Мобиусын зурвас ба түүний сюрприз. Шинжлэх ухааны тоглоомууд

Гадаргуу, дээр нь шоргоолж сууж байгааг төсөөлөөд үз дээ. Шоргоолж гадаргуугийн урвуу тал руу - дүрсээр хэлбэл, доод тал руу нь - ирмэг дээр авирахгүйгээр мөлхөж чадах уу? Мэдээж үгүй!

Август Фердинанд Мобиус (1790-1868)

Нэг талт гадаргуугийн анхны жишээг 1858 онд Мобиус өгчээ.

Мобиусын туузыг гогцоо, гадаргуу эсвэл хуудас гэж нэрлэдэг бөгөөд мушгих, сунах, шахах, гулзайлгах, гулзайлгах гэх мэт тасралтгүй хувиргалтуудын үед хадгалагдаж буй дүрсүүдийн ерөнхий шинж чанарыг судалдаг топологи зэрэг математикийн шинжлэх ухааны судалгааны объект юм. болон бусад шударга байдалтай холбоогүй ... Ийм соронзон хальсны гайхалтай, өвөрмөц онцлог нь зөвхөн нэг тал, ирмэгтэй бөгөөд сансар огторгуй дахь байршилтай ямар ч холбоогүй юм. Мобиусын зурвас нь топологи, өөрөөр хэлбэл энгийн Евклидийн орон зайд (3 хэмжээст) зааг бүхий хамгийн энгийн нэг талт гадаргуутай үргэлжилсэн объект бөгөөд ийм гадаргуугийн нэг цэгээс ирмэгийг хөндлөн гарахгүйгээр хийх боломжтой. өөр аль нэгэнд нь очих.

Август Фердинанд Мобиус (1790-1868) - математикч Гауссын "хаан" шавь. Мобиус анхнаасаа Гаусс болон бусад олон орны нэгэн адил одон орон судлаач байсан бөгөөд математик хөгжлөөрөө түүнд өртэй. Тэр үед математикийн судалгаа дэмжлэг үзүүлэхгүй байсан бөгөөд одон орон судлал нь тэдний тухай бодохгүй байх хангалттай мөнгө өгч, өөрсдийн эргэцүүлэн бодох цагийг үлдээжээ. Мөн Мобиус 19-р зууны хамгийн агуу геометрийн нэг болжээ.

Мобиус 68 настайдаа гайхалтай гоо үзэсгэлэнг нээж чадсан юм. Энэ бол нэг талт гадаргуугийн нээлт бөгөөд тэдгээрийн нэг нь Мобиусын тууз (эсвэл соронзон хальс) юм. Үйлчлэгч бүсгүй хүзүүндээ алчуураа буруу зүүж байхыг хараад Мобиус туузыг гаргаж ирэв.
Евклидийн орон зайд үнэндээ хагас эргэлтээр нээгдсэн хоёр төрлийн Мобиус зурвас байдаг: нэг нь цагийн зүүний дагуу, нөгөө нь цагийн зүүний эсрэг.

Мобиус тууз нь дараах шинж чанаруудтай бөгөөд түүнийг шахаж, зүсэж, нугалахад өөрчлөгддөггүй.

1. Нэг тал байх. А.Мобиус "Олон талтуудын эзэлхүүн дээр" бүтээлдээ түүний нэрээр нэрлэгдсэн геометрийн гадаргууг зөвхөн нэг талтай дүрсэлсэн байдаг. Үүнийг шалгах нь маш энгийн: бид соронзон хальс эсвэл Моебиус тууз авч, дотор талыг нь нэг өнгөөр, гадна талыг нь өөр өнгөөр ​​будахыг хичээдэг. Хаана, ямар чиглэлд зураг зурж эхэлсэн нь хамаагүй, дүрсийг бүхэлд нь ижил өнгөөр ​​будна.
2. Тасралтгүй байдал нь энэхүү геометрийн дүрсийн аль ч цэгийг Мобиусын гадаргуугийн хил хязгаарыг давалгүйгээр түүний бусад аль ч цэгтэй холбож болно гэдгээр илэрхийлэгддэг.
3. Холболт буюу хоёр хэмжээст гэдэг нь туузыг уртын дагуу зүсэх үед түүнээс хэд хэдэн өөр хэлбэр гарч ирэхгүй бөгөөд энэ нь салшгүй хэвээр байна гэсэн үг юм.

4. Баримтлал гэх мэт чухал шинж чанар дутагдаж байна. Энэ дүрсийн дагуу алхаж буй хүн өөрийнхөө замын эхлэл рүү буцаж очно гэсэн үг, гэхдээ зөвхөн өөрийнхөө толин тусгал дүрсээр л. Тиймээс төгсгөлгүй Моебиусын зурвас нь мөнхийн аялалд хүргэж чадна.
5. Мобиусын гадаргуу дээрх хамгийн их боломжтой тооны бүс нутгийг харуулсан тусгай хроматик дугаар, та тэдгээрийн аль нэг нь бусадтай нийтлэг хилтэй байхаар үүсгэж болно. Мобиусын тууз нь хроматик дугаартай - 6, харин цаасан цагираг - 5.

Өнөөдөр Мобиусын зурвас, түүний шинж чанарыг шинжлэх ухаанд өргөнөөр ашиглаж байгаа нь шинэ таамаглал, онол бий болгох, судалгаа, туршилт хийх, шинэ механизм, төхөөрөмжийг бий болгох үндэс суурь болж байна. Тиймээс, Орчлон ертөнц бол Мобиусын асар том гогцоо гэсэн таамаглал байдаг. Үүнийг Эйнштейний харьцангуйн онол шууд бусаар нотолж байгаа бөгөөд түүний дагуу шулуун нисч буй хөлөг онгоц ч эхэлсэн тэр цаг хугацаа, орон зайн цэг рүү буцаж болно.

Өөр нэг онол нь ДНХ-ийг Мобиусын гадаргуугийн нэг хэсэг гэж үздэг бөгөөд энэ нь удамшлын кодыг уншиж, тайлахад бэрхшээлтэй болохыг тайлбарладаг. Бусад зүйлсийн дотор ийм бүтэц нь биологийн үхлийн логик тайлбарыг өгдөг - өөрөө хаагдсан спираль нь объектыг өөрөө устгахад хүргэдэг. Физикчдийн үзэж байгаагаар олон оптик хуулиуд нь Моебиусын зурвасын шинж чанарт суурилдаг. Жишээлбэл, толин тусгал дүрс нь цаг хугацааны тусгай дамжуулалт бөгөөд хүн толин тусгалаа урд нь давхар хардаг.

Хэрэв та Мобиусын туузыг сонирхож байгаа бол түүний загварыг хэрхэн хийх талаар бяцхан заавар танд хэлэх болно.
1. Түүний загварыг үйлдвэрлэхэд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно: - энгийн цаасан хуудас;
- хайч;
- шугам.
2. Өргөн нь уртаас 5-6 дахин бага байхаар цаасан хуудаснаас тууз хайчилж ав.
3. Үүссэн цаасан туузыг хавтгай гадаргуу дээр тавьдаг. Бид нэг үзүүрийг гараараа барьж, нөгөө талыг нь 180 * эргүүлж, туузыг мушгиж, буруу тал нь урд тал болно.
4. Зурагт үзүүлсэн шиг эрчилсэн туузны үзүүрийг наа.

Мобиусын тууз бэлэн боллоо.
5. Үзэг эсвэл маркер аваад соронзон хальсны дундуур зам зурж эхлээрэй. Хэрэв та бүх зүйлийг зөв хийсэн бол шугамыг зурж эхэлсэн цэг рүүгээ буцна.

Мобиусын тууз нь нэг талт объект гэдгийг нүдээр батлахын тулд түүний нэг талыг харандаа эсвэл үзэггээр будаж үзээрэй. Хэсэг хугацааны дараа та үүнийг бүрэн будсан байхыг харах болно.

Мобиусын хуудас нь уран баримал, график урлагт урам зориг өгсөн. Эшер бол түүнийг онцгой хайрладаг зураачдын нэг бөгөөд энэ математикийн объектод хэд хэдэн чулуун бичвэрээ зориулжээ. Алдартуудын нэг болох "Мобиус навч II" нь Мобиусын зурвасын гадаргуу дээр шоргоолжнууд мөлхөж байгааг харуулж байна.

Мобиусын навч нь "Квант номын сан" цувралын шинжлэх ухааны алдартай номуудын бэлгэ тэмдэг юм. Энэ нь Артур Кларкийн "Харанхуйн хэрэм" богино өгүүллэг зэрэг шинжлэх ухааны уран зөгнөлт зохиолуудад байнга гардаг. Заримдаа шинжлэх ухааны уран зөгнөлт түүхүүд (онолын физикчдийн араас) манай орчлон ертөнц ямар нэгэн ерөнхий Мобиусын зурвас байж магадгүй гэж үздэг. Мөн Мобиусын бөгжийг Уралын зохиолч Владислав Крапивины бүтээлүүдэд "Их болорын гүнд" мөчлөгт байнга дурддаг (жишээлбэл, "Зангууны шон дээрх застав. Үлгэр"). Зохиолч А.Ж.Дойчийн "Мобиусын навч" өгүүллэгт Бостоны метро шинэ шугам барьж, зам нь маш будлиантай болж Мобиусын зурвас болж хувирсны дараа галт тэрэгнүүд тэр шугамаар алга болж эхэлдэг. Энэ түүхээс сэдэвлэн Густаво Москерагийн найруулсан "Мобиус" хэмээх гайхалтай киноны зураг авалтыг хийсэн. Мөн М.Клифтоны "Мобиусын зурвас дээр" өгүүллэгт Мобиусын зурвасын санааг ашигласан байдаг.

Мобиусын туузыг Брайан Ламлигийн "Үхлийн дуран" романы гол баатар Харри Кифийн орон зай, цаг хугацаанд хөдөлгөх арга болгон ашигладаг.

Р.Зелазныйгийн "Элс дэх хаалга" уран зөгнөлт романд Мобиусын зурвас чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.

Е.Наумовын "Хагас амьдрал" (1989) номонд архичин сэхээтэн Мобиусын зурваст гарч, улс даяар аялж байна.

Орчин үеийн Оросын зохиолч Алексей Шепелевийн "Цуурай" романы явцыг Мобиусын зурвастай харьцуулав. Номын тайлбараас: "" Цуурай " бол Мобиусын бөгжний уран зохиолын зүйрлэл юм: "хөвгүүд" ба "охид" гэсэн хоёр өгүүллэг нь хоорондоо холбогдож, хоорондоо урсаж, огтлолцдоггүй.

Мобиусын туузыг 2010 онд хэвлэгдсэн "Радио Мураками" түүврийн номноос Харуки Муракамигийн "Облада эзэмдээрэй" эссэгт бас байдаг бөгөөд Мобиусын зурвасыг дүрсэлсэн утгаар нь хязгааргүйтэй зүйрлэсэн байдаг.

CHARON-ийн "Макото Мобиус" харааны романд гол дүрийн баатар Ватаро ид шидийн олдвор болох Мобиусын туузыг ашиглан ангийнхаа охиныг үхлээс аврахыг оролддог.

1987 онд Зөвлөлтийн жазз төгөлдөр хуурч Леонид Чижик ижил нэртэй найруулгыг багтаасан "Мобиус соронзон хальс" цомог бичжээ.

"Футурама" хүүхэлдэйн киноны нэг анги (7-р улирал, 14-р анги, 11 минут) дахь уралдааны зам нь Мобиусын зурвас юм.

Möbius зурвасын техникийн хэрэглээ байдаг. Туузан гадаргуу бүхэлдээ жигд элэгддэг тул Möbius туузан дамжуулагч тууз нь удаан үргэлжлэх болно. Тасралтгүй соронзон хальсны бичлэгийн системүүд нь мөн Mobius соронзон хальснуудыг ашигладаг (бичлэг хийх хугацааг хоёр дахин нэмэгдүүлэхийн тулд). Олон тооны матриц принтерүүдэд бэхний тууз нь нөөцийг нэмэгдүүлэхийн тулд Mobius тууз хэлбэртэй байдаг.

Мөн CEMI RAS хүрээлэнгийн үүдний дээгүүр архитектор Леонид Павловын зураач Е.А.Жаренова, В.К.Васильцов нартай хамтран бүтээсэн "Мобиус зурвас" хэмээх өндөр рельефийн мозайк (1976) байдаг.

Мобиусын зурвасын санааг ашигласан архитектурын шийдэл:

Мобиусын туузан эдлэл:

Möbius зурвасын техникийн хэрэглээ байдаг. Туузан дамжуулагчийн туузыг Mobius тууз хэлбэрээр хийсэн бөгөөд туузны гадаргуу бүхэлдээ жигд элэгддэг тул илүү урт ажиллах боломжийг олгодог. Тасралтгүй соронзон хальсны бичлэгийн системүүд нь мөн Mobius соронзон хальснуудыг ашигладаг (бичлэг хийх хугацааг хоёр дахин нэмэгдүүлэхийн тулд). Олон тооны матриц принтерүүдэд бэхний тууз нь нөөцийг нэмэгдүүлэхийн тулд Mobius тууз шиг харагддаг.

Mobius резистор гэж нэрлэгддэг төхөөрөмж нь өөрийн индукцгүй, саяхан зохион бүтээсэн электрон элемент юм. Möbius соронзон хальснуудыг тасралтгүй соронзон хальсны бичлэгийн системд (бичлэг хийх хугацааг хоёр дахин нэмэгдүүлэх) ашигладаг бөгөөд цэг матриц принтерүүдэд бэхний тууз нь хадгалах хугацааг уртасгахын тулд Mobius хуудас шиг харагдаж байв.

Мобиусын зурвас (Мобиусын зурвас) - зөвхөн нэг тал, нэг хил хязгаар бүхий гурван хэмжээст гадаргуу нь чиг баримжаагүй байх математик шинж чанартай байдаг. Үүнийг 1858 онд Германы хоёр математикч Август Фердинанд Мобиус, Иоганн Бенедикт Листинг нар нэгэн зэрэг нээсэн.

Мобиус туузны загварыг цаасан туузаас хялбархан хийж, туузны нэг үзүүрийг хагасаар эргүүлж, нөгөө үзүүртэй нь холбож битүү хэлбэрийг үүсгэж болно. Хэрэв та соронзон хальсны гадаргуу дээр харандаагаар зураас зурж эхэлбэл шугам нь дүрсний гүн рүү орж, туузны "нөгөө тал" руу явж байгаа мэт шугамын эхлэлийн доор өнгөрнө. Хэрэв та мөрийг үргэлжлүүлбэл энэ нь эхлэх цэг рүү буцна. Энэ тохиолдолд зурсан шугамын урт нь цаасан туузны уртаас хоёр дахин их байх болно. Энэ жишээ нь Мобиусын зурвас нь зөвхөн нэг тал, нэг хилтэй болохыг харуулж байна.

Евклидийн орон зайд үнэндээ хагас эргэлтээр нээгдсэн хоёр төрлийн Мобиус зурвас байдаг: нэг нь цагийн зүүний дагуу, нөгөө нь цагийн зүүний эсрэг.

Геометр, Математик

Мобиусын зурвасыг параметрийн тэгшитгэлийн системээр илэрхийлж болно.

хаана ба. Эдгээр тэгшитгэлүүд нь хавтгайд байрлах 1 өргөнтэй Мобиусын зурвасыг дүрсэлдэг х-y;тойргийн дотоод радиус нь 1, дотоод тойргийн төв нь эх (0,0,0) дээр байна. Параметр усоронзон хальсны дагуу хөдөлж, параметр v- нэг хилээс нөгөө хил хүртэл.

Өөрөөр хэлбэл, туузыг туйлын координат дахь илэрхийлэлээр илэрхийлж болно:

Топологийн хувьд, Мобиусын зурвасыг дөрвөлжин х гэж тодорхойлж болно, дээд хэсэг нь доод талтай харьцаагаар холбогдсон байна ( х,0) ~ (1-х, 1) 0 ≤ хувьд хБаруун талын зурагт үзүүлсэн шиг ≤ 1.

Объектуудыг хаах

Мобиусын зурвастай нягт холбоотой бол нууцлаг объект болох Клейн шил юм. Мобиусын хоёр туузыг хилийн дагуу нааж, Klein шилийг үүсгэж болно. Энэ үйлдлийг дүрс дотор огтлолцол үүсгэхгүйгээр 3D орон зайд хийх боломжгүй.

Үндсэн боломжгүй тоонуудын нэг боломжгүй гурвалжинХэрэв түүний зарим ирмэгийг тэгшитгэсэн бол Моебиусын туузаар дүрсэлж болно. Энэ нь гурван эргэлтийг дүрсэлсэн Мобиусын зурвас үүсгэх болно.

Урлаг

Power Architecture лого

Мөн Мобиусын туузыг янз бүрийн лого, брэндийн зураг дээр ихэвчлэн ашигладаг. Хамгийн тод жишээ бол дахин ашиглах олон улсын бэлгэдэл юм.

Өргөдөл. Моебиусын тууз бүхий уран зураг

Доорх зургийг Пол Белачик гэдэг. Зохиогчийн хэлснээр энэ зураг нь түүний амьдралын янз бүрийн талуудын нэгдэл юм. Селтик зангилаанууд түүний бүтээлүүд, М.К. Эшерс үргэлж урам зоригийн эх сурвалж болдог бөгөөд Моебиусын зурвас нь зураачийн судалсан сэдэвтэй холбоотой байдаг.

Мобиусын зурвас бол энгийн боловч гайхалтай зүйл юм. Үүнийг хэдхэн секундын дотор хийх боломжтой бөгөөд энэ үзэгдэл нь маш олон гайхшрал, хэв маяг, шинж чанартай байдаг. Практикт илүү ойлгомжтой болгохын тулд ердийн цаасан тууз авч, цавуу, үзүүрийг нь холбоно. Гэхдээ нэг төгсгөл нь нөгөөгөөсөө хагас эргэлтээр урвуу болж хувирах нь зайлшгүй юм. Тиймээс алдарт Моебиусын зурвас бэлэн боллоо.

Үүссэн нууцлаг гадаргуугийн талаар та эцэс төгсгөлгүй ярьж болно. Цаасан цагираг хэдэн гадаргуутай болохыг өөрөөсөө асуу. Хоёр уу? Гэхдээ үгүй ​​- нэг. Үүнийг шалгах нь маш амархан. Эсгий үзэг эсвэл харандаа аваад соронзон хальсны нэг талыг таслахгүй, нөгөө тал руу нь шилжүүлэхгүйгээр будахыг хичээ. Болсон уу? Будаггүй тал нь хаана байна? Ингээд л болоо...

Энэ соронзон хальсны нэрийг зохион бүтээгч нь Лейпцигийн их сургуулийн профессор Август Фердинанд Мобиус өгсөн. Тэрээр урт удаан, үр өгөөжтэй амьдралаа шинжлэх ухааны ажилд зориулж (энэ нь 78 жил) бөгөөд явах хүртлээ оюун санааны тунгалаг байдлаа хадгалсан. Профессор 75 настайдаа нэг талт гадаргуугийн өвөрмөц шинж чанарыг хоёр давхаргаар дүрсэлсэн байдаг. Тэр цагаас хойш геометр, физик, тэр байтугай сүнслэг байдлын шилдэг оюун ухаантнууд энэ объектыг холоос судалж үзсэн.

Та Мобиусын туузыг аваад хэд хэдэн туршилтыг бие даан хийж болно. Бүх гадаргуугийн дагуу урьдчилсан дунд шугамыг зурж, түүнийг таслахыг хичээ. Юу болж хувирна гэж бодож байна? Хоёр жижиг цагираг уу? Дахин буруу - нэг! Өмнөхөөсөө хоёр дахин урт, гэхдээ аль хэдийн хоёр удаа эрчилсэн. Энд тэрээр эхний тохиолдол шиг нэг биш хоёр гадаргуутай байх болно. Энэхүү буржгар үсийг Афганистаны тууз гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг судлаачид ч сайн мэддэг. Дашрамд хэлэхэд, сүнслэг байдлын хувьд энэ нөлөөг хоёрдмол байдлын бэлгэдэл гэж нэрлэдэг бөгөөд нэгийг нь хуурмаг ойлголт гэж тайлбарладаг.

Хэрэв та дахин уртааш шугам зурвал дунд нь биш, харин туузны өргөний гуравны нэгээр ирмэг рүү ойртвол? Үүссэн бөгжийг хайчилж ав, та аль хэдийн хоёр нь гартаа байх болно: Мобиус тууз ба Афган тууз, тэдгээр нь ойлгомжгүй байдлаар бие биентэйгээ холбогдох болно.

Гэхдээ эдгээр нь бүгд гэнэтийн зүйл биш юм. Соронзон хальсыг цагирагт наахдаа нэг биш, харин хоёр цаасан тууз авч үзээрэй. Тэгээд гурав, бүр дөрөв. Би баталгаатай: үр дүн нь таныг илүү их гайхшруулах болно!

Сонирхолтой туршилтыг таамаглалаар бас дэвшүүлж болно. Мобиусын давхар туузыг (өөрөөр хэлбэл хоёр туузнаас наасан) аваад хуруугаа хооронд нь наавал (харандаа, модон саваа - юу ч байсан) бид туузны хооронд эцэс төгсгөлгүй гүйлгэж, ингэснээр дүрс нь хоёр тусдаа хэсгээс бүрддэг болохыг баталж байна. . Одоо эдгээр туузны хооронд ялаа мөлхөж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний доод зурвас нь "шал", дээд хэсэг нь "тааз" гэх мэт хязгааргүй байх болно.

Гэвч бодит байдал дээр бүх зүйл харагдаж байгаа шиг тийм ч энгийн зүйл биш юм. Эцсийн эцэст, хэрэв та ялааны аялалын эхлэлийг "шалан дээр" тавьсан бол шавьж тойрог хийх үед энэ тэмдэг нь аль хэдийн "таазан дээр" байх болно. Тэгээд шалан дээр буцаж очихын тулд дахиад нэг тойрог хийх хэрэгтэй болно.

Гудамжинд ялаа мөлхөж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний баруун талд тэгш тоотой, зүүн талд нь сондгой тоотой байшингууд байдаг. Алхаж байхдаа манай аялагч хэзээ нэгэн цагт сондгой тоо нь баруун талд, тэгш тоо нь зүүн талд байгааг анзаарч гайхах болно! Баруун гар талын хөдөлгөөнтэй манай жинхэнэ зам дээр ийм нөхцөл байдал үүснэ гэж төсөөлөхөд аймшигтай, учир нь бид удахгүй бусад хүмүүстэй "толгой тулалдан" алхах хэрэгтэй болно. Ийм л байна - Мобиусын зурвас ...

Энэ болон бусад хэв маягийн хэрэглээ нь зөвхөн таамаглал төдийгүй бодит амьдрал дээр олдсон. Жишээлбэл, хэвлэх төхөөрөмж дэх бүс, автомат хурдны хайрцаг, хурцлах механизм дахь зүлгүүрийн цагираг болон таны сэжиглэж байгаагүй бусад зүйлсийг соронзон хальсны үндсэн дээр бүтээдэг. Үнэхээр Мобиусын зурвас бол хязгааргүй судалж болох оньсого юм!

"Будаговская дунд сургууль" хотын боловсролын байгууллага Сэдэв: Гүйцэтгэсэн: Шалыгин Иван 5-р ангийн сурагч Удирдагч: Калаш Г.В. Математикийн багш Будагово 2012 он 1 ЭПИГРАФ: Гурван хэмжээст орон зайд Бид амьдарч, алхаж, тоглож, сургуульд сурдаг Тиймээс түүний тухай илүү ихийг мэдэхэд гомдохгүй байх болно. Сансар огторгуйн талаар бүх зүйлийг эхнээс нь судал. Бидний эргэн тойрон дахь бүх зүйл танил, өхөөрдөм. Зарц бидэнд шинжлэх ухаанд хүрэх замыг нээж өгсөн. Туузыг алдаатай оёж, хойч үедээ утга учир олсон. Тиймээс Мобиус шинжлэх ухааны хуудас олж, математикийн нэг хэсгийг олж авав. Биеийн гадаргууг судалдаг салбар Тэр цагаас хойш хүн бүр топологи гэж нэрлэх болсон. Соронзон хальсан дээрх ялаа яаж замаа эргүүлэхгүй байх вэ? Харамсалтай нь түүнд төгсгөлгүй зам бий. 2 Агуулга I. Мобиусын навч 1. Агуулга …………………………………………………………………………………………… ..3 2 .Танилцуулга.………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .4 3. Түүхэн үндэслэл……… ………………………………………………………………………… ..5 4. Топологи - "Байршлын геометр" ... ..... … ………………………………………………… .5 II. Цаасан дээр хийсэн судалгааны туршилт: 1. Мобиусын хуудасны гадаргууг будах ………………………………… 7 2. Мобиусын хуудсыг зүсэх: ………………………………………… ………… ………… .8 а) хуудасны дагуу хоёр тэнцүү хэсэгт …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… .9 б) туузыг мушгих үед ……… ………… ……………………… 10 в) хэд хэдэн туузыг зөв өнцгөөр наасан …………………………… 11 г) хуудасны дагуу 3-аар хэд хэдэн зүсэлт; 4; 5; хэсгүүд.…………………… .12 3. Туршилтын үр дүнд үндэслэн хүснэгтүүдийг бөглөнө үү………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………… 12 5. Мобиусын зурвас бүхий заль мэх …………………………………………………………………………………………… ..13 6. Олс ба хантаазны туршилт. …………………………………………… 14 III. Мобиусын зурвасын практик хэрэглээ …………………………………… .15 IV Дүгнэлт ……………………………………………………………… …… ………………………… .16 V. Ашигласан уран зохиолын жагсаалт ……………………………………………… ..17 VI. Хавсралт …………………………………………………………………………………………………………………………………. 5-р анги (Иван Шалыгины авсан гэрэл зураг, видео бичлэг) ………………………………………………………………………………………………… ……… 17 3 Оршил Төслийн ерөнхий шинж чанар: 1. "Сансар дахь геометр" төсөл нь урт хугацааны (Хоёр, гуравдугаар улиралд зориулагдсан) 2. Төсөл нь танин мэдэхүйн, судалгаа. (Судалгаа, туршилт, системчлэх, практикт хэрэглэх). 3. Бүлгийн төсөл (5-р ангийн сурагчидтай дугуйлангийн хурал дээр ажиллах) 4. Өргөтгөсөн төсөл. ("Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард" бүсийн бага хуралд хураангуй болон илтгэл хэлбэрээр төслийн хэсгийг хамгаалж, сургуулийн хүрээнд зохион байгуулна) 5. Төслийн "Мобиусын хуудасны нууц" сэдвээр хийсэн хэсгийн үр дүнд үндэслэн IV бүлгийн дарга Иван Шалыгин эссэ бэлтгэж, үг хэлэв. Ажлын зорилго: 1. Математикийн шинэ салбар болох "Топологи", түүний үндсэн ойлголт, даалгавартай танилцаж, практикийн зорилгоор судалгаа хийж, өөртөө нээлт хийх. 2. Мобиусын навчны анхны санааг бий болго. Эргэн тойрон дахь ертөнцөд математик хандлагын үндсэн арга техниктэй танилц. 3. Туршилтын явцад олж авсан загваруудын судалгаа хийх, үр дүнг тайлбарлах, хүснэгт бөглөх, үр дүнгийн зураг, зургийг гүйцэтгэхэд суралцах. 4. Үндэслэлтэй дүгнэлт хийж, нөхцөл байдлыг шийдвэрлэх санааг бий болгож, шинэ асуудал, асуудлыг шийдвэрлэхэд мэдлэгээ ашиглаж сур. 5. Практик туршилт хийх. 6. Бодож буй материалын амьдралтай холбоо тогтоох. 4 Түүхэн мэдээлэл Август Фердинанд Мобиус (1790-1868) Гадаа бороо орж байв. Гаанс татсан, сүүтэй дуртай кофены аяга уусан. Цонхноос харвал гунигтай байв. Нэг хүн сандал дээр сууж байв. Бодол өөр байсан ч яагаад ч юм онцгой зүйл санаанд орж ирсэнгүй. Зөвхөн энэ өдөр алдар нэрийг авчирч, Август Фердинанд Моебиусын нэрийг мөнхжүүлэх нь агаарт л байв. Түүний хайртай эхнэр өрөөний босгон дээр гарч ирэв. Түүний сэтгэл санаа тийм ч сайн байгаагүй нь үнэн. Мобиусын амар амгалан гэр бүлийн хувьд жилдээ гурван удаа гаригуудын жагсаал үзэхтэй адил гайхалтай зүйл байсанд тэрээр уурлаж, тийм дунд зэргийн зантай үйлчлэгчийг даруй халахыг хатуу шаардсан гэвэл илүү зөв байх болно. тэр туузыг ч зөв оёж чадаагүй. Профессор өөдгүй соронзон хальс руу хөмсөг зангидан: "Өө тийм, Марта! Охин тийм ч тэнэг биш байна. Эцсийн эцэст энэ бол нэг талт дугуй гадаргуу юм. Тууз нь дотор талгүй!" Нээлттэй гадаргуу нь математикийн үндсийг хүлээн авч, түүнийг тодорхойлсон математикч, одон орон судлаачийн нэрээр нэрлэгдсэн байна.Топологи - "Байршлын геометр" Германы математикч Август Фердинанд Мобиус нэг талт гайхалтай цаас, бүхэл бүтэн цаас байдгийг нээсэн цагаас хойш. Математикийн топологи хэмээх шинэ салбар хөгжиж эхэлсэн.Биеийн гадаргууг голчлон судалдаг бөгөөд бие биенээсээ хамааралгүй мэт санагдах объектуудын математикийн хамаарлыг олдог.Жишээ нь топологийн үүднээс авч үзвэл макарон самар болон аяга нь эдгээр объект тус бүр нь нүхтэй байдагтай холбоотой боловч бусад бүх талаараа ялгаатай байдаг.5 Мобиусын зурвас нь топологийн шинэ шинжлэх ухааны үндэс суурийг тавьсан.Энэ үгийг Иоганн Бенедикт Листинг зохион бүтээжээ. , Геттингений их сургуулийн профессор, Лейпциг дэх мэргэжил нэгттэйгээ бараг нэгэн зэрэг нэг талт гадаргуугийн анхны жишээ болгон бидний мэддэг, нэг удаа мушгирсан соронзон хальсыг санал болгосон. Энэ шинжлэх ухаан залуу, тиймээс зальтай. Үгүй бол та үүнд хүлээн зөвшөөрөгдсөн тоглоомын дүрмийн талаар хэлж чадахгүй. Топологич нь ямар ч дүрсийг нугалах, мушгих, шахах, сунгах эрхтэй - түүгээр юу ч хийх, зүгээр л урах, нааж болохгүй. Үүний зэрэгцээ тэрээр юу ч болоогүй, түүний бүх шинж чанар өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна гэж үзэх болно. Түүний хувьд зай ч, өнцөг, талбай ч хамаагүй. Тэгээд түүнийг юу сонирхож байна вэ? Гамшиг тохиолдохоос бусад тохиолдолд ямар ч хувиргалтаар өөрчлөгддөггүй дүрсүүдийн хамгийн ерөнхий шинж чанарууд нь зургийн "тэсрэлт" юм. Тиймээс заримдаа топологийг "тасралтгүй байдлын геометр" гэж нэрлэдэг. Үүнийг мөн "резинэн геометр" гэсэн нэрээр нэрлэдэг, учир нь топологич бүх дүрсээ хүүхдийн хийлдэг бөмбөгний гадаргуу дээр байрлуулж, хэлбэрээ эцэс төгсгөлгүй өөрчлөх, бөмбөг хагарахгүй байхын тулд ямар ч зардал гарахгүй. , жишээлбэл. , гурвалжны талууд муруй болж хувирах бөгөөд топологичдын хувьд энэ нь гүн хайхрамжгүй байдаг.Топологи нь дүрсийн ямар ер бусын шинж чанарыг судалдаг вэ?Одоог хүртэл бид зөвхөн нэг шинж чанарын тухай ярьж ирсэн - нэг талт байдал Хэрэв та гадаргуугийн дагуу хөдөлж байвал. Мобиусын зурвасыг нэг чиглэлд, хил хязгаарыг нь огтолгүйгээр хоёр талт гадаргуугаас (жишээлбэл, бөмбөрцөг, цилиндр) ялгаатай нь та эхтэй харьцуулахад урвуу байрлалтай байх болно. энэ соронзон хальсны дагуу дугуйлж, цагийн зүүний дагуу нэгэн зэрэг тойрон эргэвэл эхний байрлалд дугуйны чиглэл нь цагийн зүүний эсрэг болно.Топологийн судалдаг бусад шинж чанарууд нь тасралтгүй байдал, холболт, чиг баримжаа юм.Жишээ нь, тасралтгүй байдал нь топологийн өөр нэг шинж чанар юм. О. Хэрэв та агаарын замын схем, газарзүйн газрын зургийг харьцуулж үзвэл 6 Аэрофлотын цар хүрээ нь нийцэхгүй байгаа эсэхийг шалгаарай - жишээлбэл, Свердловск Москвагаас Владивосток хүртэлх замын дунд байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч газарзүйн газрын зургийн хооронд нийтлэг зүйл байдаг. Москва үнэхээр Свердловсктэй, Свердловск Владивостоктой үнэхээр холбоотой. Иймээс топологич урьд нь хөрш байсан цэгүүд нь нөгөөгийнхөө хажууд, цаашаа хэвээр байвал газрын зургийг хүссэнээрээ гажуудуулж чадна. Тиймээс, топологийн үүднээс авч үзвэл тойрог нь дөрвөлжин эсвэл гурвалжингаас ялгагдахгүй, учир нь тасралтгүй байдлыг зөрчихгүйгээр тэдгээрийг өөр болгон хувиргахад хялбар байдаг. Мобиусын туузан дээрх дурын цэгийг өөр ямар ч цэгтэй холбож болох тул Эшерийн сийлбэр дээрх шоргоолж хэзээ ч "тууз"-ын ирмэгээр мөлхөх шаардлагагүй болно. Ямар ч завсарлага байхгүй - бүрэн тасралтгүй байдал бий. Цаасан дээр хийсэн туршилт. Мобиусын хуудсыг хийхийн тулд та хангалттай сунгасан цаасан тууз авч, тэдгээрийн аль нэгийг нь эргүүлсний дараа туузны үзүүрийг холбох хэрэгтэй. Мобиусын навчны гадаргуу дээр байгаа хүн түүн дээр үүрд алхаж болно. Одоо бид цаасан туузаас олж авсан гадаргуу, нүхтэй хэд хэдэн туршилтыг авч үзэх болно. Ойролцоогоор 30-40 см урт, 3 см өргөн тууз ашиглах нь хамгийн тохиромжтой. Юуны өмнө бид хоёр цагираг наадаг - нэг нь энгийн, нөгөө нь эрчилсэн. 7 Бөгжүүд нь мэдээжийн хэрэг маш төстэй; гэхдээ цагирагийн нэг тал дээр тасралтгүй шугам татвал юу болох вэ? Мобиус эрчилсэн цагираг дээр үүнийг хийхдээ харандаа нь цааснаас салаагүй ч шугам нь хоёр талдаа урсаж байгааг олж мэдэв. Энэ нь манай бөгж зөвхөн нэг талтай гэсэн үг үү? Яг одоо бөгжөө туршаад үзээрэй. 1. Тус бүрийн зөвхөн нэг талыг нь бүрэн будна. Тэд хэдэн гадаргуутай вэ? Мобиусын туузны нэг талыг хэсэг хэсгээр нь зурж, туузны ирмэгийг давахгүйгээр зурж үзээрэй. Тэгээд юу гэж? Та Мобиусын хуудсыг бүхэлд нь будах болно! Энэ хуудас яагаад ийм сонирхолтой байна вэ? Мөн Мобиусын навч нь зөвхөн нэг талтай байдаг. Бидний харьцдаг гадаргуу бүр (цаас, дугуй, волейболын камер) хоёр талтай байдаг гэдэгт бид дассан. 8 2. Цагираг бүрийн нэг талд цэг тавьж, тэмдэглэсэн цэг рүү буцаж иртэл үргэлжилсэн шугамыг зур. Мобиусын тууз хэдэн ирмэгтэй вэ? Хоёр дахь гайхшрал: Мобиусын навчны хил нь нэг бөгөөд ердийн цагираг шиг хоёр хэсгээс бүрддэггүй. Цагирагуудыг уртын дагуу хагасаар нь зүсэж туршъя. Одоо танд хоёр тусдаа цагираг байна. Гэхдээ энэ юу вэ? Хоёр бөгжний оронд нэг бөгж авах болно! Түүгээр ч зогсохгүй анхны бөгжөөсөө илүү том, нимгэн. Цаашдын мушгиралт, зүсэлтийн үр дүнг хүснэгтэд бичнэ үү. Хэд хэдэн эргэлт. 9 Хэрэв та бүтэн эргэлт хийвэл юу болох вэ? Үүссэн цагираг хэдэн ирмэгтэй вэ? Хэдэн гадаргуутай вэ? Хэрэв та уртын дагуу талыг нь огтолвол юу болох вэ? Хагас эргэлттэй судалгаа хийцгээе. Бүтэн эргэлтийн хувьд нэг ба хагас эргэлт. Шинж чанаруудыг тайлбарлаж, үр дүнгийн ноорог зургийг хийцгээе. Мобиусын зурвас нь сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Хэрэв та туузыг хоёр Мобиусын туузны оронд ирмэгээс нь ижил зайтай шугамын дагуу хагасаар нь таслахыг оролдвол та нэг урт хоёр талт (Мобиусын туузаас хоёр дахин их мушгиа) тууз авах бөгөөд үүнийг илбэчид "Афган тууз" гэж нэрлэдэг. . Хэрэв та одоо энэ соронзон хальсыг дундуур нь таславал хоёр бие биенээ ороосон болно. Бусад сонирхолтой хамтлагуудын хослолыг хоёр ба түүнээс дээш хагас эргэлттэй Mobius хамтлагуудаас авах боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв та гурван хагас эргэлттэй тууз хайчлах юм бол туузан туузыг буржгар зангилаа олж авна. Нэмэлт эргэлт бүхий Мобиусын туузны зүсэлт нь парадром цагираг гэж нэрлэгддэг гэнэтийн дүрсүүдийг өгдөг. Судалгааны хүснэгтэд мушгих, зүсэх үр дүнг тэмдэглэе. Судалгааны хүснэгт No1 Нэг соронзон хальсны тоо p / p Хагас эргэлтийн тоо 1 0 Уртаар нь хагас зүссэний үр дүн Хоёр цагираг Шинж чанар 2 1 Нэг цагираг Хоёр дахин урт цагираг 3 2 Хоёр цагираг Ижил урттай цагираг хоорондоо холбогдсон 4 3 Нэг цагираг хоёр дахин урт зангилаатай Бөгж нь хоёр дахин урттай байна 10 Ноорог Дүгнэлт: Соронзон хальсыг наахаас өмнө хоёр удаа мушгивал юу болох вэ (өөрөөр хэлбэл 360 хэмд 4 хагас эргэлт). градус)? Ийм гадаргуу нь аль хэдийн хоёр талт байх болно. Бөгжийг бүхэлд нь будахын тулд та туузыг нөгөө тал руу нь эргүүлэх хэрэгтэй болно. Энэ гадаргуугийн шинж чанар нь гайхалтай биш юм. Эцсийн эцэст, хэрэв та үүнийг дундуур нь хайчилж авбал та хоёр ижил цагираг авах болно, гэхдээ дахин цоожтой болно. Тэд тус бүрийг дунд хэсэгт нь дахин хайчилж авбал та аль хэдийн бие биетэйгээ холбогдсон дөрвөн цагиргийг олох болно. Та одоо цагирагуудыг нэг нэгээр нь урж болно - мөн үлдсэн хэсэг нь хоорондоо холбогдсон хэвээр байх болно. Хэрэв та цаасан тууз биш, харин ямар ч даавууны тууз авбал туузны нэг үзүүрийг гурван бүтэн эргүүлээрэй, өөрөөр хэлбэл. 540 градус, хоёр үзүүрийг хооронд нь оё. Дараа нь хайч аваад туузыг дундуур нь болгоомжтой хайчилж, дахин хайчилж авбал та гурван ижил цагирагтай болно. Олон тууз Та давхар бөгжийг таслахад юу болохыг бид гайхах болно. Хоёр цагираг бэлтгэ: нэг энгийн ба нэг Möbius бөгж. Тэдгээрийг зөв өнцгөөр нааж, дараа нь хоёуланг нь уртаар нь таслана. Судалгааны хүснэгт № 2 № p / p Бөгжний тоо 1 Бие биедээ перпендикуляр байрладаг хоёр цагираг. Туузан бүрийн дагуу зүсэх үр дүн Гурван цагираг шинж чанар Ижил урттай хоёр цагираг, гурав дахь нь хоёр дахин урт байна. Богино урттай хоёр цагираг гуравдахь цагирагтай хосоор нийлсэн байна 11 Ноорог Нэмэлт асуулт Хэд хэдэн зүсэлт Хэрэв та туузыг ирмэгээс нь өргөнийх нь 1/3 зайд огтолж авбал хоёр цагираг авна. Гэхдээ! Түүнтэй том жижиг нэг нь холбогдсон. Судалгааны хүснэгт No3 No Зүссэн тоо 1 Гурван хэсэг Соронзон хальс тус бүрийн дагуу зүссэний үр дүн Хоёр цагираг Шинж чанар Ижил урттай нэг цагираг, хоёр дахь нь хоёр дахин урт нь хоорондоо холбогдсон байна 12 Ноорог 2 Дөрвөн хэсэг Хоёр цагираг Хоёр цагираг хоёулаа хоёр урт тайрах шиг, бие биетэйгээ холбоотой найз. Бөгжний нэг нь нөгөөг нь холбосон 3 Таван хэсэг Гурван цагираг Хоёр дахин урт хоёр цагираг хоорондоо холбогдож, анхны урттай гурав дахь богино цагирагаар хос болон холбогдсон байна Дүгнэлт: Хэрэв та мөн жижиг бөгжийг тайрч авбал дунд, дараа нь та маш "нарийн төвөгтэй" нэхэх хоёр цагираг байх болно - ижил хэмжээтэй, гэхдээ өргөн нь өөр өөр Мобиусын зурвас бүхий заль мэх Физикчид бүх оптик хуулиуд нь Мобиусын зурвасын шинж чанар, тухайлбал, тусгал дээр суурилдаг гэж үздэг. толин тусгал бол цаг хугацааны хувьд богино хугацааны, секундын 100 хувь үргэлжилдэг нэг төрлийн дамжуулалт юм, учир нь бид бидний өмнө харж байна ... тийм ээ, бидний толь шиг давхар!Мобиусын зурвас нь ер бусын шинж чанараасаа шалтгаалан өргөн тархсан. Сүүлийн 75 жилийн турш ид шидтэнгүүд хэрэглэж байсан.Хэрэв та туузыг ирмэгээс нь ижил зайтай шугамын дагуу хайчлахыг оролдвол хоёр Мобиусын туузны оронд нэг урт хоёр талт (Мобиусын туузаас хоёр дахин том) туузыг илбэчид гэж нэрлэдэг. "Афган тууз". Бидний эрчилсэн туузны цагирагтай хийсэн судалгаа нь хэд хэдэн заль мэхийг харуулж чадна. Үүний нэг нь энд байна: Бид үзэгчдэд гурван том цаасан цагираг өгдөг бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг цаасан туузны үзүүрийг наах замаар олж авсан. (Судалгааны Хүснэгт 1). Үзэгч туузны дунд хэсгийн дагуух цагирагуудыг хайчаар хайч, эхлэл цэг рүүгээ буцна. Үүний үр дүнд эхнийх нь зочид буудлын хоёр бөгж авах болно. Хоёр дахь нь - нэг цагираг, гэхдээ хоёр дахин урт, гурав дахь нь - хоёр цагираг хоорондоо холбогдсон. 13 Гурван удаа эрчилсэн туузыг цагирагаар дамжуулж үзүүрийг нь нааж, дундуур нь хайчилж авбал бид цагирагны эргэн тойронд зангидсан нэг том цагираг авна. Үүний нэгэн адил судалгааны хүснэгт 2 ба 3-ыг фокус хийхэд ашиглаж болно Олс ба хантаазтай туршилт. Мобиусын тууз бүхий фокусууд нь топологийн голомтуудын нэг хэсэг бөгөөд тасралтгүй хувиргалт хийх үед өөрчлөгддөггүй уян хатан материал шаардлагатай байдаг: сунгах, шахах. Туршилт хийхийн тулд ороолт, хантааз, олс хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, бид өөрсдийгөө асуудалтай нөхцөл байдлыг бий болгосон. Туршилтын тусламжтайгаар бид энэ байдлаас гарах арга замыг хайж байна. Туршилт 1. Зангилаа уях асуудал. Ороолтны үзүүрийг суллахгүйгээр яаж зангидах вэ? Үүнийг ингэж хийж болно. Ороолтыг ширээн дээр тавь. Гараа цээжин дээрээ наа. Тэднийг энэ байрлалд үргэлжлүүлэн барьж, ширээн дээр бөхийж, ороолтны нэг үзүүрийг гар тус бүрээр нь ээлжлэн ав. Гараа дэлгэсний дараа ороолтны голд автоматаар зангилаа үүснэ. Топологийн нэр томьёо ашиглан үзэгчийн гар, бие, ороолт нь “гурван навчит” зангилаа хэлбэртэй битүү муруйг үүсгэдэг гэж хэлж болно.Гарыг салгахад зангилаа зөвхөн гараас ороолт руу шилждэг.Туршилт 2. Хантаазыг хүнээс тайлалгүйгээр дотор нь эргүүлэх.Энэ туршлагыг харуулахын тулд хантаазны товчийг тайлж, өмссөн хүний ​​нурууны ард гарт нь татах шаардлагатай.Хэлцэг нь агаарт өлгөөтэй байх болно, гэхдээ мэдээж гараа атгахгүй байх болно.Одоо хантаазны зүүн талыг аваад хантаазыг үрчийлгэхгүйг хичээн аль болох баруун гарын нүх рүү түлхэх хэрэгтэй.Дараа нь баруун гарын нүхийг аваад ижилхэн гарын нүх рүү түлхэх хэрэгтэй. ижил чиглэлд хантаазыг дэлгэж, эзэн дээр нь татахад л үлддэг. Хантаазыг дотор нь эргүүлнэ. Хантаазны товчийг тайлахгүйгээр ижил туршилтыг хийж болно. Ганц эвгүй тал нь хантаазтай байх болно. толгой дээгүүр арилгахад хэтэрхий нарийн. Тиймээс хантаазыг цамцаар сольж болно. Цамцны манипуляци нь яг адилхан. Энэ туршилтыг өөртөө үзүүлж болох бөгөөд үүний тулд та 14-ийг гарын утсаар холбож, хөдөлгөөний эрх чөлөөг хангахын тулд тэдгээрийн хооронд 40 сантиметр зай үлдээж, гараа урд нь тэврэх хэрэгтэй. Туршилт 3. Олсны цагиргийг задлах. Хоёр оролцогчийг гараараа олсоор уядаг. Тиймээс гар, олс нь хоорондоо холбогдсон хоёр цагираг үүсгэдэг. Олсыг тайлахгүйгээр задлах шаардлагатай. Энэ туршлагын хариулт нь оролцогчид гартаа хоёр гогцоо байгаа явдал юм. Нэг олсыг нөгөө олсны гар дээрх гогцоонуудын аль нэгээр нь татаж, гараараа гогцоог арилгах шаардлагатай. III. Мобиусын туузны практик хэрэглээ Түүний хамгийн гайхалтай шинж чанар нь нэг талдаа, хоёр өнгөөр ​​будаж болохгүй, дээр нь мөлхөж буй шавжнууд ирмэгийг нь огтолгүйгээр хоёр талыг тойрон эргэлддэг. Энэ өмч нь практик хэрэглээг олсон: олон төхөөрөмжийг патентжуулсан, жишээлбэл, хурцлах бүс, хэвлэх төхөөрөмжид зориулсан бэхний тууз, туузан дамжуулагч болон бусад техникийн шийдлүүд. Мобиус хуудасны нэг талын шинж чанарыг техникт ашигласан: хэрэв туузан дамжуулалтыг Möbius хуудас хэлбэрээр хийсэн бол түүний гадаргуу нь ердийн цагирагтай харьцуулахад хоёр дахин удаан элэгддэг. Энэ нь бодит хэмнэлт юм. Мобиус туузыг хувцасны үйлдвэрлэлд даавууны анхны зүсэлтээр ашиглах боломжтой шинж чанарууд Хүүхдийн тоглоомын пүршний механизм ихэнхдээ бүтэлгүйтдэг, учир нь хүүхдүүд хавар нь аль хэдийн мушгирсан үед ороохыг оролддог. хязгаар. Цагираг хэлбэртэй эрчилсэн пүрш нь хүүхдийн тоглоомын "мөнхийн хөдөлгөөнт машин" болж чаддаг. Шинэ механизмыг ашиглаж болох өөр нэг жишээ бол гэрэл зураг эсвэл кино камерын хаалт (дижитал биш) юм. Уламжлалт загварт хаалтыг сулласны дараа хаалтны хөшигний ангархайг хааж, дараа нь пүршийг нэгэн зэрэг цэнэглэж анхны байрлалдаа буцааж өгөх шаардлагатай. Үгүй бол хөшигний ангархайг эсрэг чиглэлд өнгөрөхөд хүрээ гэрэлтэх болно. Хөшигний төхөөрөмж нь маш төвөгтэй болж хувирдаг. Мобиус туузыг ашигласнаар дизайныг хялбарчлах, найдвартай байдал, бат бөх чанар, хурдыг нэмэгдүүлэх боломжтой болсон. Олон тооны матриц принтерүүдэд бэхний тууз нь нөөцийг нэмэгдүүлэхийн тулд Mobius тууз шиг харагддаг. Мобиусын туузны ачаар олон төрлийн шинэ бүтээлүүд гарч ирэв. Тиймээс, тухайлбал, дуу хураагуурт зориулсан тусгай хуурцаг бүтээж, "хоёр талдаа" соронзон хальснуудыг байраа солихгүйгээр сонсох боломжтой болсон.Галзуу хулгана хөлөглөсөнд хичнээн олон хүн баярласан бол. Энэ тоглоом нь зөвхөн математикчдад маш их таалагддаг. Одоо Вашингтон дахь Түүх, технологийн музейн үүдэнд Мобиусын туузны хөшөө байдаг нь хоосон биш юм - хагас эргэлтээр эрчилсэн ган тууз индэр дээр аажмаар эргэлдэж байна. Барималч Макс Билл Мобиусын тууз хэлбэртэй бүхэл бүтэн цуврал баримлыг бүтээжээ. Мавриц Эшер маш олон янзын зураг үлдээжээ. IV. Дүгнэлт Мобиус гайхалтай нээлтээ эртнээс хийсэн хэдий ч өнөөдөр маш их алдартай болсон. Энгийн зурвас цаас, гэхдээ зөвхөн нэг удаа мушгиж, дараа нь цагираг болгон наасан даруйдаа нууцлаг Мобиусын тууз болж хувирч, гайхалтай шинж чанарыг олж авдаг. Гадаргуу ба орон зайн ийм шинж чанарыг математикийн тусгай салбар - Топологи судалдаг. Энэ шинжлэх ухаан нь маш төвөгтэй тул тэд үүнийг сургуульд дамжуулдаггүй. Зөвхөн институтэд. Гэхдээ цаг хугацаа өнгөрөхөд бид алдартай топологич болж, гайхалтай нээлтүүдийг хийх ч юм билүү, хэн мэдлээ. Магадгүй зарим нарийн төвөгтэй гадаргууг бидний нэрээр нэрлэх болно. "Мобиус навчны нууц" төсөл дээр бүлгийнхээ залуустай хамтран ажиллаж байхдаа би олон шинэ, сонирхолтой зүйлийг сурч мэдсэн: номын сангаас багшийн санал болгосон сэдвээр уран зохиол хайж, уншиж, шаардлагатай зүйлийг сонгож сурсан. материал; Интернет дэх нийтлэлийг ашиглах, хийсвэр хийхэд шаардлагатай дүрслэлийг сонгох, хүснэгт байгуулах, бөглөх; "Мобиус зурвас" дээр судалгаа хийх (шаардлагатай тооны эргэлт хийх, цавуу, зүсэх); үүссэн цагиргийг зураг авч, хүснэгтэд оруулах ёстой; танилцуулга, видео туршилт хийх; чуулган дээр үг хэлж, ид шид үзүүлээрэй. Энэ бүхэн нэлээд төвөгтэй, цаг хугацаа шаардсан боловч маш сонирхолтой юм. 16 "Геометрийн хамгийн залуу бөгөөд хамгийн хүчирхэг салбар болох топологи нь зөн совин ба логик хоорондын зөрчилдөөний үр дүнтэй нөлөөг тодорхой харуулж байна" Р.Курант. 17 Уран зохиол 1. Гарднер М "Математикийн гайхамшиг ба нууцууд", Москва, "Шинжлэх ухаан" 1986 2. Громов А.С. "Математикийн хичээлээс гадуурх даалгавар, 8-9-р анги" Москва, Гэгээрэл 3. Н.Лангдон, Ч.Снеп "Математикаар замдаа" Москва, Сурган хүмүүжүүлэх ухаан, 1987 4. Шинжлэх ухааны алдартай сэтгүүл "Квант" 1975 №7, 1977 №7 ... 5. Савин А.П. "Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг", М, Гэгээрэл, 1985 6. Якушева Г.М "Сургуулийн хүүхдийн агуу нэвтэрхий толь. Математик ”, Москва,“ СЛОВО ”, Эксмо, 2006 7. wwwRambler.ru 18 Хавсралт Математикийн дугуйлангийн ангид “Мобиусын зурвас” лабораторийн ажил 19 Мобиусын туузны нэг талыг хэсэг хэсгээр нь будах гэж оролдоорой. соронзон хальсны ирмэг дээр. Тэгээд юу гэж? Та Мобиусын хуудсыг бүхэлд нь будах болно! 20 Цагираг бүрийн нэг талд цэг тавьж, тэмдэглэсэн цэг рүү буцаж иртэл үргэлжилсэн шугам зурна 21 Бөгжийг уртын дагуу хоёр хэсэгт хувааж туршина. 22 Одоо чамд хоёр тусдаа бөгж байна. Гэхдээ энэ юу вэ? Хоёр бөгжний оронд нэг бөгж авах болно! Түүгээр ч зогсохгүй анхны бөгжөөсөө илүү том, нимгэн. 23 Эргэлтийн болон зүсэлтийн үр дүнг судалгааны хүснэгтэд тэмдэглэе. 24 Хоёр цагираг нь хуваагдсан цагирагаасаа хоёр дахин урт бөгөөд хоорондоо холбогдсон байна. Бөгжний нэг нь нөгөөгөө холбосон 25 Ижил урттай нэг цагираг, хоёр дахь нь хоёр дахин урт нь хоорондоо холбогддог 26 Мобиусын туузны нэмэлт эргэлттэй зүсэлт нь парадром цагираг гэж нэрлэгддэг гэнэтийн дүрсүүдийг өгдөг. 27

Хамгийн энгийн бөгөөд нэгэн зэрэг хамгийн төвөгтэй, хачирхалтай объектуудын нэг бол Мобиусын зурвас юм. Энэ зургийн бүх өвөрмөц байдлыг үл харгалзан та үүнийг өөрөө хийж, энэ нийтлэлд дурдсан бүх туршилтыг хийж болно.

Мобиусын зурвас нь гурван хэмжээст орон зайд нэг талыг барьсан хамгийн энгийн чиг баримжаагүй гадаргуу юм. Үүнийг ихэвчлэн Мобиусын гадаргуу гэж нэрлэдэг бөгөөд тасралтгүй (топологийн) объект гэж нэрлэдэг.

Домогт өгүүлснээр бол Германы одон орон судлаач, математикч, механикч Август Фердинанд Мобиус гэрт нь ажилладаг шивэгчин даавуун туузыг цагираг болгон оёж, нэг үзүүрийг нь санамсаргүйгээр эргүүлсний дараа энэ биетийг олж илрүүлжээ. Үүний үр дүнг харсан Мобиус азгүй охиныг загнахын оронд: "Өө тийм, Марта! Охин тийм ч тэнэг биш. Эцсийн эцэст энэ бол нэг талт цагираг гадаргуу юм. Туузны буруу тал байхгүй!"

Август Фердинанд Мобиус.

Соронзон хальсны шинж чанарыг судалж үзээд Мобиус энэ тухай нийтлэл бичиж Парисын Шинжлэх ухааны академид илгээсэн боловч хэвлэгдэхийг хүлээсэнгүй. Математикч нас барсны дараа түүний материалууд хэвлэгдсэн бөгөөд ер бусын топологийн гадаргууг түүний нэрээр нэрлэжээ.

Мобиусын туузыг хийх нь маш энгийн: ABCD туузыг аваад дараа нь A ба D цэгүүдийг B ба C-тэй холбосон байдлаар нугалав.

Мобиусын зурвас хийх. Үр дүн нь маш сонирхолтой шинж чанартай, анх харахад жирийн нэгэн зураг юм.

Мобиусын зурвасын ер бусын шинж чанарууд

Нэг талыг барьсан байдал
Бодит ертөнцөд тааралддаг бүх объектын гадаргуу (жишээ нь цаас) хоёр талтай байдагт бид бүгд дассан. Гэхдээ Мобиусын зурвасын гадаргуу нь нэг талыг барьсан. Үүнийг соронзон хальс дээр будах замаар хялбархан шалгаж болно. Хэрэв та харандаа аваад соронзон хальсыг эргүүлэлгүйгээр хаанаас ч будаж эхэлбэл эцэст нь соронзон хальс бүрэн будагдах болно.

Хэрэв хэн нэгэн нь Мобиусын туузны гадаргуугийн зөвхөн нэг талыг будахыг оролдвол тэр даруй хувинтай будаг руу дүрэх нь дээр.

Үүнийг дараах байдлаар хялбархан шалгаж болно: хэрэв та соронзон хальсны аль ч хэсэгт цэг тавьсан бол туузны гадаргуу дээрх бусад цэгүүдтэй ирмэгийг огтолгүйгээр холбож болно. Тиймээс энэ объектын гадаргуу тасралтгүй байх нь харагдаж байна.

Мобиусын зурвас ямар ч чиглэлгүй
Хэрэв та Мобиусын зурвасыг бүхэлд нь туулж чадвал аяллын эхлэл цэг рүү буцах мөчид та өөрийнхөө толин тусгал болж хувирах болно.

Хэрэв туузыг дундуур нь зүссэн бол энэ тохиолдолд зөвхөн нэг л соронзон хальсыг авах болно, гэхдээ логик нь тэдгээрийн хоёр нь байх ёстой гэж хэлдэг бөгөөд хэрвээ та туузны өргөний гуравны нэгээр ирмэгээс ухарч, Дараа нь та жижиг, том гэсэн хоёр цагираг авах болно ... Дунд хэсэгт нь жижиг цагирагны уртааш зүсэлт хийсний дараа бид ижил хэмжээтэй, гэхдээ өргөнөөрөө өөр өөр хоорондоо холбогдсон хоёр цагиргийг авдаг.

Мобиусын туузны практик хэрэглээ
Энэхүү ер бусын топологийн объектын шинж чанарт суурилсан хэд хэдэн шинэ бүтээл аль хэдийн бий. Жишээлбэл, матриц хэвлэгчийн бэхний туузыг Mobius тууз болгон өнхрүүлсэн нь илүү удаан үргэлжилдэг, учир нь энэ тохиолдолд элэгдэл нь түүний бүх гадаргуу дээр жигд явагддаг. Энэхүү геометрийн объектын хэлбэрээр эрчилсэн гал тогооны холигч эсвэл бетон зуурагчийн ир нь эрчим хүчний зарцуулалтыг 20% бууруулж, улмаар үүссэн хольцын чанар сайжирдаг.

Давхар мушгиа хэлбэртэй ДНХ полимер нь Мобиусын туузны хэлтэрхий бөгөөд ийм учраас ДНХ кодыг тайлж ойлгоход маш хэцүү байдаг гэсэн таамаглал байдаг.

Зарим физикчид оптик эффектүүд нь энэ парадоксик объекттой ижил шинж чанарууд дээр суурилдаг гэж хэлдэг тул толинд бидний тусгал нь Мобиусын зурвасын шинж чанаруудын нэг болох онцгой тохиолдол юм.

Энэхүү математикийн объекттой холбоотой өөр нэг таамаглал бол манай Орчлон ертөнц өөрөө ийм соронзон хальсанд хаалттай бөгөөд өөрийн толин тусгалтай байдаг. Учир нь, хэрэв бид үргэлж Мобиусын зурвасын дагуу нэг чиглэлд хөдөлдөг бол эцэст нь бид аяллынхаа эхлэлийн цэг дээр өөрсдийгөө олох болно, гэхдээ аль хэдийн толин тусгал дүр төрхөөрөө байх болно.

Нууцлаг Klein шил
Мобиусын туузан дээр өөр нэг гайхалтай дүрс бий - Клейн шил. Энэ бол ёроолд нь нүхтэй лонх юм. Лонхны хүзүү нь сунасан, нугалж, лонхны аль нэг хананд дамждаг.

Клейн шил

Ийм дүрсийг энгийн гурван хэмжээст орон зайд хуулбарлах боломжгүй, учир нь хүзүү нь лонхны хананд хүрэх ёсгүй бөгөөд ёроолд нь нүхтэй холбогдсон байдаг. Тиймээс зөвхөн нэг талтай гадаргууг олж авдаг. Klein лонх ба Мобиусын зурвас нь эрдэмтэд, зохиолчдын анхаарлыг татсаар байна.

А.Дойч нэгэн өгүүллэгтээ Нью-Йоркийн метронд нэг өдөр зам хөндлөн гарч, метро тэр чигтээ Мобиусын зурвасыг санагдуулам болж, төмөр замыг дагасан цахилгаан галт тэрэгнүүд алга болж, хэдхэн сарын дотор дахин гарч ирсэн тухай бичжээ. дараа нь.

Александр Митчийн "The Giveaway Game" киноны баатрууд Клейн савтай төстэй орон зайд баригдсан байдаг.

Дэлхий бидний хувьд асар их нууц хэвээр байгаа бөгөөд ойрын ирээдүйд эрдэмтэд сансрын өөр ямар сонин содон зүйлсийг олж мэдэхийг хэн мэдэх билээ.