Mobius strip და მისი სიურპრიზები. მეცნიერული სათამაშოები

წარმოიდგინეთ ზედაპირი და მასზე ჭიანჭველა ზის. შეძლებს თუ არა ჭიანჭველას ზედაპირის უკანა მხარეს ცოცვას - ფიგურალურად რომ ვთქვათ, მის ქვედა მხარეს - კიდეზე ასვლის გარეშე? Რათქმაუნდა არა!

ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსი (1790-1868)

ცალმხრივი ზედაპირის პირველი მაგალითი, რომლის ნებისმიერ ადგილას ჭიანჭველას შეუძლია დაცოცოს კიდეზე ასვლის გარეშე, მობიუსმა 1858 წელს მისცა.

მობიუსის ზოლი, რომელსაც ასევე უწოდებენ მარყუჟს, ზედაპირს ან ფურცელს, არის ისეთი მათემატიკური დისციპლინის შესწავლის ობიექტი, როგორიცაა ტოპოლოგია, რომელიც შეისწავლის ფორმების ზოგად თვისებებს, რომლებიც შენარჩუნებულია უწყვეტი გარდაქმნების დროს, როგორიცაა გრეხილი, გაჭიმვა, შეკუმშვა, მოხრა. და სხვები, რომლებიც არ არის დაკავშირებული მთლიანობასთან ... ასეთი ფირის საოცარი და უნიკალური თვისება ის არის, რომ მას აქვს მხოლოდ ერთი მხარე და კიდე და საერთო არაფერი აქვს მის მდებარეობასთან სივრცეში. მობიუსის ზოლი ტოპოლოგიურია, ანუ უწყვეტი ობიექტი უმარტივესი ცალმხრივი ზედაპირით საზღვრით ჩვეულებრივ ევკლიდეს სივრცეში (3-განზომილებიანი), სადაც შესაძლებელია ასეთი ზედაპირის ერთი წერტილიდან კიდეზე გადაკვეთის გარეშე. მიაღწიეთ ნებისმიერ სხვას.

ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსი (1790-1868) - მათემატიკოსთა „მეფის“ გაუსის მოწაფე. მობიუსი თავდაპირველად იყო ასტრონომი, ისევე როგორც გაუსი და მრავალი სხვა, რომელსაც მათემატიკა ევალება თავის განვითარებას. იმ დღეებში მათემატიკის შესწავლას მხარდაჭერა არ მოჰყოლია და ასტრონომიამ იმდენი ფული მისცა, რომ არ ეფიქრა მათზე და დატოვა დრო საკუთარი მოსაზრებებისთვის. და მობიუსი მე-19 საუკუნის ერთ-ერთი უდიდესი გეომეტრი გახდა.

68 წლის ასაკში მობიუსმა შეძლო საოცარი სილამაზის აღმოჩენა. ეს არის ცალმხრივი ზედაპირების აღმოჩენა, რომელთაგან ერთ-ერთია მობიუსის ზოლები (ან ლენტი). მობიუსმა ლენტი აიღო, როდესაც დააკვირდა მოახლე, რომელსაც ყელზე არასწორად ეცვა შარვალი.
ევკლიდეს სივრცეში, ფაქტობრივად, არსებობს ორი სახის მობიუსის ზოლები, რომლებიც იშლება ნახევრად ბრუნვით: ერთი იხსნება საათის ისრის მიმართულებით, მეორე - ისრის საწინააღმდეგოდ.

Mobius ზოლს აქვს შემდეგი თვისებები, რომლებიც არ იცვლება მისი შეკუმშვის, გაჭრის ან ნაკეცის დროს:

1. ერთი მხარის არსებობა. ა.მობიუსმა თავის ნაშრომში „პოლიედრების მოცულობის შესახებ“ აღწერა გეომეტრიული ზედაპირი, მის სახელზე, მხოლოდ ერთი მხარით. ამის შემოწმება საკმაოდ მარტივია: ვიღებთ ლენტას ან მოებიუსის ზოლს და ვცდილობთ შიდა მხარე ერთი ფერით გავაფერადოთ, გარე კი მეორით. არ აქვს მნიშვნელობა სად და რა მიმართულებით დაიწყო მხატვრობა, მთელი ფორმა იმავე ფერით იქნება შეღებილი.
2. უწყვეტობა გამოიხატება იმაში, რომ ამ გეომეტრიული ფიგურის ნებისმიერი წერტილი შეიძლება დაუკავშირდეს მის ნებისმიერ სხვა წერტილს მობიუსის ზედაპირის საზღვრების გადაკვეთის გარეშე.
3. დაკავშირება, ანუ ორგანზომილებიანი, ნიშნავს, რომ ლენტის სიგრძეზე გაჭრისას მისგან რამდენიმე განსხვავებული ფორმა არ გამოვა და ის განუყოფელი რჩება.

4. მას აკლია ისეთი მნიშვნელოვანი თვისება, როგორიც არის ორიენტაცია. ეს ნიშნავს, რომ ამ ფიგურის გასწვრივ მიმავალი ადამიანი უბრუნდება თავისი გზის საწყისს, მაგრამ მხოლოდ საკუთარი თავის სარკისებურად. ამრიგად, გაუთავებელ მოებიუსის ზოლს შეუძლია მარადიული მოგზაურობა გამოიწვიოს.
5. სპეციალური ქრომატული რიცხვი, რომელიც აჩვენებს მობიუსის ზედაპირზე რეგიონების მაქსიმალურ შესაძლო რაოდენობას, შეგიძლიათ შექმნათ ისე, რომ რომელიმე მათგანს ჰქონდეს საერთო საზღვარი ყველა დანარჩენთან. Mobius ზოლს აქვს ქრომატული ნომერი - 6, მაგრამ ქაღალდის ბეჭედი - 5.

დღეს მობიუსის ზოლი და მისი თვისებები ფართოდ გამოიყენება მეცნიერებაში, რომელიც ემსახურება ახალი ჰიპოთეზებისა და თეორიების აგების საფუძველს, კვლევებისა და ექსპერიმენტების ჩატარებას, ახალი მექანიზმებისა და მოწყობილობების შექმნას. ასე რომ, არსებობს ჰიპოთეზა, რომლის მიხედვითაც სამყარო არის უზარმაზარი მობიუსის მარყუჟი. ამას ირიბად მოწმობს აინშტაინის ფარდობითობის თეორიაც, რომლის მიხედვითაც პირდაპირ მფრინავ გემს შეუძლია დაბრუნდეს იმავე დროსა და სივრცეში, საიდანაც დაიწყო.

სხვა თეორია განიხილავს დნმ-ს მობიუსის ზედაპირის ნაწილად, რაც ხსნის გენეტიკური კოდის წაკითხვისა და გაშიფვრის სირთულეს. სხვა საკითხებთან ერთად, ასეთი სტრუქტურა იძლევა ბიოლოგიური სიკვდილის ლოგიკურ ახსნას - თავის თავზე დახურული სპირალი იწვევს ობიექტის თვითგანადგურებას. ფიზიკოსების აზრით, ბევრი ოპტიკური კანონი ეფუძნება მოებიუსის ზოლის თვისებებს. მაგალითად, სარკისებური გამოსახულება არის დროის განსაკუთრებული გადაცემა და ადამიანი ხედავს თავის სარკეს ორმაგად მის წინ.

თუ თქვენ გაინტერესებთ Mobius ზოლები, მცირე ინსტრუქცია გეტყვით, თუ როგორ უნდა გააკეთოთ მისი მოდელი:
1. მისი მოდელის დასამზადებლად დაგჭირდებათ: - ჩვეულებრივი ქაღალდის ფურცელი;
- მაკრატელი;
- მმართველი.
2. ქაღალდის ფურცლიდან ამოჭერით ზოლი ისე, რომ მისი სიგანე სიგრძეზე 5-6-ჯერ ნაკლები იყოს.
3. შედეგად მიღებული ქაღალდის ზოლი ასახულია ბრტყელ ზედაპირზე. ერთ ბოლოს ხელით ვუჭერთ, მეორეს კი 180*-ით ვაბრუნებთ ისე, რომ ზოლი შემობრუნდეს და არასწორი მხარე წინა მხარე გახდეს.
4. გრეხილი ზოლის ბოლოები წებოთი, როგორც ნაჩვენებია სურათზე.

Mobius ზოლები მზად არის.
5. აიღეთ კალამი ან მარკერი და დაიწყეთ ლენტის შუაში ტრასის დახატვა. თუ ყველაფერი სწორად გააკეთეთ, მაშინ დაბრუნდებით იმავე წერტილში, საიდანაც დაიწყეთ ხაზის დახაზვა.

იმისათვის, რომ მიიღოთ ვიზუალური დადასტურება, რომ Mobius ზოლი არის ცალმხრივი ობიექტი, შეეცადეთ დახატოთ მისი ერთი მხარე ფანქრით ან კალმით. ცოტა ხანში ნახავთ, რომ მთლიანად დახატეთ.

Mobius-ის ფურცელი ქანდაკებისა და გრაფიკული ხელოვნების შთაგონებად იქცა. ეშერი იყო ერთ-ერთი მხატვარი, რომელსაც განსაკუთრებით უყვარდა იგი და თავისი რამდენიმე ლითოგრაფია მიუძღვნა ამ მათემატიკურ ობიექტს. ერთ-ერთი ცნობილი - "Mobius Leaf II", გვიჩვენებს ჭიანჭველებს, რომლებიც ცოცავდნენ მობიუსის ზოლის ზედაპირზე.

მობიუსის ფოთოლი არის კვანტის სერიის "ბიბლიოთეკა" პოპულარული სამეცნიერო წიგნების სერიის ემბლემა. ის ასევე რეგულარულად ჩნდება სამეცნიერო ფანტასტიკაში, მაგალითად, არტურ კლარკის მოთხრობაში "სიბნელის კედელი". ზოგჯერ სამეცნიერო ფანტასტიკის ისტორიები (თეორიული ფიზიკოსების მიყოლებით) ვარაუდობენ, რომ ჩვენი სამყარო შეიძლება იყოს რაღაც განზოგადებული მობიუსის ზოლი. ასევე, მობიუსის ბეჭედი მუდმივად არის ნახსენები ურალის მწერლის ვლადისლავ კრაპივინის ნაწარმოებებში, ციკლში "დიდი ბროლის სიღრმეში" (მაგალითად, "ფორპოსტი წამყვან პოლუსზე. ზღაპარი"). AJ Deutsch-ის მოთხრობაში „Mobius Leaf“ ბოსტონის მეტრო აშენებს ახალ ხაზს, რომლის მარშრუტი იმდენად დამაბნეველი ხდება, რომ გადაიქცევა მობიუსის ზოლად, რის შემდეგაც ამ ხაზზე მატარებლები იწყებენ გაქრობას. სიუჟეტის მიხედვით გადაიღეს რეჟისორ გუსტავო მოსკერას ფანტასტიკური ფილმი „მობიუსი“. ასევე, მობიუსის ზოლის იდეა გამოყენებულია მ. კლიფტონის მოთხრობაში "მობიუსის ზოლზე".

მობიუსის ზოლს იყენებს ჰარი კიფი, ბრაიან ლამლის რომანის "ნეკროსკოპი" გმირი, როგორც სივრცეში და დროში გადაადგილების საშუალება.

მობიუსის ზოლი მნიშვნელოვან როლს ასრულებს რ.ზელაზნის ფანტასტიკურ რომანში „კარები ქვიშაში“.

ე. ნაუმოვის წიგნში "ნახევარი სიცოცხლე" (1989) ალკოჰოლიკი ინტელექტუალი მოგზაურობს ქვეყნის მასშტაბით, მობიუსის ზოლზე.

თანამედროვე რუსი მწერლის ალექსეი შეპელევის რომანის "ეხო" მიმდინარეობას ადარებენ მობიუსის ზოლს. ანოტაციიდან წიგნამდე: ""ეხო" არის მობიუსის ბეჭდის ლიტერატურული ანალოგი: ორი სიუჟეტი -" ბიჭები "და" გოგონები "- ერთმანეთში ირევა, მიედინება, მაგრამ არ იკვეთება.

მობიუსის ზოლი ასევე გვხვდება ჰარუკი მურაკამის ნარკვევში „დაისაკუთრე ობლადა“ კრებულიდან „რადიო მურაკამი“, რომელიც გამოვიდა 2010 წელს, სადაც მობიუსის ზოლი ფიგურალურად არის შედარებული უსასრულობასთან.

CHARON-ის ვიზუალურ რომანში "Makoto Mobius" მთავარი გმირი ვატარო ცდილობს გადაარჩინოს თანაკლასელი სიკვდილისგან ჯადოსნური არტეფაქტის - მობიუსის ზოლის გამოყენებით.

1987 წელს საბჭოთა ჯაზ პიანისტმა ლეონიდ ჩიჟიკმა ჩაწერა ალბომი "Mobius Tape", რომელშიც შედიოდა ამავე სახელწოდების კომპოზიცია.

ანიმაციური სერიალის "ფუტურამას" ერთ-ერთი ეპიზოდის (მე-7 სეზონი, ეპიზოდი 14, 11 წუთი) სარბოლო ბილიკი არის მობიუსის ზოლები.

არსებობს Möbius ზოლის ტექნიკური აპლიკაციები. Möbius ქამარი კონვეიერის ქამარი უფრო მეტხანს გაგრძელდება, რადგან ლენტის მთლიანი ზედაპირი თანაბრად ცვივა. უწყვეტი ფირის ჩაწერის სისტემები ასევე იყენებენ Mobius ფირებს (ჩაწერის დროის გაორმაგებისთვის). ბევრ წერტილოვანი მატრიცის პრინტერში, მელნის ლენტი ასევე არის Mobius ზოლის სახით, რათა გაზარდოს მისი რესურსი.

ასევე CEMI RAS-ის ინსტიტუტის შესასვლელის ზემოთ არის მოზაიკის მაღალი რელიეფი "Mobius strip" არქიტექტორ ლეონიდ პავლოვის მხატვრებთან E.A. Zharenova და V.K. Vasiltsov (1976) თანამშრომლობით.

არქიტექტურული გადაწყვეტილებები Mobius ზოლის იდეის გამოყენებით:

Mobius ზოლიანი სამკაულები:

არსებობს Möbius ზოლის ტექნიკური აპლიკაციები. კონვეიერის ქამარი დამზადებულია მობიუსის ღვედის სახით, რაც საშუალებას აძლევს მას უფრო დიდხანს იმუშაოს, რადგან ლენტის მთელი ზედაპირი თანაბრად ცვდება. უწყვეტი ფირის ჩაწერის სისტემები ასევე იყენებენ Mobius ფირებს (ჩაწერის დროის გაორმაგებისთვის). ბევრ წერტილოვანი მატრიცის პრინტერში, მელნის ლენტს ასევე აქვს მობიუსის ზოლის გარეგნობა მისი რესურსის გასაზრდელად.

მოწყობილობა სახელწოდებით Mobius resistor არის ახლახან გამოგონილი ელექტრონული ელემენტი, რომელსაც არ აქვს საკუთარი ინდუქციურობა. Möbius ლენტები ასევე გამოიყენება უწყვეტი ფირის ჩაწერის სისტემებში (გაორმაგება ჩაწერის დრო), წერტილოვანი მატრიცის პრინტერებში, მელნის ლენტი ასევე გამოიყურებოდა Mobius-ის ფურცლის მსგავსი, რათა გაზარდოს შენახვის ვადა.

მობიუსის ზოლი (Möbius strip) - სამგანზომილებიანი ზედაპირი მხოლოდ ერთი გვერდით და ერთი საზღვრით, რომელსაც აქვს არაორიენტაციის მათემატიკური თვისება. იგი დამოუკიდებლად აღმოაჩინეს ორმა გერმანელმა მათემატიკოსმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა და იოჰან ბენედიქტ ლისტინგმა 1858 წელს.

Mobius-ის ზოლების მოდელი ადვილად შეიძლება შეიქმნას ქაღალდის ზოლიდან, ზოლის ერთი ბოლო შუაზე გადაბრუნებით და მეორე ბოლოსთან შეერთებით დახურული ფორმის შესაქმნელად. თუ ფანქრით დაიწყებთ ზოლის დახატვას ფირის ზედაპირზე, ხაზი ღრმად ჩავა ფორმაში და გაივლის ხაზის საწყისი წერტილის ქვეშ, თითქოს გადადის ფირის „მეორე მხარეს“. თუ ხაზს გააგრძელებთ, ის დაუბრუნდება საწყის წერტილს. ამ შემთხვევაში, დახაზული ხაზის სიგრძე ორჯერ იქნება ქაღალდის ზოლის სიგრძეზე. ეს მაგალითი აჩვენებს, რომ მობიუსის ზოლს აქვს მხოლოდ ერთი მხარე და ერთი საზღვარი.

ევკლიდეს სივრცეში, ფაქტობრივად, არსებობს ორი სახის მობიუსის ზოლები, რომლებიც იშლება ნახევრად ბრუნვით: ერთი იხსნება საათის ისრის მიმართულებით, მეორე - ისრის საწინააღმდეგოდ.

გეომეტრია და მათემატიკა

მობიუსის ზოლი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს განტოლებების პარამეტრული სისტემით:

სად და. ეს განტოლებები აღწერს მობიუსის ზოლს 1 სიგანით, რომელიც მდებარეობს სიბრტყეში x-y;წრის შიდა რადიუსი არის 1, შიდა წრის ცენტრი არის საწყისზე (0,0,0). Პარამეტრი uმოძრაობს ფირზე და პარამეტრზე ვ- ერთი საზღვრიდან მეორემდე.

ალტერნატიულად, ფირზე შეიძლება წარმოდგენილი იყოს გამოხატულება პოლარულ კოორდინატებში:

ტოპოლოგიურად, მობიუსის ზოლი შეიძლება განისაზღვროს, როგორც კვადრატი x, რომლის ზედა ნაწილი დაკავშირებულია ქვედასთან თანაფარდობით ( x,0) ~ (1-x, 1) 0 ≤-ისთვის x≤ 1, როგორც ნაჩვენებია ფიგურაში მარჯვნივ.

დახურეთ ობიექტები

მობიუსის ზოლთან მჭიდრო კავშირშია იდუმალი ობიექტი - კლეინის ბოთლი. Klein-ის ბოთლის შექმნა შესაძლებელია ორი Mobius ზოლის ერთმანეთთან შეკვრით მათი საზღვრების გასწვრივ. ეს ოპერაცია არ შეიძლება შესრულდეს 3D სივრცეში ფორმის შიგნით კვეთების შექმნის გარეშე.

ერთ-ერთი ძირითადი შეუძლებელი ფიგურა შეუძლებელი სამკუთხედიშეიძლება წარმოდგენილი იყოს Moebius ზოლის სახით, თუ მისი ზოგიერთი კიდე გათლილი იქნება. ეს შექმნის მობიუსის ზოლს, რომელიც აღწერს სამ ბრუნს.

Ხელოვნება

Power Architecture-ის ლოგო

ასევე, Mobius ზოლები ხშირად გამოიყენება სხვადასხვა ლოგოებისა და ბრენდების სურათებში. ყველაზე ნათელი მაგალითია ხელახალი გამოყენების საერთაშორისო სიმბოლო.

განაცხადი. ნახატები მოებიუსის ლენტებით

პოლ ბიელაჩიკის ქვემოთ მოცემულ სურათს ჰქვია როგორც ავტორი ამბობს, ეს სურათი მისი ცხოვრების სხვადასხვა ასპექტის ერთობლიობაა. კელტური კვანძები მას აკრავს მის ნამუშევრებში, ნახატებში M.K. ეშერები ყოველთვის შთაგონების წყაროა და მოებიუსის ზოლები მხატვრის მიერ შესწავლილ საგანს უკავშირდება.

Moebius ზოლები არის მარტივი, მაგრამ საოცარი რამ. ეს შეიძლება გაკეთდეს რამდენიმე წამში და ამ ფენომენს აქვს ბევრი სიურპრიზი, ნიმუში და თვისება. პრაქტიკაში უფრო გასაგებად რომ ვთქვათ, აიღეთ ქაღალდის ჩვეულებრივი ზოლი, წებო, დააკავშირეთ მისი ბოლოები. მაგრამ აუცილებელია, რომ ერთი ბოლო აღმოჩნდეს შებრუნებული მეორესთან შედარებით ნახევარი ბრუნით. ასე რომ, ცნობილი Moebius ზოლები მზად არის.

თქვენ შეგიძლიათ დაუსრულებლად ისაუბროთ წარმოქმნილ იდუმალ ზედაპირზე. ჰკითხეთ საკუთარ თავს, რამდენი ზედაპირი აქვს ქაღალდის რგოლს. ორი? მაგრამ არც ერთი. ამის შემოწმება ძალიან მარტივია. აიღეთ ფლომასტერი ან ფანქარი და შეეცადეთ დახატოთ ფირის ერთი მხარე ისე, რომ არ გატეხოთ ან გადახვიდეთ მეორე მხარეს. მოხდა? სად არის მოუღებავი მხარე? Ის არის ...

ფირის სახელი მისმა გამომგონებელმა: ავგუსტ ფერდინანდ მოებიუსმა, ლაიფციგის უნივერსიტეტის პროფესორმა დაარქვა. მან თავისი ხანგრძლივი და ნაყოფიერი ცხოვრება მიუძღვნა სამეცნიერო მოღვაწეობას (და ეს არის 78 წელი) და გონების სიცხადე შეინარჩუნა წასვლამდე. 75 წლის ასაკში პროფესორმა აღწერა ცალმხრივი ზედაპირის უნიკალური თვისებები აშკარა ორფენიანი. მას შემდეგ გეომეტრიის, ფიზიკისა და სულიერების საუკეთესო გონებამ ეს ობიექტი შორს და ფართოდ გამოიკვლია.

თქვენ შეგიძლიათ დამოუკიდებლად განახორციელოთ რამდენიმე ექსპერიმენტი Mobius ზოლის აკრეფით. სცადეთ გაჭრა იგი გასწვრივ, დახაზეთ წინასწარი შუა ხაზი მთელ ზედაპირზე. როგორ ფიქრობთ, რა გამოვა? ორი პატარა ბეჭედი? ისევ არასწორი - ერთი! წინაზე ორჯერ გრძელი, მაგრამ უკვე ორჯერ გადაუგრიხეს. აქ მას მხოლოდ ორი ზედაპირი ექნება და არა ერთი, როგორც პირველ შემთხვევაში. ამ ხვეულს უწოდებენ ავღანურ ლენტს და ის ასევე ფართოდ არის ცნობილი მკვლევარებისთვის. სხვათა შორის, სულიერებაში ამ ეფექტს უწოდებენ ორმაგობის სიმბოლოს და განიმარტება, როგორც ერთის ილუზორული აღქმა.

და თუ ისევ დახაზავთ გრძივი ხაზს, ოღონდ არა შუაში, არამედ კიდესთან უფრო ახლოს ფირის სიგანის მესამედით? გაჭერით მიღებული რგოლი და თქვენ უკვე გექნებათ ხელში ორი მათგანი: მობიუსის ლენტი და ავღანური ლენტი და გაუგებარი გზით ისინი დაუკავშირდებიან ერთმანეთს.

მაგრამ ეს არ არის ყველა სიურპრიზი. ლენტის რგოლში წებოვნებისას, სცადეთ აიღოთ არა ერთი, არამედ ორი ქაღალდის ზოლები. შემდეგ კი სამი ან თუნდაც ოთხი. გარანტიას გაძლევთ: შედეგი კიდევ უფრო გაგაოცებთ!

საინტერესო ექსპერიმენტის წამოყენება შეიძლება ჰიპოთეტურადაც. ორმაგი Mobius ზოლის აღებით (ანუ ორი ზოლიდან დაწებებული) და მათ შორის თითით (ფანქარი, ხის ჯოხი - რაც არ უნდა იყოს), შეგვიძლია უსასრულოდ გავატაროთ ის ლენტებს შორის, ამით დავამტკიცოთ, რომ ფიგურა შედგება ორი ცალკეული ნაწილისგან. . ახლა წარმოიდგინეთ, რომ ამ ლენტებს შორის ბუზი დაცოცავს. მისთვის ქვედა ზოლი იქნება "იატაკი", ზედა - "ჭერი" და ასე შემდეგ უსასრულოდ.

მაგრამ სინამდვილეში ყველაფერი არც ისე მარტივია, როგორც ერთი შეხედვით ჩანს. ბოლოს და ბოლოს, თუ ბუზის მოგზაურობის დაწყების ნიშანს „იატაკზე“ დააყენებთ, მაშინ როცა მწერი წრეს აკეთებს, სწორედ ეს ნიშანი უკვე „ჭერზე“ იქნება. და იატაკზე დასაბრუნებლად დაგჭირდებათ კიდევ ერთი წრის გაკეთება.

წარმოიდგინეთ, ბუზი ქუჩაში მიცოცავს. მისგან მარჯვნივ არის ლუწი რიცხვების მქონე სახლები, ხოლო მარცხნივ, შესაბამისად, კენტი რიცხვების ქვეშ. გასეირნებისას, რაღაც მომენტში ჩვენი მოგზაური გაკვირვებული შეამჩნევს, რომ კენტი რიცხვები უკვე მარჯვნივ არის, ლუწი კი მარცხნივ! საშინელებაა ასეთი ვითარების წარმოდგენა ჩვენს რეალურ გზებზე მარჯვენა მოძრაობით, რადგან მალე მოგვიწევს „თავ-თავში“ მოსიარულე სხვა ადამიანების შეხედვა. ასეა - მობიუსის ზოლი ...

ამ და სხვა ნიმუშების გამოყენება არა მხოლოდ ჰიპოთეტურ, არამედ რეალურ ცხოვრებაშიც იქნა ნაპოვნი. მაგალითად, ქამარი ბეჭდვის მოწყობილობებში, ავტომატური ტრანსმისია, აბრაზიული რგოლი სიმკვეთრის მექანიზმებში და მრავალი სხვა, რაზეც ეჭვიც არ გეპარებათ, ლენტის საფუძველზე იქმნება. მართლაც, მობიუსის ზოლი არის გამოცანა, რომლის შესწავლაც შეიძლება განუსაზღვრელი ვადით!

მუნიციპალური საგანმანათლებლო დაწესებულება "ბუდაგოვსკაიას საშუალო სკოლა" თემა: დაასრულა: შალიგინ ივან მე-5 კლასის მოსწავლე ხელმძღვანელი: კალაშ გ.ვ. მათემატიკის მასწავლებელი ბუდაგოვო 2012 1 ეპიგრაფა: სამგანზომილებიან სივრცეში ჩვენ ვცხოვრობთ, ვსეირნობთ, ვთამაშობთ და დავდივართ სკოლაში, ასე რომ, არ იქნება ზიანი, თუ მის შესახებ მეტი გაიგოთ. თავიდანვე გამოიკვლიეთ ყველაფერი კოსმოსის შესახებ. ჩვენს ირგვლივ ყველაფერი ნაცნობი და საყვარელია. მსახურმა მეცნიერებისკენ გზა გაგვიხსნა. ლენტი შეცდომით იყო შეკერილი და მან შთამომავლობის მნიშვნელობა იპოვა. ასე რომ, მობიუსმა იპოვა ფურცელი მეცნიერებისთვის, შეიძინა განყოფილება მათემატიკაში. ფილიალი, რომელიც სწავლობს სხეულების ზედაპირებს მას შემდეგ, ყველამ უწოდა ტოპოლოგია. როგორ შეიძლება ფირზე ფრენა არ გადაუკეტოს გზას? სამწუხაროდ, მისთვის გაუთავებელი გზაა. 2 სარჩევი I. Möbius ფოთოლი 1. სარჩევი …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… შესავალი ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ..5 4. ტოპოლოგია - „პოზიციის გეომეტრია“ ... ..... ………………………………………………………… .5 II. კვლევის ექსპერიმენტები ქაღალდით: 1. მობიუსის ფურცლის ზედაპირის დახატვა ………………………………………… 7 2. მობიუსის ფურცლის გაჭრა: …………………………………………… ……………………… .8 ა) ფურცლის გასწვრივ ორ თანაბარ ნაწილად ………………………………………………………… .9 ბ) ლენტის გადახვევისას ………… ……………………………………… 10 გ) მართი კუთხით დამაგრებული რამდენიმე ლენტი ………………………… 11 დ) ფურცლის გასწვრივ რამდენიმე გაჭრა 3-ით; 4; 5; ნაწილები ………………………… .12 3. ცდის შედეგების მიხედვით შეავსეთ ცხრილები……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………… 12 5. ხრიკები Mobius ზოლებით ……………………………………………………………………… ..13 6. ექსპერიმენტები თოკით და ჟილეტით. ………………………………………… 14 III. Möbius ზოლის პრაქტიკული გამოყენება ……………………………………………… .15 IV დასკვნა ……………………………………………………………………………… ………………………………… .16 V. გამოყენებული ლიტერატურის სია ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… დანართი ………………………………………………………………………………………………………………… .18 ​​მობიუსის ზოლის კვლევის მათემატიკის წრის პრაქტიკული გაკვეთილი ქ. კლასი 5 (ფოტოები და ვიდეო გადაღებული ივან შალიგინის მიერ) ………………………………………………………………………………………………………… ……… 17 3 შესავალი პროექტის ზოგადი მახასიათებლები: 1. პროექტი „გეომეტრია სივრცეში“ გრძელვადიანი (გაფორმებულია მეორე და მესამე კვარტლისთვის) 2. პროექტი არის შემეცნებითი, კვლევითი. (კვლევა და ექსპერიმენტი, სისტემატიზაცია და პრაქტიკული გამოყენება). 3. ჯგუფური პროექტი (მუშაობა წრის შეხვედრებზე მე-5 კლასის მოსწავლეებთან) 4. გაფართოებული პროექტი. (იმართება სკოლის ფარგლებში პროექტის განყოფილების შემდგომი დაცვით რეფერატის სახით და პრეზენტაცია რეგიონულ კონფერენციაზე „მათემატიკის სახელმძღვანელოს გვერდებზე“) 5. პროექტის განყოფილების შედეგებზე დაყრდნობით თემაზე: „მობიუსის ფურცლის საიდუმლოებები“ IV ჯგუფის ხელმძღვანელმა ივან შალიგინმა მოამზადა ესე და ისაუბრა. სამუშაოს მიზანი: 1. გაეცნონ მათემატიკის ახალ დარგს - „ტოპოლოგიას“, მისი ძირითადი ცნებებითა და ამოცანებით, პრაქტიკული მიზნებისთვის კვლევების ჩატარება და აღმოჩენები თქვენთვის. 2. ჩამოაყალიბეთ მობიუსის ფოთლის პირველი იდეა. გაეცანით მათემატიკური მიდგომის ძირითად ტექნიკას თქვენს გარშემო არსებულ სამყაროში. 3. ისწავლეთ კვლევის ჩატარება, შედეგების აღწერა, ცხრილების შევსება და შედეგად მიღებული ნახატებისა და ექსპერიმენტის დროს მიღებული მოდელების ნახატების შესრულება. 4. ისწავლეთ არგუმენტირებული დასკვნების გამოტანა, იდეების გენერირება სიტუაციების გადასაჭრელად, ცოდნის გამოყენება ახალი პრობლემებისა და პრობლემების გადასაჭრელად. 5. პრაქტიკული ექსპერიმენტების ჩატარება. 6. დაამყარეთ განხილული მასალის კავშირი სიცოცხლესთან. 4 ისტორიული ფონი აგვისტო ფერდინანდ მობიუსი (1790-1868) გარეთ წვიმდა. ჩიპი შებოლილი იყო, საყვარელი ყავის ფინჯანი რძით დალიეს. ფანჯრიდან ხედი მელანქოლიური იყო. სავარძელში კაცი იჯდა. ფიქრები განსხვავებული იყო, მაგრამ რატომღაც განსაკუთრებული არაფერი მახსენდებოდა. მხოლოდ ჰაერში იყო განცდა, რომ ეს დღე დიდებას მოიტანდა და ავგუსტ ფერდინანდ მოებიუსის სახელს გააგრძელებდა. ოთახის ზღურბლზე მისი საყვარელი ცოლი გამოჩნდა. მართალია, ის არ იყო კარგ ხასიათზე. უფრო სწორი იქნებოდა იმის თქმა, რომ ის იყო გაბრაზებული, რომ მობიუსის მშვიდობიანი სახლისთვის ეს თითქმის ისეთივე წარმოუდგენელი იყო, როგორც პლანეტების აღლუმის ყურება წელიწადში სამჯერ და კატეგორიულად მოითხოვდა, რომ სასწრაფოდ გაეთავისუფლებინათ მსახური, რომელიც იმდენად უღიმღამო იყო, რომ მან ლენტის სწორად შეკერვაც კი ვერ შეძლო. წარბებშეკრულმა საცოდავ ფირზე, პროფესორმა წამოიძახა: "ოჰ, დიახ, მართა! გოგონა არც ისე სულელია. ბოლოს და ბოლოს, ეს არის ცალმხრივი წრიული ზედაპირი. ლენტს შიგნიდან არ აქვს!" ღია ზედაპირმა მიიღო მათემატიკური საფუძველი და დაერქვა მათემატიკოსისა და ასტრონომის სახელი, რომელმაც აღწერა ტოპოლოგია - „პოზიციის გეომეტრია“ იმ მომენტიდან, როდესაც გერმანელმა მათემატიკოსმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა აღმოაჩინა საოცარი ცალმხრივი ფურცლის არსებობა. დაიწყო მათემატიკის ახალი ფილიალი სახელწოდებით ტოპოლოგია. ძირითადად სწავლობს სხეულების ზედაპირებს და აღმოაჩენს მათემატიკურ ურთიერთობას ობიექტებს შორის, რომლებიც, როგორც ჩანს, ერთმანეთთან არ არის დაკავშირებული. მაგალითად, ტოპოლოგიის თვალსაზრისით, ა. მაკარონის კაკალი და ფინჯანი დაკავშირებულია იმით, რომ თითოეულ ამ ობიექტს აქვს ნახვრეტი, თუმცა ყველა სხვა ასპექტში ისინი განსხვავდებიან. , გიოტინგენის უნივერსიტეტის პროფესორი, რომელმაც ლაიფციგელ კოლეგასთან თითქმის ერთდროულად შემოგვთავაზა ცალმხრივი ზედაპირის პირველი მაგალითი ჩვენთვის ნაცნობი, ოდესღაც გადაგრეხილი ლენტი. ეს მეცნიერება ახალგაზრდაა და ამიტომ ბოროტი. წინააღმდეგ შემთხვევაში, მასში მიღებული თამაშის წესების შესახებ ვერ იტყვით. ტოპოლოგის უფლება აქვს ნებისმიერი ფიგურა მოღუნოს, დატრიალოს, გაწუროს და დაჭიმოს – გააკეთოს რაიმე მასთან, უბრალოდ არ გაანადგუროს ან წებოვოს. და ამავე დროს, ის ჩათვლის, რომ არაფერი მომხდარა, მისი ყველა თვისება უცვლელი დარჩა. მისთვის არც მანძილებს, არც კუთხეებს და არც ფართობებს არ აქვს მნიშვნელობა. და რა აინტერესებს მას? ფიგურების ყველაზე ზოგადი თვისებები, რომლებიც არ იცვლება არავითარი ტრანსფორმაციის დროს, თუ არ მოხდება კატასტროფა - ფიგურის „აფეთქება“, ამიტომ ტოპოლოგიას ზოგჯერ „განგრძობითობის გეომეტრიას“ უწოდებენ. იგი ასევე ცნობილია სახელწოდებით "რეზინის გეომეტრია", რადგან ტოპოლოგისთვის არაფერი ღირს, რომ ყველა თავისი ფიგურა მოათავსოს საბავშვო გასაბერი ბურთის ზედაპირზე და გაუთავებლად შეცვალოს მისი ფორმა, დარწმუნდეს, რომ ბურთი არ ასკდება. , სამკუთხედის გვერდები გადაიქცევა მრუდეებად, ტოპოლოგისთვის ეს ღრმად გულგრილია, ფიგურების რა უჩვეულო თვისებებს სწავლობს ტოპოლოგია აქამდე მხოლოდ ერთ თვისებაზე ვსაუბრობდით - ცალმხრივობა. ზედაპირის გასწვრივ რომ მოძრაობთ. მობიუსის ზოლი ერთი მიმართულებით, მისი საზღვრების გადაკვეთის გარეშე, მაშინ, ორმხრივი ზედაპირებისგან განსხვავებით (მაგალითად, სფერო და ცილინდრი), აღმოჩნდებით ისეთ ადგილას, რომელიც თავდაპირველთან მიმართებაში შებრუნებულია. თუ გადაადგილდებით წრე ამ ლენტის გასწვრივ, ერთდროულად მოძრაობს მის გარშემო საათის ისრის მიმართულებით, შემდეგ საწყის პოზიციაში მრგვალის მიმართულება გახდება საათის ისრის საწინააღმდეგოდ. სხვა თვისებები, რომლებსაც ტოპოლოგია სწავლობს არის უწყვეტობა, დაკავშირება, ორიენტაცია. მაგალითად, უწყვეტობა არის კიდევ ერთი ტოპოლოგიური თვისება. ო. თუ შევადარებთ საჰაერო მარშრუტების სქემას და გეოგრაფიულ რუკას, მაშინ 6 დარწმუნდით, რომ აეროფლოტის მასშტაბები შორს არის თანმიმდევრული - მაგალითად, სვერდლოვსკი შეიძლება იყოს შუა გზაზე მოსკოვიდან ვლადივოსტოკამდე. და მაინც, გეოგრაფიულ რუკას შორის არის რაღაც საერთო. მოსკოვი მართლაც დაკავშირებულია სვერდლოვსკთან, ხოლო სვერდლოვსკი - ვლადივოსტოკთან. და, შესაბამისად, ტოპოლოგს შეუძლია რუკის დეფორმირება ისე, როგორც მას სურს, სანამ წერტილები, რომლებიც ადრე მეზობლები იყვნენ, ერთმანეთის გვერდით და შემდგომში დარჩებიან. და, შესაბამისად, ტოპოლოგიური თვალსაზრისით, წრე არ განსხვავდება კვადრატისგან ან სამკუთხედისგან, რადგან ადვილია მათი გადაქცევა ერთმანეთში უწყვეტობის დარღვევის გარეშე. Mobius-ის ზოლის ნებისმიერი წერტილი შეიძლება დაუკავშირდეს ნებისმიერ სხვა წერტილს და ამგვარად, ჭიანჭველა ეშერის გრავირებაზე არასოდეს მოუწევს გადაცოცება „ლენტის“ კიდეზე. Mobius-ის ფურცლის გასაკეთებლად, თქვენ უნდა აიღოთ საკმარისად წაგრძელებული ქაღალდის ზოლი და დააკავშიროთ ზოლის ბოლოები, ერთი მათგანის გადაბრუნების შემდეგ. მობიუსის ფოთლის ზედაპირზე ყოფნისას მასზე სამუდამოდ სიარული შეიძლება. ახლა განვიხილავთ რამდენიმე ექსპერიმენტს ქაღალდის ზოლიდან მიღებულ ზედაპირებთან და ხვრელებთან. ყველაზე მოსახერხებელია დაახლოებით 30-40 სმ სიგრძისა და 3 სმ სიგანის ზოლების გამოყენება. უპირველეს ყოვლისა, ჩვენ ვაწებებთ ორ რგოლს - ერთი მარტივი და ერთი გრეხილი. 7 რგოლები, რა თქმა უნდა, ძალიან ჰგავს; მაგრამ რა მოხდება, თუ რგოლის ერთ მხარეს უწყვეტ ხაზს დახაზავთ? როდესაც მობიუსმა ეს გააკეთა გრეხილ რგოლზე, აღმოაჩინა, რომ ხაზი ორივე მხრიდან გადიოდა, თუმცა მისი ფანქარი ქაღალდს არ აშორებდა. ნიშნავს ეს იმას, რომ ჩვენს ბეჭედს მხოლოდ ერთი მხარე აქვს? სცადეთ თქვენი ბეჭდები ახლავე. 1. მთლიანად დახატეთ თითოეულის მხოლოდ ერთი მხარე. რამდენი ზედაპირი აქვთ? სცადეთ დახატოთ Mobius ზოლის ერთი მხარე ნაწილ-ნაწილ, ლენტის კიდეზე გადასვლის გარეშე. Და რა? თქვენ დახატავთ მთელ Mobius-ის ფურცელს! რატომ არის ეს ფურცელი ასე საინტერესო? და ის, რომ მობიუსის ფოთოლს მხოლოდ ერთი მხარე აქვს. ჩვენ მიჩვეული ვართ იმ ფაქტს, რომ ყველა ზედაპირს, რომელსაც საქმე გვაქვს (ქაღალდის ფურცელი, ველოსიპედი ან ფრენბურთის კამერა) ორი მხარე აქვს. 8 2. თითოეული რგოლის ერთ მხარეს მოათავსეთ წერტილი და დახაზეთ უწყვეტი ხაზი, სანამ არ დაბრუნდებით მონიშნულ წერტილში. რამდენი კიდე აქვს მობიუსის ზოლს? სიურპრიზი ნომერი მეორე: მობიუსის ფოთლის საზღვარი ერთია და არ შედგება ორი ნაწილისგან, როგორც ჩვეულებრივი რგოლი. მოდით შევამოწმოთ რგოლები შუაზე გაჭრით. ახლა თქვენ გაქვთ ორი ცალკე ბეჭედი. მაგრამ რა არის ეს? ორი ბეჭდის ნაცვლად, თქვენ მიიღებთ ერთს! უფრო მეტიც, ის უფრო დიდი და თხელია, ვიდრე ორიგინალური ბეჭედი. ჩაწერეთ შემდგომი გადახვევისა და ჭრის შედეგები ცხრილში. რამდენიმე ირონია. 9 რა მოხდება, თუ სრულ შემობრუნებას გააკეთებთ? რამდენი კიდე აქვს მიღებულ რგოლს? რამდენი ზედაპირია? რა მოხდება, თუ მას სიგრძეზე გაანახევრებთ? მოდით გავაკეთოთ კვლევა ნახევრად შემობრუნებით. სრული შემობრუნებისთვის, ერთი და ნახევარი შემობრუნებისთვის. მოდით აღვწეროთ თვისებები და გავაკეთოთ ესკიზები მიღებული შედეგების შესახებ. Mobius ზოლს აქვს საინტერესო თვისებები. თუ ცდილობთ ლენტის გაჭრას კიდეებიდან თანაბარი მანძილით დაშორებული ხაზის გასწვრივ, ორი Mobius ზოლის ნაცვლად, მიიღებთ ერთ გრძელ ორმხრივ (ორჯერ უფრო დაგრეხილი, ვიდრე Mobius ლენტი), რომელსაც ჯადოქრები უწოდებენ "ავღანურ ლენტს". თუ ახლა გაჭერით ეს ლენტი შუაზე, თქვენ მიიღებთ ორს ერთმანეთზე შემოხვეული. სხვა საინტერესო ბენდის კომბინაციების მიღება შესაძლებელია Mobius-ის ზოლებიდან ორი ან მეტი ნახევრად მობრუნებით. მაგალითად, თუ ლენტს გაჭრით სამი ნახევრად შემობრუნებით, მიიღებთ ტრიფოლის კვანძად დახვეულ ლენტს. მობიუსის ზოლის გაჭრა დამატებითი მოხვევებით იძლევა მოულოდნელ ფიგურებს, რომლებსაც პარადრომულ რგოლებს უწოდებენ. ჩავიწეროთ გრეხილის და ჭრის შედეგები კვლევის ცხრილში. კვლევის ცხრილი № 1 ერთი ლენტით № p/p ნახევრად შემობრუნების რაოდენობა 1 0 ერთი ნახევრად გაჭრის შედეგი სიგრძეზე ორი რგოლი თვისებები 2 1 ერთი რგოლი ორჯერ გრძელი რგოლი 3 2 ორი რგოლი ერთი და იგივე სიგრძის რგოლი არის ერთმანეთთან მიბმული 4 3 ერთი ბეჭედი ბეჭედი ორჯერ უფრო გრძელია კვანძი რგოლები უკვე ორჯერ ერთი და იგივე სიგრძისაა 10 ესკიზის დასკვნები: რა მოხდება, თუ ფირის დაწებებამდე მას ორჯერ გადაუხვევთ (ანუ 4 ნახევრად შემობრუნება 360-ზე). გრადუსი)? ასეთი ზედაპირი უკვე ორმხრივი იქნება. და იმისათვის, რომ დახატოთ მთელი ბეჭედი, აუცილებლად მოგიწევთ ლენტის მეორე მხარეს გადატანა. ამ ზედაპირის თვისებები არანაკლებ გასაოცარია. ყოველივე ამის შემდეგ, თუ მას შუაზე გაჭრით, მაშინ მიიღებთ ორ იდენტურ რგოლს, მაგრამ კვლავ ჩაკეტილი. თითოეული მათგანის კიდევ ერთხელ გაჭრა შუაზე, ნახავთ უკვე ოთხ რგოლს, რომლებიც ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. ახლა შეგიძლიათ სათითაოდ გაანადგუროთ რგოლები - და ყოველ ჯერზე დარჩენილი რგოლები კვლავ ერთმანეთთან იქნება დაკავშირებული. თუ აიღებთ არა ქაღალდის ლენტს, არამედ რომელიმე ქსოვილის ზოლს, ზოლის ერთ-ერთი ბოლო სამი სრული შემობრუნებით, ე.ი. 540 გრადუსი, ორივე ბოლო ერთად შეკერეთ. შემდეგ აიღეთ მაკრატელი და ფრთხილად გაჭერით ზოლი შუაზე, შემდეგ ისევ გაჭერით, მიიღებთ ერთმანეთზე გადაბმულ სამ ერთნაირ რგოლს. მრავალჯერადი ლენტები ჩვენ გაოცებული დავრჩებით, თუ რა მოხდება, როდესაც ორმაგ რგოლს გაჭრით. მოამზადეთ ორი რგოლი: ერთი ჩვეულებრივი და ერთი მობიუსის ბეჭედი. დააწებეთ ისინი მარჯვენა კუთხით და შემდეგ გაჭერით ორივე სიგრძეზე. კვლევის ცხრილი № 2 № p / p რგოლების რაოდენობა 1 ორი რგოლი, რომელიც მდებარეობს ერთმანეთთან პერპენდიკულარულად. ჭრის შედეგი თითოეული ზოლის გასწვრივ სამი რგოლი თვისება ორი ერთი და იგივე სიგრძის რგოლი, მესამე ორჯერ გრძელია. უფრო მოკლე სიგრძის ორი რგოლი ერთმანეთშია გადაჯაჭვული წყვილში მესამე რგოლთან 11 ჩანახატი დამატებითი შეკითხვა რამდენიმე ჭრა თუ ლენტს დაჭრით მისი სიგანის 1/3 მანძილზე კიდედან, მიიღებთ ორ რგოლს. მაგრამ! ერთი დიდი და პატარა უკავშირდება მას. კვლევის ცხრილი № 3 № ჭრილობების რაოდენობა 1 სამი ნაწილი თითო ლენტის გასწვრივ ჭრის შედეგი ორი რგოლი თვისებები ერთი და იგივე სიგრძის ერთი რგოლი, მეორე ორჯერ გრძელი რგოლი ერთმანეთთან არის დაკავშირებული 12 ჩანახატი 2 ოთხი ნაწილი ორი რგოლი ორივე რგოლი ორმაგია სანამ გაჭრა, ერთმანეთთან დაკავშირებული მეგობარი. ერთი რგოლი გადახლართული მეორე 3 ხუთი ნაწილი სამი რგოლი ორი ორჯერ გრძელი რგოლი ერთმანეთშია გადახლართული და ერთმანეთთან წყვილში არის დაკავშირებული თავდაპირველი სიგრძის მესამე მოკლე რგოლით დასკვნა: თუ თქვენ ასევე გაჭერით პატარა რგოლი გასწვრივ, შუაში, მაშინ გექნებათ ძალიან "რთული" ქსოვა ორი რგოლი - იგივე ზომის, მაგრამ განსხვავებული სიგანის ხრიკები მობიუსის ზოლებით ფიზიკოსები ამტკიცებენ, რომ ყველა ოპტიკური კანონი დაფუძნებულია მობიუსის ზოლის თვისებებზე, კერძოდ, ასახვაზე. სარკე არის ერთგვარი გადაცემა დროში, მოკლევადიანი, წამის მეასედი ხანგრძლივობით, რადგან ჩვენ თვალწინ ვხედავთ... ასეა, ჩვენი სარკე ორმაგად!არაჩვეულებრივი თვისებების გამო მობიუსის ზოლი ფართოდ გამოიყენებოდა ჯადოქრების მიერ გასული 75 წელი. თუ თქვენ ცდილობთ ლენტის გაჭრას კიდეებიდან თანაბარი მანძილით დაშორებული ხაზის გასწვრივ, ორი Mobius ზოლის ნაცვლად თქვენ მიიღებთ ერთ გრძელ ორმხრივ (ორჯერ უფრო დიდი, ვიდრე Mobius ზოლები) ლენტი, რომელსაც ჯადოქრები უწოდებენ " ავღანური ლენტი". კვლევა, რომელიც ჩვენ გავაკეთეთ გრეხილი ლენტის რგოლებით, შეიძლება აჩვენოს მთელი რიგი ხრიკები. აქ არის ერთ-ერთი მათგანი: მნახველს ვაძლევთ სამ დიდ ქაღალდის რგოლს, რომელთაგან თითოეული მიიღება ქაღალდის ლენტის ბოლოების წებოთი. (კვლევითი ცხრილი 1). მაყურებელი მაკრატლით ჭრის რგოლებს ფირის შუაზე, სანამ არ დაბრუნდება საწყის წერტილში. შედეგად, პირველი მიიღებს ორ სასტუმროს რგოლს. მეორედან - ერთი რგოლი, მაგრამ ორჯერ უფრო გრძელი, ხოლო მესამედან - ორი ერთმანეთთან დაკავშირებული რგოლი. 13 თუ რგოლში სამჯერ გრეხილი ლენტი გავატაროთ ბოლოების დასაწებებლად და შემდეგ შუაზე გავჭრათ, მივიღებთ ერთ დიდ რგოლს რგოლზე მიბმული კვანძით. ანალოგიურად, კვლევის ცხრილები 2 და 3 შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფოკუსირებისთვის. ექსპერიმენტები თოკით და ჟილეტით. ფოკუსები Mobius ზოლით არის ტოპოლოგიური კერების ნაწილი, რისთვისაც საჭიროა მოქნილი მასალები, რომლებიც არ იცვლება უწყვეტი გარდაქმნების დროს: გაჭიმვა და შეკუმშვა. ექსპერიმენტების ჩასატარებლად საჭიროა შარფი, ჟილეტი, თოკები. პირველ რიგში, ჩვენ საკუთარ თავს პრობლემურ სიტუაციას ვუქმნით. ექსპერიმენტების დახმარებით ვეძებთ გამოსავალს ამ სიტუაციიდან. ექსპერიმენტი 1. კვანძების შეკვრის პრობლემა. როგორ მოვაყაროთ კვანძი შარფზე ბოლოების გაშვების გარეშე? ეს შეიძლება გაკეთდეს ასე. დადეთ შარფი მაგიდაზე. ხელები მკერდზე გადაიჯვარედინე. განაგრძეთ მათი დაჭერა ამ მდგომარეობაში, დაიხარეთ მაგიდასთან და რიგრიგობით აიღეთ შარფის ერთი ბოლო თითოეული ხელით. ხელების გაშლის შემდეგ შარფის შუაში ავტომატურად წარმოიქმნება კვანძი. ტოპოლოგიური ტერმინოლოგიით შეგვიძლია ვთქვათ, რომ მაყურებლის ხელები, სხეული და შარფი ქმნიან დახურულ მრუდს „სამფოთლიანი“ კვანძის სახით. როდესაც ხელები ერთმანეთისგან იშლება, კვანძი გადადის მხოლოდ ხელებიდან შარფზე. ექსპერიმენტი. 2. ჟილეტის შიგნიდან შემობრუნება პიროვნებისგან მოხსნის გარეშე.ამ გამოცდილების დემონსტრირებისთვის აუცილებელია ჟილეტის ღილების მოხსნა და ხელებზე გაჭიმვა მატარებლის უკან, ჟილეტი ჰაერში ჩამოკიდება, მაგრამ, რა თქმა უნდა, ხელები არ დაიჭირება. ახლა თქვენ უნდა აიღოთ ჟილეტის მარცხენა ნახევარი და, ცდილობთ ჟილეტი არ გაიჭმუხნოთ, შეძლებისდაგვარად ჩასვათ იგი მარჯვენა მკლავის ხვრელში. შემდეგ აიღეთ მარჯვენა მკლავის ხვრელი და ჩასვით იმავე სამკლავურში და იგივე მიმართულებით რჩება ჟილეტის გაშლა და პატრონის გადაწევა.ჟილეტი შემობრუნდება შიგნიდან გარეთ.იგივე ექსპერიმენტი შეიძლება ჩატარდეს ჟილეტის ღილების შეხსნის გარეშე. ერთადერთი უხერხულობა იქნება ის, რომ ჟილეტი ზედმეტად ვიწრო ამოსაღებად თავზე. ამიტომ, ჟილეტი შეიძლება შეიცვალოს სვიტერით. სვიტრის მანიპულაციები ზუსტად იგივეა. ამ ექსპერიმენტის დემონსტრირება შესაძლებელია საკუთარ თავზე, რისთვისაც თქვენ უნდა დააკავშიროთ 14 ხელის კაბით, დატოვოთ მათ შორის 40 სანტიმეტრი გადაადგილების თავისუფლების უზრუნველსაყოფად და ხელები წინ შემოიხვიოთ. ექსპერიმენტი 3. თოკის რგოლების ამოხსნა. ორი მონაწილე თოკებით არის მიბმული ხელებით. ამრიგად, მკლავები და თოკები ქმნიან ორ ურთიერთდაკავშირებულ რგოლს. აუცილებელია, თოკების გაფუჭების გარეშე, გაშლა. ამ გამოცდილების პასუხი მდგომარეობს იმაში, რომ მონაწილეებს კიდევ ორი ​​მარყუჟი აქვთ ხელზე. აუცილებელია ერთი თოკის გაყვანა ერთი მარყუჟის მეშვეობით მეორე თოკის ხელებზე და მარყუჟის ამოღება ხელით. III. მობიუსის ზოლის პრაქტიკული გამოყენება მისი ყველაზე გასაოცარი თვისება ის არის, რომ ის ცალმხრივია, არ შეიძლება მისი შეღებვა ორ ფერში და მასზე მცოცავი მწერები ორივე მხარეს შემოუვლიან კიდეზე გადაკვეთის გარეშე. ამ თვისებამ იპოვა პრაქტიკული გამოყენება: დაპატენტებულია მრავალი მოწყობილობა, მაგალითად, სიმკვეთრის ქამარი, მელნის ლენტი საბეჭდი მოწყობილობებისთვის, ქამარი წამყვანი და სხვა ტექნიკური გადაწყვეტილებები. Möbius-ის ფურცლის ცალმხრივობის თვისება გამოიყენებოდა ტექნიკაში: თუ ქამრის ტრანსმისია დამზადებულია Möbius-ის ფურცლის სახით, მაშინ მისი ზედაპირი ორჯერ ნელა ცვდება, ვიდრე ჩვეულებრივი რგოლი. ეს იძლევა ხელშესახებ დანაზოგს. Mobius-ის ზოლს გააჩნია თვისებები, შეიძლება გამოყენებულ იქნას ტანსაცმლის ინდუსტრიაში ქსოვილის ორიგინალური ჭრით. საბავშვო სათამაშო სათამაშოების ზამბარის მექანიზმი ყველაზე ხშირად ვერ ხერხდება, რადგან ბავშვები ხშირად ცდილობენ ზამბარის შემოხვევას, როდესაც ის უკვე გადაგრეხილია. ზღვარი. რგოლისებური გრეხილი ზამბარა შეიძლება გახდეს „მუდმივი მოძრაობის მანქანა“ ბავშვთა სათამაშოებისთვის. ახალი მექანიზმის შესაძლო გამოყენების კიდევ ერთი მაგალითია ფოტო ან კინოკამერის ჭრილი (არა ციფრული). ტრადიციულ დიზაინში, ჩამკეტის გამოშვების შემდეგ, აუცილებელია ჩამკეტის ფარდის ჭრილის დახურვა და მხოლოდ ზამბარის ერთდროული დამუხტვით დაბრუნება პირვანდელ მდგომარეობაში. წინააღმდეგ შემთხვევაში, ჩარჩო აინთება, როდესაც ჩამკეტის ჭრილს საპირისპირო მიმართულებით გაივლით. ჩამკეტის მოწყობილობა აღმოჩნდება ძალიან რთული. Mobius ზოლის გამოყენებამ შესაძლებელი გახადა დიზაინის გამარტივება, მისი საიმედოობის, გამძლეობისა და სიჩქარის გაზრდა. ბევრ წერტილოვანი მატრიცის პრინტერში, მელნის ლენტს ასევე აქვს მობიუსის ზოლის გარეგნობა მისი რესურსის გასაზრდელად. Mobius ზოლის წყალობით, მრავალფეროვანი გამოგონება წარმოიშვა. ასე, მაგალითად, მაგნიტოფონისთვის სპეციალური კასეტები შეიქმნა, რამაც შესაძლებელი გახადა მაგნიტოფონის მოსმენა „ორი მხრიდან“ ადგილის შეუცვლელად.რამდენი ხალხი იყო აღფრთოვანებული ატრაქციონით. ეს სათამაშო ძალიან უყვარს არა მხოლოდ მათემატიკოსებს. ტყუილად არ არის, რომ, ალბათ, ახლა ვაშინგტონის ისტორიისა და ტექნოლოგიების მუზეუმის შესასვლელთან არის მობიუსის ზოლის ძეგლი - კვარცხლბეკზე ნელ-ნელა ბრუნავს ნახევრად შემობრუნებული ფოლადის ლენტი. სკულპტურების მთელი სერია მობიუსის ზოლის სახით შექმნა მოქანდაკე მაქს ბილმა. მავრიტს ეშერმა დატოვა საკმაოდ ბევრი სხვადასხვა ნახატი. IV. დასკვნა იმისდა მიუხედავად, რომ მობიუსმა თავისი საოცარი აღმოჩენა დიდი ხნის წინ გააკეთა, ის დღეს ძალიან პოპულარულია. ქაღალდის უბრალო ზოლი, მაგრამ მხოლოდ ერთხელ დაგრეხილი და შემდეგ რგოლში წებოვანი, მაშინვე იქცევა იდუმალ მობიუსის ზოლად და იძენს საოცარ თვისებებს. ზედაპირებისა და სივრცეების ასეთ თვისებებს სწავლობს მათემატიკის სპეციალური ფილიალი - ტოპოლოგია. ეს მეცნიერება იმდენად რთულია, რომ სკოლაში არ აბარებენ. მხოლოდ ინსტიტუტებში. მაგრამ ვინ იცის, იქნებ დროთა განმავლობაში ჩვენ გავხდეთ ცნობილი ტოპოლოგები და გავაკეთოთ შესანიშნავი აღმოჩენები. და შესაძლოა რაიმე რთულ ზედაპირს ჩვენი სახელები დაერქვას. ჩემი ჯგუფის ბიჭებთან ერთად პროექტზე "მობიუსის ფოთლის საიდუმლოებები" მუშაობისას, ბევრი ახალი და საინტერესო რამ ვისწავლე: ვისწავლე ბიბლიოთეკაში მასწავლებლის მიერ შემოთავაზებულ თემაზე ლიტერატურის მოძიება, წაკითხვა და არჩევა. მასალა; გამოიყენეთ სტატიები ინტერნეტში, შეარჩიეთ აბსტრაქტისათვის საჭირო ილუსტრაციები, ააგეთ ცხრილები და შეავსეთ ისინი; ჩაატაროს კვლევა „მობიუსის ზოლზე“ (გააკეთეთ საჭირო რაოდენობის შემობრუნება, წებო და გაჭრა); შედეგად მიღებული რგოლები უნდა გადაიღოთ და შეიტანოთ ცხრილში; პრეზენტაციის გაკეთება და ვიდეო ექსპერიმენტების გაკეთება; ისაუბრეთ კონფერენციაზე და აჩვენეთ ჯადოსნური ხრიკები. ეს ყველაფერი საკმაოდ რთული და შრომატევადი, მაგრამ ძალიან საინტერესოა. 16 „ტოპოლოგია, გეომეტრიის ყველაზე ახალგაზრდა და ყველაზე ძლიერი ფილიალი, ნათლად აჩვენებს ინტუიციასა და ლოგიკას შორის წინააღმდეგობების ნაყოფიერ გავლენას“ რ. კურანტი. 17 ლიტერატურა 1. გარდნერი მ „მათემატიკური საოცრება და საიდუმლოებები“, მოსკოვი, „მეცნიერება“ 1986 წ. 2. გრომოვი ა.ს. "კლასგარეშე დავალებები მათემატიკაში, 8-9 კლასი" მოსკოვი, განმანათლებლობა 3. ნ. ლენგდონ, ჩ. სნეიპი "მათემატიკით გზაზე" მოსკოვი, პედაგოგიკა, 1987 წ. 4. პოპულარული სამეცნიერო ჟურნალი "Quant" 1975 №7, 1977 წ. ... 5. Savin A.P. "ახალგაზრდა მათემატიკოსის ენციკლოპედიური ლექსიკონი", მ, განმანათლებლობა, 1985 წ. მათემატიკა ", მოსკოვი," SLOVO ", Eksmo, 2006 7. wwwRambler.ru 18 დანართი ლაბორატორიული სამუშაო" Mobius strip "მათემატიკის წრის კლასში 19 სცადეთ დახატოთ Mobius ზოლის ერთი მხარე - ნაწილ-ნაწილ, წასვლის გარეშე. ფირის კიდეზე. Და რა? თქვენ დახატავთ მთელ Mobius-ის ფურცელს! 20 მოათავსეთ წერტილი თითოეული რგოლის ერთ მხარეს და დახაზეთ უწყვეტი ხაზი მის გასწვრივ, სანამ არ დაბრუნდებით მონიშნულ წერტილში 21 შეამოწმეთ რგოლები სიგრძის გასწვრივ ორად გაჭრით. 22 ახლა თქვენ გაქვთ ორი ცალკე ბეჭედი. მაგრამ რა არის ეს? ორი ბეჭდის ნაცვლად, თქვენ მიიღებთ ერთს! უფრო მეტიც, ის უფრო დიდი და თხელია, ვიდრე ორიგინალური ბეჭედი. 23 მოხვევის და ჭრის შედეგები ჩავიწეროთ კვლევის ცხრილში. 24 ორივე რგოლი გაყოფილზე ორჯერ გრძელია და ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. ერთი რგოლი გადახლართული მეორე 25 ერთი და იგივე სიგრძის რგოლი, მეორე ორჯერ მეტი სიგრძის რგოლი ერთმანეთთან არის გადაჯაჭვული 26 მობიუსის ზოლის ჭრილი დამატებითი შემობრუნებით იძლევა მოულოდნელ ფიგურებს, რომლებსაც პარადრომულ რგოლებს უწოდებენ. 27

ერთ-ერთი უმარტივესი და ამავე დროს ყველაზე რთული და უცნაური ობიექტია მობიუსის ზოლები. მიუხედავად ამ ფიგურის ორიგინალურობისა, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გააკეთოთ ის საკუთარ თავს და განახორციელოთ ყველა ექსპერიმენტი, რომელიც აღწერილია ამ სტატიაში.

მობიუსის ზოლი არის უმარტივესი არაორიენტირებადი ზედაპირი, რომელიც ცალმხრივია სამგანზომილებიან სივრცეში. მას ხშირად ასევე უწოდებენ მობიუსის ზედაპირს და მოიხსენიებენ როგორც უწყვეტ (ტოპოლოგიურ) ობიექტებს.

ლეგენდის თანახმად, გერმანელმა ასტრონომმა, მათემატიკოსმა და მექანიკოსმა ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსმა აღმოაჩინა ეს ობიექტი მას შემდეგ, რაც მის სახლში მომუშავე მოსამსახურემ ქსოვილის ლენტი ბეჭედს შეკერა და უნებურად გადაატრიალა მისი ერთ-ერთი ბოლო. შედეგის დანახვისას, უბედური გოგონას საყვედურის ნაცვლად, მობიუსმა თქვა: „ოჰ, დიახ, მართა! გოგო არც ისე სულელია. ყოველივე ამის შემდეგ, ეს არის ცალმხრივი რგოლის ზედაპირი. ლენტს არასწორი მხარე არ აქვს! ”

ავგუსტ ფერდინანდ მობიუსი.

ფირის თვისებების შესწავლის შემდეგ, მობიუსმა დაწერა სტატია ამის შესახებ და გაუგზავნა პარიზის მეცნიერებათა აკადემიას, მაგრამ არ დაელოდა მის გამოქვეყნებას. მისი მასალები მათემატიკოსის გარდაცვალების შემდეგ გამოქვეყნდა და უჩვეულო ტოპოლოგიურ ზედაპირს მისი სახელი დაარქვეს.

Mobius ზოლის დამზადება ძალიან მარტივია: აიღეთ ABCD ზოლები და შემდეგ გადაკეცეთ ისე, რომ A და D წერტილები დაუკავშირდეს B და C-ს.

მობიუსის ზოლის დამზადება. შედეგი არის ერთი შეხედვით ჩვეულებრივი ფიგურა, რომელსაც აქვს ძალიან საინტერესო თვისებები.

Mobius ზოლის უჩვეულო თვისებები

ცალმხრივობა
ჩვენ ყველა მიჩვეული ვართ იმ ფაქტს, რომ ყველა ობიექტის ზედაპირს, რომელსაც რეალურ სამყაროში ვხვდებით (მაგალითად, ქაღალდის ნაჭერს) აქვს ორი მხარე. მაგრამ მობიუსის ზოლის ზედაპირი ცალმხრივია. ამის დადასტურება მარტივად შესაძლებელია ფირზე დახატვით. თუ აიღებთ ფანქარს და დაიწყებთ ლენტის ხატვას ნებისმიერი ადგილიდან გადაბრუნების გარეშე, მაშინ საბოლოოდ ლენტი მთლიანად შეიღებება.

თუ ვინმე შეეცდება მობიუსის ზოლის ზედაპირის მხოლოდ ერთი მხარის დახატვას, მაშინ უმჯობესია დაუყოვნებლივ ჩაეფლო იგი საღებავის ვედროში, მობიუსის ზოლის ზედაპირი უწყვეტია.

ეს ადვილად მოწმდება შემდეგნაირად: თუ ფირზე სადმე წერტილს დააყენებთ, მაშინ ის შეიძლება დაუკავშირდეს ფირის ზედაპირზე ნებისმიერ სხვა წერტილს კიდეების გადაკვეთის გარეშე. ამრიგად, აღმოჩნდება, რომ ამ ობიექტის ზედაპირი უწყვეტია.

Mobius ზოლს არ აქვს ორიენტაცია
თუ თქვენ შეგეძლოთ მობიუსის მთელი ზოლის გავლა, მაშინ იმ მომენტში, როდესაც დაბრუნდებით მოგზაურობის საწყის წერტილში, გადაიქცევით საკუთარი თავის სარკისებურად.

თუ ლენტი შუაზეა გაჭრილი, მაშინ ამ შემთხვევაში მიიღება მხოლოდ ერთი ლენტი, თუმცა ლოგიკა ამბობს, რომ ორი უნდა იყოს, ხოლო თუ გაჭრით, კიდედან უკან დახევა ფირის სიგანის მესამედით, შემდეგ თქვენ მიიღებთ ერთმანეთთან დაკავშირებულ ორ რგოლს - პატარა და დიდი ... მცირე რგოლის შუაზე გრძივი ჭრილის გაკეთების შემდეგ, შედეგად ვიღებთ ერთნაირი ზომის, მაგრამ სიგანით განსხვავებულ ორ გადახლართულ რგოლს.

Mobius ზოლის პრაქტიკული გამოყენება
უკვე საკმაოდ ბევრი გამოგონებაა დაფუძნებული ამ უჩვეულო ტოპოლოგიური ობიექტის თვისებებზე. მაგალითად, მელნის ლენტი წერტილოვანი მატრიცის პრინტერებში, რომელიც შემოვიდა Mobius ზოლში, გაცილებით მეტხანს ძლებს, რადგან ამ შემთხვევაში ცვეთა ხდება თანაბრად მთელ ზედაპირზე. და ამ გეომეტრიული ობიექტის ფორმაში დაგრეხილი სამზარეულოს მიქსერის ან ბეტონის მიქსერის პირები ამცირებს ენერგიის მოხმარებას 20%-ით და ამავდროულად უმჯობესდება მიღებული ნარევის ხარისხი.

არსებობს ჰიპოთეზა, რომ დნმ-ის პოლიმერი, რომელიც ორმაგი სპირალია, არის მობიუსის ზოლის ფრაგმენტი და ამ მიზეზით დნმ-ის კოდის გაშიფვრა და გაგება ძალიან რთულია.

ზოგიერთი ფიზიკოსი ამბობს, რომ ოპტიკური ეფექტები ეფუძნება იმავე თვისებებს, რაც ამ პარადოქსულ ობიექტს აქვს, ამიტომ სარკეში ჩვენი ასახვა განსაკუთრებული შემთხვევაა, მობიუსის ზოლის ერთ-ერთი თვისება.

კიდევ ერთი ჰიპოთეზა, რომელიც დაკავშირებულია ამ მათემატიკურ ობიექტთან, არის ის, რომ ჩვენი სამყარო, შესაძლოა, დახურულია ასეთ ფირზე და მას აქვს საკუთარი სარკისებური ასლი. იმის გამო, რომ, თუ მუდმივად ვმოძრაობთ ერთი მიმართულებით მობიუსის ზოლის გასწვრივ, საბოლოოდ, ჩვენ აღმოვჩნდებით ჩვენი მოგზაურობის საწყის წერტილში, მაგრამ უკვე ჩვენს სარკისებურად.

იდუმალი კლეინის ბოთლი
მობიუსის ზოლის ბაზაზე კიდევ ერთი საოცარი ფიგურაა - კლეინის ბოთლი. ეს არის ბოთლი, რომელსაც ბოლოში ნახვრეტი აქვს. ბოთლის კისერი წაგრძელებული და მოხრილია, გადადის თავად ბოთლის ერთ-ერთ კედელში.

კლეინის ბოთლი

ასეთი ფიგურის რეპროდუცირება შეუძლებელია ჩვეულებრივ სამგანზომილებიან სივრცეში, რადგან კისერი არ უნდა ეხებოდეს ბოთლის კედელს და უკავშირდება მის ფსკერზე არსებულ ხვრელს. ამრიგად, მიიღება ზედაპირი, რომელსაც აქვს მხოლოდ ერთი მხარე. Klein ბოთლი და Mobius ზოლები კვლავ იპყრობს მეცნიერთა და მწერლების ყურადღებას.

A. Deutsch, თავის ერთ-ერთ მოთხრობაში, წერდა იმის შესახებ, თუ როგორ ერთ დღეს ნიუ-იორკის მეტროში გადაიკვეთა ლიანდაგები და მთელი მეტრო დაემსგავსა მობიუსის ზოლს, ხოლო ლიანდაგზე მიმავალი ელექტრო მატარებლები გაუჩინარდნენ, ხელახლა გამოჩნდნენ მხოლოდ რამდენიმე თვეში. მოგვიანებით.

ალექსანდრე მიჩის The Giveaway Game-ში გმირები არიან ჩაკეტილი სივრცეში, რომელიც კლაინის ბოთლს წააგავს.

სამყარო ჩვენთვის კვლავ უზარმაზარ საიდუმლოდ რჩება და ვინ იცის, კოსმოსური მეცნიერების რა სხვა უცნაურობებს აღმოაჩენენ უახლოეს მომავალში.