांच्या घरात काम करणार्‍या मोलकरणीने कापडाची रिबन रिंगमध्ये शिवली, अनवधानाने तिचे एक टोक वळले. निकाल पाहून, त्या अभागी मुलीला फटकारण्याऐवजी मोबियस म्हणाला: “अरे हो, मार्था! मुलगी इतकी मूर्ख नाही. शेवटी, ही एकतर्फी कंकणाकृती पृष्ठभाग आहे. रिबनला कोणतीही चुकीची बाजू नाही!

ऑगस्ट फर्डिनांड मोबियस.

टेपच्या गुणधर्मांचा अभ्यास केल्यावर, मोबियसने त्याबद्दल एक लेख लिहिला आणि पॅरिस अकादमी ऑफ सायन्सेसला पाठवला, परंतु त्याच्या प्रकाशनाची प्रतीक्षा केली नाही. गणितज्ञांच्या मृत्यूनंतर त्यांची सामग्री प्रकाशित झाली आणि एक असामान्य टोपोलॉजिकल पृष्ठभाग त्यांच्या नावावर ठेवण्यात आला.

मोबियस पट्टी बनवणे खूप सोपे आहे: एक ABCD पट्टी घ्या आणि नंतर ती फोल्ड करा जेणेकरून A आणि D बिंदू B आणि C ला जोडतील.

मोबियस पट्टी बनवणे. परिणाम हा एक आकृती आहे जो पहिल्या दृष्टीक्षेपात सामान्य आहे, ज्यामध्ये खूप मनोरंजक गुणधर्म आहेत.

मोबियस पट्टीचे असामान्य गुणधर्म

एकतर्फीपणा
वास्तविक जगामध्ये आपण ज्या वस्तूंचा सामना करतो (उदाहरणार्थ, कागदाचा तुकडा) त्याच्या पृष्ठभागांना दोन बाजू असतात या वस्तुस्थितीची आपल्या सर्वांना सवय आहे. परंतु मोबियस पट्टीचा पृष्ठभाग एकतर्फी आहे. टेपवर पेंटिंग करून हे सहजपणे सत्यापित केले जाऊ शकते. जर तुम्ही पेन्सिल घेतली आणि ती उलटी न करता कुठूनही टेप रंगवायला सुरुवात केली, तर शेवटी टेप पूर्णपणे रंगेल.

जर एखाद्याने मोबियस पट्टीच्या पृष्ठभागाची फक्त एक बाजू रंगवण्याचा प्रयत्न केला, तर ते लगेच पेंटच्या बादलीत बुडविणे चांगले आहे, मोबियस पट्टीची पृष्ठभाग सतत आहे.

हे खालीलप्रमाणे सहजपणे सत्यापित केले जाते: जर तुम्ही टेपवर कुठेही एक बिंदू ठेवला असेल तर तो कडा ओलांडल्याशिवाय टेपच्या पृष्ठभागावरील इतर कोणत्याही बिंदूशी जोडला जाऊ शकतो. अशा प्रकारे, हे दिसून येते की या वस्तूची पृष्ठभाग सतत आहे.

मोबियस पट्टीला कोणतीही दिशा नाही
जर तुम्ही संपूर्ण मोबियस पट्टीतून जाऊ शकत असाल, तर ज्या क्षणी तुम्ही प्रवासाच्या सुरुवातीच्या बिंदूवर परत याल त्या क्षणी, तुम्ही स्वतःच्या आरशातील प्रतिमेत बदलाल.

जर टेप मध्यभागी कापला असेल, तर या प्रकरणात फक्त एक टेप प्राप्त होईल, जरी तर्कशास्त्र म्हणते की त्यापैकी दोन असावेत आणि जर तुम्ही कापले तर टेपच्या रुंदीच्या एक तृतीयांश काठावरुन मागे सरकले तर, मग तुम्हाला दोन रिंग एकत्र जोडल्या जातील - लहान आणि मोठ्या ... मध्यभागी लहान रिंगचा रेखांशाचा कट केल्यानंतर, परिणामी, आम्हाला समान आकाराच्या दोन गुंफलेल्या रिंग मिळतात, परंतु रुंदीमध्ये भिन्न असतात.

मोबियस पट्टीचा व्यावहारिक वापर
या असामान्य टोपोलॉजिकल ऑब्जेक्टच्या गुणधर्मांवर आधारित बरेच शोध आधीच आहेत. उदाहरणार्थ, डॉट मॅट्रिक्स प्रिंटरमधील शाईची रिबन, मोबियस पट्टीमध्ये गुंडाळलेली, जास्त काळ टिकते, कारण या प्रकरणात पोशाख त्याच्या संपूर्ण पृष्ठभागावर समान रीतीने होतो. आणि या भौमितिक वस्तूच्या आकारात वळलेल्या किचन मिक्सर किंवा कॉंक्रीट मिक्सरचे ब्लेड उर्जेचा वापर 20% कमी करतात आणि त्याच वेळी परिणामी मिश्रणाची गुणवत्ता सुधारते.

एक गृहितक आहे की डीएनए पॉलिमर, जो दुहेरी हेलिक्स आहे, हा मोबियस पट्टीचा एक तुकडा आहे आणि या कारणास्तव डीएनए कोड उलगडणे आणि समजणे खूप कठीण आहे.

काही भौतिकशास्त्रज्ञ म्हणतात की ऑप्टिकल इफेक्ट्स या विरोधाभासी वस्तूच्या समान गुणधर्मांवर आधारित असतात, म्हणून आरशात आपले प्रतिबिंब एक विशेष केस आहे, मोबियस पट्टीच्या गुणधर्मांपैकी एक.

या गणितीय वस्तूशी संबंधित आणखी एक गृहितक म्हणजे आपले विश्व स्वतःच, कदाचित, अशा टेपमध्ये बंद आहे आणि त्याची स्वतःची मिरर कॉपी आहे. कारण, जर आपण सर्व वेळ मोबियस पट्टीच्या बाजूने एकाच दिशेने फिरलो, तर शेवटी, आपण स्वतःला आपल्या प्रवासाच्या सुरुवातीच्या टप्प्यावर शोधू, परंतु आधीच आपल्या आरशाच्या प्रतिमेत.

रहस्यमय क्लेन बाटली
मोबियस पट्टीच्या आधारावर, आणखी एक आश्चर्यकारक आकृती आहे - क्लेन बाटली. ही एक बाटली आहे ज्यामध्ये तळाशी छिद्र आहे. बाटलीची मान लांबलचक आणि वाकलेली असते, बाटलीच्याच भिंतींपैकी एकामध्ये जाते.

क्लेन बाटली

अशी आकृती सामान्य त्रिमितीय जागेत पुनरुत्पादित केली जाऊ शकत नाही, कारण मान बाटलीच्या भिंतीला स्पर्श करू नये आणि त्याच्या तळाशी असलेल्या छिद्राशी जोडलेली आहे. अशा प्रकारे, एक पृष्ठभाग प्राप्त होतो ज्याची फक्त एक बाजू आहे. क्लेन बाटली आणि मोबियस पट्टी अजूनही शास्त्रज्ञ आणि लेखकांचे लक्ष वेधून घेते.

A. Deutsch ने त्याच्या एका कथेत न्यूयॉर्कच्या भुयारी मार्गात एके दिवशी कसे रुळ ओलांडले आणि संपूर्ण भुयारी मार्ग मोबियसच्या पट्टीसारखा दिसू लागला आणि काही महिन्यांनंतर ट्रॅकच्या मागून येणाऱ्या इलेक्ट्रिक गाड्या अदृश्य होऊ लागल्या, त्याबद्दल लिहिले.

अलेक्झांडर मिचच्या द गिव्हवे गेममध्ये, पात्रांना क्लेन बाटलीसारखे दिसणार्‍या जागेत अडकवले जाते.

जग हे अजूनही आपल्यासाठी एक मोठे गूढ आहे आणि नजीकच्या भविष्यात अंतराळ शास्त्रज्ञांच्या इतर कोणकोणत्या गोष्टी शोधल्या जातील हे कोणास ठाऊक आहे.